砂川の本にBは軸性ベクトルでEは極性ベクトルと書いてありますが
何でBは軸性ベクトルなのかを書いていません

何でBは軸性ベクトルなのでしょうか?
何でEは極性ベクトルなのでしょうか?

よろしくお願いします

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A 回答 (7件)

以下のコメントにつき、



> 機械的に理解できるほうが初学者にとってはありがたいと思うのですが、、、か?

もちろん、人によって、状況によって、役立つ説明の仕方は異なります。分からなくなった時は、必ずしも一つの本などにこだわらず、様々説明を漁って気に入るものを見つけるということは、私自身もやっています。

結局、物理的な定義式が与えられたあるベクトルについて、極性か軸性か判定することは機械的にできますが、そのような区別にどういう意味があるのかということが疑問になったときには、関連する物理現象を含めビジュアルに考えてみるといいのではないか(最後まで数学的に通す方がいいという人もいるらしいが、、)ということです。
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この回答へのお礼

一つの考え方としてとても参考になりました
ビジュアル的にものを見るのはおもしろそうですね

どうもありがとうございました

お礼日時:2002/01/25 16:24

>(4)そうだとすると、、でややこしい説明をしないで済むはず、、、



という補足コメントに関連して少しだけ。

確かに、軸性ベクトルの数学的定義としては「空間反転に対して成分が不変に保たれるベクトル」というのが最もうまいやり方でしょう。そうすると、あとは、空間と結びついた変換性のはっきりしたベクトルを足場にして、各物理量の定義式に従い変換性を調べていくという手続きだけが残ります。内容についてはsiegmundさんの解説のとおりです。

nuubouさんの疑問がこれを問うものだったなら、鏡映にこだわるのは余計なことだったかも知れません。ただ、計算で出てくるのは、例えば、Cx=AyBz-AzBy,,のように定義されるならばその変換性はかくかく然々となるということであって、ベクトルCという物理量をこの(不自然な変換性を与える)式で定義するのが本当に相応しいのかという問題は別に考えねばなりません。これを、自分の感覚として確かめるには、視覚的な認識の容易な鏡映にもどして考えるのが(少なくとも私には)分りやすいです。
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この回答へのお礼

機械的に理解できるほうが初学者にとってはありがたいと思うのですがどうでしょうか?

よろしくお願いします

お礼日時:2002/01/25 00:50

>(1)ビオサバールを使うよりローレンツの力を使う方が


> Bの定義としては適当ではないでしょうか?
それは話の組み立て方次第じゃないでしょうか.
電流が磁場を生み出すという立場を強調すれば,
dB を I ds であらわすビオ・サバール則を先に持ってきてもいいように思います.

>(2)ということはBは2つの極性ベクトルの外積として定義されているから
> 例の関係式が言えるのですね?
そうです.

>(3)軸性ベクトルの定義は「2つの極性ベクトルの外積」ということですか?
空間反転に対する変換性が極性ベクトルか軸性ベクトルかを決めています.
(極性ベクトル)×(極性ベクトル) = (軸性ベクトル)
はそのとおりです.

>(5)たかだか1つの極性ベクトルを使って定義された軸性ベクトル物理量はありますか?
ビオ・サバールの法則をベクトルポテンシャルで表現すると
dA(r) = (μ_0 I/4π |r-s|) ds   r,s はベクトル
です.直接 dB を表現するよりずっと簡単ですね.
dA は明らかに極性ベクトル,したがってベクトルポテンシャル A も極性ベクトルです.
B = rot A ですから,これが例になっていますかね.

一般に,極性ベクトルの rot は軸性ベクトルです.
rot A を∇×A とも書きますから,ベクトル演算子とベクトルを使っていると
いわれればそれまでですが.
フーリエ空間に移れば∇は単なるベクトル(極性)になってしまいますから.

この回答への補足

(1)ローレンツの力は単位電荷単位速度当たりに働く力という実体で定義できますがビオサバールは実体がないもので磁束密度を定義することになるのではないでしょうか?
各電流から離れている場所に磁束密度という何なのか訳の分からないものがあるといったような

(2)極性ベクトルE(r)の定義はE(-r)=-E(r)であるベクトルであり軸性ベクトルB(r)の定義はB(-r)=B(r)であるベクトルであるということですか?

(3)極性ベクトルでもなく軸性ベクトルでもないベクトルは存在しますか?
あればどんなベクトルであり任意のベクトルは極性ベクトルと軸性ベクトルの和で表されると考えていいのですか?

(4)軸性ベクトルは定義式のx成分の各項にx,y,zがそれぞれ偶数回現われ定義式のy成分の各項にx,y,zがそれぞれ偶数回現われ定義式のz成分の各項にx,y,zがそれぞれ偶数回現われるものと考えていいのですか?
ただし∂xはx一回と数えるものとし項は「・と/」で構成され「+と-」を含まないものとする

たびたびおさがわせ恐縮していますがよろしくお願いします

補足日時:2002/01/24 22:53
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この回答へのお礼

(2)'
r=(x,y,z,∂x,∂y,∂z,dx,dy,dz)としたとき
極性ベクトルE(r)の定義はE(-r)=-E(r)であるベクトルであり軸性ベクトルB(r)の定義はB(-r)=B(r)であるベクトルであるということですか?

すこし考えてみると(2)はおかしいような

お礼日時:2002/01/25 08:16

siegmund です.



> もし軸性ベクトルが嘘のベクトルであって人工的に決めたベクトルであるなら
> r≡(x,y,z)としr’≡(x’,y’,z’)としr’=-rとして
> B’(r’,t)=-B(r,t)と決めた場合どんな不都合がありますか?

人工的にどういう風に決めたかで,変換性が決まります.
前の角運動量の例を見てください.
L_x = y v_z - z v_y = y(dz/dt) - z(dy/dt)
と決めたら,位置ベクトル,速度ベクトルの変換性から
角運動量ベクトルの変換性が決まってしまいます.

Bも,電流素辺 I ds が場所rに作る微小なBが
dB(r) = (μ_0 I/4π |r-s|^3) ds×(r-s)   r,s はベクトル
というように決めていますので(ビオ・サバールの法則)
位置ベクトルのr,sの変換性から,dB が軸性ベクトルになることは
すぐわかります.

> B’(r’,t)=B(r,t)は約束事であって
> 本質的なことではないと言うことですね?
Bを人工的に決める方式まで含めて約束事というならそうでしょう.
でも,どういう風に人工的に選ぶかが決まったら,
上の議論のように変換性(極性か軸性か)は決まります.

回転運動を特徴づけるベクトルを極性ベクトルになるように選ぶということは
たぶん可能なのでしょうけれど,すっきりした形にはなりそうもありませんし,
規約をいろいろ作らないといけないような気がします.
やはり,回転運動のベクトルは回転軸方向に選び,
大きさで回転の程度を表すのが最も単純なように思います.
こうすると,必然的に軸性ベクトルになってしまいます.

hagiwara_m さん:
> 人によっては、「パリティ変換」と「鏡映」を全く区別せずに使っていて、
> 初学者に誤解を与えています。
たしかにそういう例はありますね.
私は hagiwara_m さんと同じく,区別して使っています.

この回答への補足

(1)ビオサバールを使うよりローレンツの力を使う方がBの定義としては適当ではないでしょうか?
(2)ということはBは2つの極性ベクトルの外積として定義されているから例の関係式が言えるのですね?
(3)軸性ベクトルの定義は「2つの極性ベクトルの外積」ということですか?
(4)そうだとすると説明が簡単でややこしい説明をしないで済むはずなのではないでしょうか?
(5)たかだか1つの極性ベクトルを使って定義された軸性ベクトル物理量はありますか?

よろしくお願いします

補足日時:2002/01/24 06:01
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hagiwara_m さん:


> パリティ変換は、対称面の選び方が複数あるという煩わしさを伴わないので、
> 数学的な扱いが、鏡映の場合よりむしろすっきりするようです。

私もそう思います.
hagiwara_m さんの例の,x-z面を対称面にしたとき (x,y,z)→(x,-y,z) となる鏡映変換ですと,
例えば(0,2,0) という位置ベクトルは
(0,-2,0) と変換されて符号が変わり具合がいいのですが,
(2,0,0)ですと(2,0,0)に変換されて同じになってしまいます.
もちろん,ベクトルの方向と垂直な面を鏡映面に選ばないといけないわけで,
(2,0,0) に対しては y-z 面が鏡映面になります.
(1,2,3) だったら,もっと複雑な鏡映面になります.

これに対して,空間反転 (x,y,z)→(-x,-y,-z) で話をすると,
ベクトルによって鏡映面を変えるような煩わしさはありません.
空間反転で符号を変えるベクトルが極性ベクトル,符号を変えないのが軸性ベクトルです.

やはり位置ベクトルが基本で,hagiwara_m さんが書かれているように
速度,加速度,力,電流,クーロン電場,
とたどってゆけばこれらは位置ベクトルと同じ変換性を持っていることがわかるでしょう.

一方,磁場はループ電流などからわかりますように,

 ┌──>──┐
 │     │
 │     │
 ∧  ×  ∨
 │     │
 │     │
 └──<──┘

の時にループ電流内部の磁場を面に垂直向こう向き(×印)とするのは
自動的に決まるわけではなく,
右ねじ関係といういわば約束によるものです.
こういう類の量は軸性ベクトルです.

力学での軸性ベクトルの代表は角運動量です.
回転運動に対して,それを特徴づける量を軸方向のベクトルにするのは
なかなかうまい方法ですが,そう選ばないといけない必然性
(位置ベクトル,速度ベクトルみたいな)があるわけではありません.
こういう意味で,軸性ベクトルは本来の自然的ベクトルではないので
「擬ベクトル」ということもあります.

角運動量のベクトルの成分は
L_x = y v_z - z v_y = y(dz/dt) - z(dy/dt)
ですから,空間反転に対して符号を変えないのは明らかでしょう.

この回答への補足

もし軸性ベクトルが嘘のベクトルであって人工的に決めたベクトルであるなら
r≡(x,y,z)としr’≡(x’,y’,z’)としr’=-rとして
B’(r’,t)=-B(r,t)と決めた場合どんな不都合がありますか?

B’(r’,t)=B(r,t)は約束事であって本質的なことではないと言うことですね?

よろしくお願いします

補足日時:2002/01/23 03:38
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私としての説明は一応終えたつもりなので、お手元の教科書の流儀で軸性ベクトルを再説明することは控えます(というよりできません)。



だだ、補足に関連して、定評ある教科書にもしばしば見られる誤解のもとが前から気になっていますので、そのことを少し、、

鏡映変換は、例えばx-z面を対称面にしたとき、(x,y,z)→(x,-y,z)となる変換です。
これに対し、(x,y,z)→(-x,-y,-z)という変換があります。これを反転またはパリティ変換と言います。パリティ変換は、さらに180度の回転を行うと、鏡映変換になります。右手系が左手系に移るという意味では、鏡映変換とパリティ変換は同種のものです。

ここからは私の憶測を含む話です。パリティ変換は、対称面の選び方が複数あるという煩わしさを伴わないので、数学的な扱いが、鏡映の場合よりむしろすっきりするようです。そこで、右手系-左手系の変換の話では、パリティ変換の方が引き合いに出されることも多いです。人によっては、「パリティ変換」と「鏡映」を全く区別せずに使っていて、初学者に誤解を与えています。

そんなわけで、本来、鏡像の世界での物理現象を考えるべきところで、(x,y,z)→(-x,-y,-z)の変換が出てきてしまうのです。こういうときは、y軸の回りに180度回した座標系にもどして、図を書きながら考えてみると、理解できると思います。
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根本的な問題ですね。

うまく言える自信がありませんが、叩き台的に書きます。

ベクトル量の鏡映対称の変換の規則の問題ですが、これは単にあるベクトルを眺めていて決められるものではなく、色々な物理量ベクトルの物理的相互関係により判断することになります。鏡映したときに、物理的に起こることが同じになるような変換則を採用するわけです。

出発点となる拠り所は実空間の位置概念です。鏡像の世界を考えると、あらゆる物の配置が鏡映されますから、位置・変位ベクトル、続いて定義されていく速度、加速度、力、さらに派生する、電流、クーロン電場などは、正に図形としての矢印のように、各点の位置といっしょに鏡映して考えればいいことが確信されます。これらが極性ベクトル(普通のベクトル)です。

ところが、例えば環電流の内側に発生する磁束密度Bの向きは、電流の回転の向き(右巻きか左巻きか)で決まります。鏡映によってこの右巻き左巻きが逆になりますが、対するBの向きはどうでしょう。これをイメージするのには、(右ネジの法則を考えるとき使う)手の(人指~小)指の巻く向きとそれに垂直に立つ親指の向きで考えるといいでしょう。親指の先を向かい合わせるように、あるいは、両親指を上に向けるように、両手を鏡像の位置に置いてみて下さい。これが図形的な鏡映関係ですが、親指の向きをBの向きと考えると、右手は右手の法則、左手は左手の法則になってしまい、鏡像の世界で電磁気の法則が成立ちません。鏡像の環電流をつくっても、そこでもやはり右手の法則でBの向きがきまるように考えなければならないのです。このとき、Bは図形としての矢印を鏡映したような変換にしたがいません。このBのようなベクトルが軸性ベクトルです。

こうしたことは、磁束(密度)が、電荷運動や電場の回転に対応づけられる量であることに起因して起こります。ます。一般に、極性ベクトルの外積(あるいは回転)で定義されるベクトルは、軸性ベクトルになります。

この回答への補足

砂川の空間座標の反転の節で
座標をの各軸の方向を逆に取った場合
元の座標をr≡(x,y,z)として
反転座標をr’≡(x’,y’,z’)として
座標はr’=-rとなるが
電界はE’(r’,t)=-E(r,t)となり
磁界はB’(r’,t)=B(r,t)となる
と書いてありますがどうも説明がしっくりしません

どうか分かりやすく説明してください

補足日時:2002/01/22 01:33
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 まず#1さんの方法は、最も簡単なものです。

次に・・・、次に出す言葉でびびらないで下さいね。

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(3)
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(4)
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(2)
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物理学を学んで修士課程を終えたとして就職でどうのような選択肢がありますか?

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buturidaisukiさん、こんにちは。

就職のことはやはり気になりますよね。同じようなことを普段よく尋ねられるので、多くの卒業生を見てきた経験から現実にどうかということを書かせていただきます。

まず、結論から書きますと、ANo.1~ANo.3の皆さんも書かれているように、本人さえしっかりしていれば、大抵の会社は選択肢に入ると思います。

ANo.4さんは、分野は影響は受けると書かれていますが、ある程度、そういうこともあるでしょうが、それほどではないと私は思います。というのは、元々、理学部を卒業する場合には、勉強した「知識」をそのまま使って企業で活躍するというセンスよりも、むしろ、そこで習得した「能力」を生かすというセンスだからです。逆にもし工学部を卒業しても、そこで学習した知識がそのままどんぴしゃで企業でも使えるケースは珍しいようです。

また、物理の中での理論と実験の違いですが、私の知る限り、理論だと実験よりも会社には不利ということはないと思います。それには二つ理由があります。一つは現代の産業の現状は、IT系に重点が移ってきていて、理論系なら殆どの場合コンピューターをかなり使いますので、その面でかえって有利であること。もう一つは測定器や作業機械の使い方などは、実験系だからといって同じ機械を使うとは限りませんし、どちらにしても入社後に勉強するケースのほうが多いと思われるからです。

企業の中で、理学部出身の人が工学部出身の人よりも少ない主な原因は、日本中で工学部の定員が非常に多いことでしょう。私の見る限り、卒業生が就職で苦労するケースは、分野というよりも、むしろ個々人のパーソナリティに依ることが多いように思われます。企業では周りの環境に柔軟に順応してくれる人、しっかり意思疎通の出来る人を好むでしょうし、当然、企業の利益にかなわないことをしたいという人は、どんな学部の卒業生でも取らないでしょう。


次に具体的な現状を書きます。どこの大学とは、もちろんここでは書けませんが、卒業生の就職先はやはりIT係を中心に製造業が多いです。それは元々日本の産業構造自体がIT係に重点が移ってきているためだと思います。一言にIT係といっても、かなり幅が広いですし、IT係以外の製造業も多いです。どんな製造業でも最近はコンピューターはかなり使うと思われます。

製造業の中には当然、民間企業の研究所に就職するケースもあります。民間企業の研究所では、ごく一部の例外を除いて、その企業の利益に直結することを研究します。その内容は、物理学に基礎を置いた研究もありますし、物理学とは直接の関係のない研究をすることもあります。物理の卒業生はどちらの方向にも進んでいます。ただし「直接の関係のない」と言っても、物理はあらゆるものの基礎になりますから、殆どのものは何らかの関係はあります。

次に多いのは、公務員や中学高校教諭だと思います。その場合は、もちろん、公務員試験の勉強や、教員免許をとり教員採用試験の勉強をする必要があります。

製造業に比べれば、数は少なくなりますが、商社や金融関係に就職した人もいます。また特殊な例ではパイロットになった人もいます。


せっかく物理学を勉強したのに、就職した後に直接に関係のないものをやるのは勿体ないとか、しんどいとか思われるかもしれません。しかし、ANo.3さんも書かれているように、物理学というのは、あらゆる学問や科学技術の基礎であり、また、知識そのものを使わなくても、物理学を学ぶ過程で習得した「現実に根ざした論理的思考」というのは、どんな分野にも共通に必要なものなのです。ANo.4さんも書かれているように、「仮説・検証・修正」という物理学の方法は、あらゆることに適用が可能です。

また、「知識の陳腐化」ということがあります。技術というものは日進月歩ですから、大学でどんな分野の学問をした場合でも、どのみち入社後にも勉強をし続けていかないといけません。しかし理学系と工学系の違いは、理学部で勉強したことは、時間が立って成り立たなくなるようなことではないというところです。物理で言えば、力学や電磁気学などの知識が陳腐化することは未来永劫ありません。それらは自然界の法則だからです。ところがある特定の「技術」というものは、多くの場合数年で陳腐化してしまいます。

さらに、逆に基礎的な知識が必要になったときに、技術だけを学んでいた人が基礎に立ち戻って勉強しなおすのは、大変なエネルギーが必要になります。一度でも基礎を十分に勉強したことがある人は、忘れてしまっていても、少し勉強すれば思い出すことができます。基礎をしっかり勉強した上に応用を勉強するほうが、応用だけを勉強しているより安心です。

これは教育関係に進む場合も同様だと思います。やはり理学部でしっかりその分野の内容を勉強しつつ教員免許も取るほうが、教育学部で教員免許をとるよりも好ましいと、個人的には思っています。(両方やるのは確かに大変ですが。)


最後に、修士課程に進むメリットについて付け加えます。学部で、およそ力学、電磁気学、量子力学、熱統計力学を学習するわけですが、それは学問の基礎の部分です。卒業研究~修士課程で、研究(らしきもの)に手を染めることにより、その基礎部分の知識の本当の意味が、より正しく深く理解できます。また、現実の問題を考えることにより、「問題解決能力」も身につけることができます。研究の世界では必要に応じて問題を自分で整理して設定する能力が求められます。誰かがきれいに作った問題を解くだけの話ではなくなってくるのです。そのような能力はどんな分野に就職しても必要とされるものです。大学院ではその部分も学ぶことが出来るはずです。

buturidaisukiさん、こんにちは。

就職のことはやはり気になりますよね。同じようなことを普段よく尋ねられるので、多くの卒業生を見てきた経験から現実にどうかということを書かせていただきます。

まず、結論から書きますと、ANo.1~ANo.3の皆さんも書かれているように、本人さえしっかりしていれば、大抵の会社は選択肢に入ると思います。

ANo.4さんは、分野は影響は受けると書かれていますが、ある程度、そういうこともあるでしょうが、それほどではないと私は思います。というのは、元々、理学部を...続きを読む

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Aベストアンサー

追加です。

「EとH,DとB」という本が共立出版・物理ワンポイントシリーズにありました。
1冊の本になるくらいBとHの区別は難しい,というか私も理解に苦労した記憶があります。

B=μH 磁束密度B[Wb/m^2],透磁率μ[H/m],磁界H[A/m]
D=εE 電束密度D[C/m^2],誘電率ε[F/m],電界E[V/m]
J=σE 電流密度J[A/m^2],導電率σ[S/m],電界E[V/m]

これらの式は数学的には同じ形になり,ポアソン方程式の境界条件なども同じ形になります。

私もしばらく,B,H,D,Eという物理量の違いが理解できず,悶々としていました。
これらの中で
「導電率σの物質に電界Eをかけると,電流密度Jで電流が流れる」という,
微視的なオームの法則が一番イメージがわきやすかったです。

すなわち,
EやHは流れを作り出す「界」の大きさで,長さあたりの傾斜
J,B,Dはできた流れを,タバとしてみた「束」の面積あたりの密度
というイメージです。

EやHに,平行な長さをかけて積分した起電力[V],起磁力[A]
BやDやJに,垂直な断面積をかけて積分した,磁束[Wb],電束[C],電流束[A]

これらは同じ性質を持つことになります。このうち電圧(起電力),電流は電気回路の考え方に従い,
直列や並列に接続したときの性質がよく分かっています。

これを手がかりにして,

磁束や電束は流れる量で,電流と同じく「束」として一続きの糸のようにつながっている。
磁界や電界は流れを作るポテンシャル勾配「界」で,ぐるりと一周線積分すると起磁力,起電力になる,

というイメージがつかめました。

追加です。

「EとH,DとB」という本が共立出版・物理ワンポイントシリーズにありました。
1冊の本になるくらいBとHの区別は難しい,というか私も理解に苦労した記憶があります。

B=μH 磁束密度B[Wb/m^2],透磁率μ[H/m],磁界H[A/m]
D=εE 電束密度D[C/m^2],誘電率ε[F/m],電界E[V/m]
J=σE 電流密度J[A/m^2],導電率σ[S/m],電界E[V/m]

これらの式は数学的には同じ形になり,ポアソン方程式の境界条件なども同じ形になります。

私もしばらく,B,H,D,Eという物理量の違いが理解できず,悶々としていました...続きを読む

Q電磁気学で質問があります

砂川重信『理論電磁気学』を読んでいるのですが、途中で分からない箇所がありました。
画像の「このp(x)は物体内にある~」から下の部分です。p(x)は電気双極子モーメントです。
分極ベクトルP(x)は巨視的に見て微小体積δVの平均の電気双極子モーメントとありますが、それがこの中央の式で表されるのが納得できません。
「p(x)は物体内の原子あるいは分子の分極によって生じた電気双極子の分布を表している」ので式中に現れる密度nは不要というか、密度の情報はp(x)に含まれてるような気がします。

観測点(位置ベクトルx)からみた相対位置ベクトルr'の点の電気双極子を|r'|<<1でr'に関して積分して
P(x)=(1/δV)∫p(x+r')d^3r'
としたくなります。この考え方の誤りと画像の式の考え方を教えて下さい。よろしくお願いします。

画像
http://i.imgur.com/zMCJB.jpg

Aベストアンサー

 #1です。

>・・・(1.5)で定義されたpの概念を使うなら(1.6)~では積分よりもむしろ和で考える事になるという理解でよろしいでしょうか?密度の概念が現れたのは積分を使う事で(1.7)すなわち(1.9)を導く事が出来るから、という意図が読み取れるように思われます。

 自分は想像しすぎましたが^^、結局同じ意見です。以下、補足の後半に対して・・・。

 問題の式には、式番号すらありませんから、この前の行間読み(深読みしすぎ?)に従い、「分極ベクトル(双極子モーメント密度)は、こんな感じで定義するのさ」くらいの、軽い式なのだろうと思っていましたが、

(だからrの符号なんかどうでも良いと・・・。また、誤植ではないかとすら疑っていましたが・・・)

たぶん#3さんが正解だと思います。

 自分も相互相関関数くらいは知っていたのに、こんなところに畳み込みが出てくるとは、思いもしませんでした・・・~~;;。これが本当に「こんな感じ」程度の式に、何気なく出てきたものだとしたら、やっぱり砂川先生には、頭が下がります。またこれが、伝統的に電磁気学の常識なのだとしたら、やっぱり電磁気学は敷居が高くて、奥も深いですよね・・・。

 #1です。

>・・・(1.5)で定義されたpの概念を使うなら(1.6)~では積分よりもむしろ和で考える事になるという理解でよろしいでしょうか?密度の概念が現れたのは積分を使う事で(1.7)すなわち(1.9)を導く事が出来るから、という意図が読み取れるように思われます。

 自分は想像しすぎましたが^^、結局同じ意見です。以下、補足の後半に対して・・・。

 問題の式には、式番号すらありませんから、この前の行間読み(深読みしすぎ?)に従い、「分極ベクトル(双極子モーメント密度)は、こんな感じで定義する...続きを読む


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