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(問題)
KENSAの5文字を、EがAよりも左にある並べ方は何通りか。

答え 5!/2!=60通り

私の考え方は、EがAより左なので、
E○○○○
●E○○○
●●E○○
●●●EA
○にAがくるような並べ方を考えました。
※60通りにはなりませんでした。

ヒントで、“EとAは同じ文字とみなして、1列に並べると考える。”とあるのですが、何故そう考えるのでしょうか?
☆何故、EとAは同じ文字とみなすのか?→EはAよりも左にないといけないですよね・・・。同じ文字とみなしたらAE(EがAの右)という並びでもよくなりませんか?
☆何故、5!/2!の式を使うのか?
☆他に解りやすい考え方などがありますか?

教えて下さい!宜しくお願い致します!

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A 回答 (9件)

No.4 です。



>だから全ての並び替えである5!を2!(でも何故単純に÷2にしないのでしょうね)で割るのですね。

「単純に2で割らずに2!で割っている理由」は、No.2さんが書いているように
>Aがp個,Bがq個,Cがr個…,全部合わせてx個あるものを一列に並べる並べ方は,
x!/(p!q!r!…) 通り。
ということなのです。

具体的に言うと、「KENSAの5文字を、KがEより左にあり、かつEがAよりも左にある並べ方は何通りか。」という問題があったときに、同様に「KとEとAを一つにみなして」5!/3!で求められると言うことです。

あなたが理解した

>EAパターン(EがAより左)、AEパターン(EがAより右)、半々の確率なんですね

という理由に似た理由付けをするとするとKEA,KAE、EKA,EAK,AKE,AEKのうちKEAになるパターンが1÷3!で求められたと言うところです。(3!になる理由わかりましたか?)


>一行目と四行目は理解できるのですが、二行目と三行目が解り難いです。

では2行目を具体的に考えてみます。
(1) □EA□□ のとき
□にK,N,Sを並べる方法は3!通り
(2) □E□A□ のとき
□にK,N,Sを並べる方法は3!通り
(3) □E□□A のとき
□にK,N,Sを並べる方法は3!通り
つまり、3!が3つあるので3×3!通りです。

3行目も同様に
(1') □□EA□ のとき
□にK,N,Sを並べる方法は3!通り
(2') □□E□A のとき
□にK,N,Sを並べる方法は3!通り
つまり、3!が2つあるので2×3!通りです。


(1),(2),(3),(1'),(2')という場合分けができることとそれらでそれぞれ3!通りになることさえわかれば理解できるのではないでしょうか。
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この回答へのお礼

2、3行目の詳しい回答、ありがとうございました。
何故、このような計算で解くのかが、とてもよく解りました。
☆私が問題を解く時は、順列なのか組合せなのか等の判断に迷い、どの式を使うのか決まらないので、まずは実際のパターンを書いてみることが殆どなのです。←時間がかかるので、試験の時は辛いですね・・・。

お礼日時:2006/02/24 11:53

#2です。

(#7さん割り込んでしまってごめんなさい。)

>問題2と問題3は、どの文字同士を同じ文字で置き換えて解いているのですか?

問題2では,ABCの3文字を同一視して,さらにDEFの3文字を同一視します。
というのは,

>(AがBより左)かつ(BがCより左)かつ(DがEより左)かつ(EがFより左)
という条件のうち,「A→B」と「B→C」はつながっていますよね。
同様に「D→E」と「E→F」もつながっています。

したがって,それぞれを1グループと考える必要があります。

つまり,xxxyyyGHIの9文字を並び替えた上で,xxxを左から順にA, B, Cと置き換え,yyyは左から順にD, E, Fと置き換えると考えるわけです。
たとえば,xxIyHyGyxとなったとしたら,ABIDHEGFCとするわけです。

こうすれば,「A→B→C」「D→E→F」という順序は必ず保たれますね。

同様に,問題3では,ABCを同一視し,DEFを同一視し,GHIを同一視します。
つまり,xxxyyyzzzの9文字を並び替え,その結果を,xxxは左から順にA, B, Cに置き換え,yyyは左から順にD, E, Fに置き換え,zzzは左から順にG, H, Iに置き換えるわけです。
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この回答へのお礼

アドバイス、ありがとうございます!
早急な解説は、質問者の私からは、とても助かります。
問題のパターンを覚えれば(数をこなして解いていけば)、もっと解けるようになるとは思うのですが、数学は苦手なので、ついついおっくうになるんですよね(苦笑)
でも、puni2さんや回答していただいた皆様のお陰で、また1つ問題を解決することが出来ました。
今回のポイント発行は、お世話になりました皆様全員に差し上げたいのですが、
(1)私にとって解説が解りやすかった事
(2)解説いただいた回数
等を考慮して、発行いたしました。
皆様ありがとうございました。

お礼日時:2006/02/28 12:23

No6のものです.すいません,私の間違いです.


質問者の方のいうとおりです.
ご名答っす(笑).
No7の方補足部分ありがとうございます.
7!/3!ですね.そうしないと,問題字がE,A,Iの3文字なもんで.これを同じ文字としてみることができないですもんね.まだまだ,勉強不足っす.ありがとうございました.
7!/4!を7!/3!に変更してください.
ごちゃごちゃ書いてすいません.
この訂正でわかりましたか?
わからなかったら,どんどん指摘してください(笑)
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この回答へのお礼

はい!わかりました(笑)
これからも宜しくお願い致します。

お礼日時:2006/02/27 17:56

No.4 です。



>☆私が問題を解く時は、順列なのか組合せなのか等の判断に迷い、どの式を使うのか決まらないので、まずは実際のパターンを書いてみることが殆どなのです。←時間がかかるので、試験の時は辛いですね・・・。
順列や組み合わせがまだ苦手なのですね。試験のことを考えるのならば、やはり同じような問題を何度も解いて使い方を理解すること(または袋の中の赤球・白球の問題のような有名なパターンを覚えること)が重要だと思います。

例えば、今回の問題を組み合わせの概念を使って解くならば、
1) ○○○○○の中からE,Aを入れる2つを選ぶ
これは5個の○の中から2つを選ぶことに相当するので、5C2
2) 残りの3個の○にはK,N,Sが順列で入るので、3!
∴ 5C2×3!=60
という解き方もあると思います。



数学なので、考え方さえしっかりしていて、その考えを示すことができていればどんな解き方で解いても正解です。E,Aから決定してもK,N,Sから決定しても同じ文字でみなしても全て正解です。

ただ、N0.2さんが書いている
>Aがp個,Bがq個,Cがr個…,全部合わせてx個あるものを一列に並べる並べ方は,
>x!/(p!q!r!…) 通り
を使って解く方法が<試験における時間のことを考えるのならば>一番よいので下の問題を参考にして理解しておきましょう。



問題1
ABCDEFGHIの9文字を並び替えるとき、(AがBより左)かつ(BがCより左)になる並び方の場合の数を求めよ

これは今までと全く同じ 9!/3!=60480 で求まります。

問題2
ABCDEFGHIの9文字を並び替えるとき、(AがBより左)かつ(BがCより左)かつ(DがEより左)かつ(EがFより左)になる並び方の場合の数を求めよ

問題3
ABCDEFGHIの9文字を並び替えるとき、(AがBより左)かつ(BがCより左)かつ(DがEより左)かつ(EがFより左)かつ(GがHより左)かつ(HがIより左)になる並び方の場合の数を求めよ

わかりましたか?たぶん問題2や問題3になると最初に位置を決定する方法では手におえないのではないでしょうか?



今までの説明で文字の順序を決めたものの並び替えが同じ文字で置き換えたと考えてよいことが理解できていると仮定して、回答を書くと
問題2  9!/(3!×3!)=10080
問題3  9!/(3!×3!×3!)=1680
です。

場合わけをしなくても回答をすぐに求めることのできるすばらしい公式なので理解しておきましょう。


#最後に補足ですが、nPm=n!/(n-m)!なので7P4=7!/3!です。

この回答への補足

ヒントを頂きたいのですが・・・。
問題2と問題3は、どの文字同士を同じ文字で置き換えて解いているのですか?

補足日時:2006/02/27 17:50
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この回答へのお礼

No.9の方が解説していただいたので、問題2、3は理解することが出来ました。
これまで、何度も回答をいただき、ありがとうございました。

お礼日時:2006/02/28 11:52

問題字(E,A)の位置から決めるのではなく,問題字以外の文字(K,N,S)から決定して言ってはいかがですか?



全部で5ヵ所に文字を置くことができます.
(1)Kを置く位置を決定する
Kを置くことが出来る位置は全部で5ヵ所.
(2)Nを置く位置を決定する
Nを置くことが出来る位置はKを置いた位置以外なので4ヶ所
(3)Sを置く位置を決定する
Sを置くことが出来る位置はKとNを置いた位置以外なので3ヶ所

すると残り2ヶ所文字を置くことができます.

もし,EとAに関して順序の指定がないのであれば
(4)Eを置く位置を決定する
Eを置く事の出来る位置はK,N,Sが置いてある位置以外なので2ヶ所ある
(5)Aを置く位置を決定する
残りの1ヶ所が自動的にAの位置になります.

よって,5×4×3×2×1=120となります
この式を書き換えると
5P5=5!

今回の問題はEとAには順序が指定してありますので,
(4)’Eを置く位置を決定する
残りの2ヶ所の位置の左側にある位置に入れなければいけないので1ヶ所
(5)’Aを置く位置を決定する
自動的に残りの1ヶ所がAの位置になる

よって,5×4×3×1×1=60となります.
この式を書き直すと
5×4×3=5P3=5!/2!

この方法で似たような問題を考えて見ましょう

KENSATIの7文字の並び替えを考えますが,EはAよりも前に,AはIよりも前に並ぶ並び方は何通りありますか

では,この問題での問題字はE,A,Iの3文字です.これ以外から並べてあげましょう.今回文字を置く事ができる位置は7ヶ所あります.

(1)Kを置く位置を決定する
Kを置くことが出来る位置は全部で7ヵ所.
(2)Nを置く位置を決定する
Nを置くことが出来る位置はKを置いた位置以外なので6ヶ所
(3)Sを置く位置を決定する
Sを置くことが出来る位置はKとNを置いた位置以外なので5ヶ所
(4)Tを置く位置を決定する
Tを置くことが出来る位置はK,N,Sを置いた位置以外なので4ヶ所

ここで問題字の位置を決定していきます.置くことが出来る位置は残り3ヶ所です.

(5)Eを置く位置を決定する
残りの3ヶ所の位置の中で最も左側にある1ヶ所のみ
(6)Aを置く位置を決定する
Eを置いた以外の残り2ヶ所の中で左側にある1ヶ所のみ
(7)Iを置く位置を決定する
自動的に残りの1ヶ所

よって,7×6×5×4×1×1×1=840
この式を書き換えると
7×6×5×4=7P4=7!/4!

こんな感じどうですか?

同じ文字としてみなしてよいと言うのは便利ではありますが結果論に過ぎず,どちらかというとfukurou-さんが書いているやり方や上記のやり方が自然かと思います.

この回答への補足

回答ありがとうございます。
なるほど!問題のEA以外の文字に着目して、解いていく方法もアリですね。
ところで、例題のKENSATIの答えですが、
7!/4!の計算の答えは840ではなく、210ではありませんか?
7P4≠7!/4!になってしまうように思うのですが。
私の計算違い!?ですか。

補足日時:2006/02/24 11:54
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まず、あなたの考え方はあっています。



E○○○○ のとき
○の中に残りの4種を並べればいいので 4!

●E○○○ のとき
○の中のどれかにAを、残りの3つに残りの3種を並べればいいので 3×3!

同様に
●●E○○ のとき2×3!
●●●EA のとき1×3!なので・・

4!+3×3!+2×3!+1×3!=(4+3+2+1)×3!=60 です。



さて、本題ですが、同じ文字とみなすと言うか、まずはとりあえず5個を並べてみるんです。つまり、5!。すると、あなたが考えたとおり(EがAの右)という並び方も考えていますよね?ここで、(EがAの右)の場合をなくすために2!で割っているのです。

「同じ文字とみなす」と書いてあるのは「EとAが同じ文字とみなしたときの考え方とまったく同じ数式で解ける」というくらいの意味です。(KANSAという文字の並べ方を考えるときに重複を省くための2!で割ると言う操作と、今回の問題でEがAより後であることを省くための2!で割ると言う操作は似てますよね??)

この回答への補足

回答ありがとうございます。
私の考え方、あっていてよかったです。先ほどやり直しましたが、計算方法を間違えていました。
自分で書いた、E○○○○からの一~四行をみて思ったのですが、EAパターン(EがAより左)、AEパターン(EがAより右)、半々の確率なんですね。
だから全ての並び替えである5!を2!(でも何故単純に÷2にしないのでしょうね)で割るのですね。

一行目と四行目は理解できるのですが、二行目と三行目が解り難いです。
一行目は、空きの、どの○でも文字を自由に並び替えできますし、四行目は右にEAと固定されているので、●の中で残りの3文字を自由に並び替えればいいですよね。
二行目と三行目はAの入る○が選べて、そしてさらに他の文字について並びを考えるので、そのあたりがわかりづらいのだと思います。
今でも、そこがよくわからないですね・・・。

補足日時:2006/02/24 01:28
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どっちが右にあるか左にあるかを意識せずに並べると、5!通りですよね。



今度は注目する文字、「A」「E」について考えてみます。
ある並びがあるとき、AとEが入れ替わっていて他は同じという並びが、上の5!通りの中には必ず入っています。たとえば、○○AE○と、○○EA○です。

AとEが同じ文字と考える、つまり仮に「X]としましょう。K,X,N,S、Xを並べるとき、二つのXは区別が付きませんから、求める並び替えの数は、5!/2!です。
これで求まった全部の並べ替え例で並び順の最初に出てくるXをEと置きかえると、あら不思議。
AがEより左に来ている並び方は含まれていませんね。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
ニュアンスは何となく伝わってくるような気がします。

補足日時:2006/02/24 01:22
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「EとAは同じ文字と見なす」というのは,本当はKENSAの5文字なんだけれども,とりあえず「KENSE」という5文字だと考えてください,ということです。


KENSEを並び替えるやりかたは,「同じものを含む順列」で5!/2!になりますね。

「同じものを含む順列」を,一般化して書くと,次のようになります。
Aがp個,Bがq個,Cがr個…,全部合わせてx個あるものを一列に並べる並べ方は,
x!/(p!q!r!…) 通り。

今の場合,Kが1個,Eが2個,Nが1個,Sが1個ですので,
5!/(1! 2! 1! 1!)
ですから,1!を省けば5!/2!(=60)通りになります。

これらの60通りの文字列は,たとえばこんな風になっているでしょう。
EEKSN
SENKE
NSKEE
などなど。
そこで,2つあるEのうち,右側にある方を,Aにもどしてやります。(←ここがポイントです)
そうすれば,「KENSAの5文字を使い,かつ,EがAより左にある文字列」が全部作れたことになります。

つまり,こういうことです。
KENSAを普通に並び替えると,5!=120通り。
そのうち,EとAに関してみると,E-Aの順になっているものが60通り。
逆にA-Eの順になっているものを作りたければ,元に戻すときに,さっきとは逆にして,2つあるEのうち,左にある方を,Aに戻せばよいわけです。

ところで
>私の考え方は、EがAより左なので、
>E○○○○
>●E○○○
>●●E○○
>●●●EA
>○にAがくるような並べ方を考えました。
>※60通りにはなりませんでした。

おかしいなあ。これでも(手間はかかるけど)なるはずです。

E○○○○ …KNSAの4文字を並べるから4!=24
●E○○○ …まずAを3箇所の○のどこかに置く。
 そのそれぞれに対して,KNSの3文字を残った3文字(●1つと○2つ)に並べるから,3×3!=18
●●E○○ …まずAを2箇所の○のどちらかに置く。あとは同様で,2×3!=12
●●●EA …KNSの3文字を並べるから,3!=6
以上より,24+18+12+6=60

ほら,合いました。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
普通に並び替えて5!(120通り)。で、EAに並んでいるのは60通り(単純に半分の確率?という考えなのでしょうか?)
前半の回答は、んんん・・・少し難解です。

あ~、確かに私の方法は手間がかかります(汗)
やり直したら、60通りになりました。
二行目(●E○○○)と三行目(●●E○○)で各パターンを足し算すればいいところを掛算して、数字が倍になっていました。
二行目→6×6×6=216
三行目→4×4×4=64
で計算していました。
一行目4!、四行目3!で計算したので、同じような感覚で掛算していました。

一行目と四行目は理解できるのですが、二行目と三行目が解り難いです。
一行目は、空きの、どの○でも文字を自由に並び替えできますし、四行目は右にEAと固定されているので、●の中で残りの3文字を自由に並び替えればいいですよね。
二行目と三行目はAの入る○が選べて、そしてさらに他の文字について並びを考えるので、そのあたりがわかりづらいのだと思います。
今でも、そこがよくわからないですね・・・。

補足日時:2006/02/24 01:02
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★あなたのやりかたでもできますよ。


一行目:残り4つに4つの文字を並べる。4!=24
二行目:Aは左3つのうちのどれか。残りは制約なく3箇所にあてはめる。3*3!=18
三行目:同様に2*3!=12
四行目;3!=6

★EAを同じ文字とみなす方法
とりあえず、5箇所の中から2箇所決めます。この2箇所のうち、左側にE 、右側にAを入れるというルールのもとで考えているのでAEはありません。
5個から2個選び、残りの空欄に3つの文字を並べます。5C2*3!

★全部の並べかたで、Eの左側にA,Aの左側にEのどちらかです。そして、全部の並べかたを考えると、Eの左側にA,Aの左側にEは、同じ数あるはずです。
なので5個を並べる方法の半分。5!/2

この回答への補足

アドバイスありがとうございます。
一行目と四行目は理解できるのですが、二行目と三行目が解り難いです。
一行目は、空きの、どの○でも文字を自由に並び替えできますし、四行目は右にEAと固定されているので、●の中で残りの3文字を自由に並び替えればいいですよね。
二行目と三行目はAの入る○が選べて、そしてさらに他の文字について並びを考えるので、そのあたりがわかりづらいのだと思います。
今でも、そこがよくわからないですね・・・。

★EAを同じ文字とみなす方法
★全部の並べかたで・・・
の説明はわかりやすかったです。

補足日時:2006/02/24 00:49
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▽最初にa.b.cの3つのうちのひとつが選べる
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従って
3×2×1=6

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