体積の30%が密度ρ1[kg/立方メートル]の物質、70%が密度ρ2[kg/立方メートル]の物質からなる、全体積V[立方メートル]の物体を、密度ρ0[kg/立方メートル]の液体に入れたところ、浮かんだ。この物体の液面上にある部分の体積をV’と、液面下にある部分の体積V'’の比を求めよ。
という問題なのですが、解き方があやしいので、詳しい回答が出来る方、是非お願いします。

A 回答 (1件)

物体に働く浮力は、その物体が押しのけた液体の重さに等しい(アルキメデスの原理)………(☆)


を用いて解くことができます。

問題の物体が、一様な密度を持っているとすると、
  体積の30%が密度ρ1[kg/m^3]の物質、70%が密度ρ2[kg/m^3]
という条件から、物体の(平均)密度ρは、
  ρ = 0.3ρ1 + 0.7ρ2
です。物体の質量は、ρ×V なので、物体に働く重力は、
  重力 = 質量×重力加速度[N] = ρVg = ( 0.3ρ1 + 0.7ρ2 )Vg[N] ………(1)
となります。ただし、重力加速度をg[m/s^2]としました。

この物体が押しのけた液体の体積は、液面より下にある体積V''ですから、(☆)より、
  浮力 = 押しのけた液体の重さ = (押しのけた液体の密度)×(押しのけた液体の体積)×(重力加速度)[N]
 ∴ 浮力 = (ρ0)(V'')(g)[N] ………(2)

この物体は浮かんでいるので、浮力と重力は、つりあっています( 重力 = 浮力 )。すなわち、(1)、(2)を用いると、
  ( 0.3ρ1 + 0.7ρ2 )Vg = (ρ0)(V'')(g)
∴ ( 0.3ρ1 + 0.7ρ2 )V = (ρ0)(V'')    (← gを消去)
∴ ( 0.3ρ1 + 0.7ρ2 )( V' + V'' ) = (ρ0)(V'')    (← V = V' + V'')
この両辺をV''で割ると、
  ( 0.3ρ1 + 0.7ρ2 )( V'/V'' + 1 ) = ρ0
V'/V''=Xとすると、この式は、
  ( 0.3ρ1 + 0.7ρ2 )( X + 1 ) = ρ0
これをXの方程式とみて解くと、
  X = ρ0/( 0.3ρ1 + 0.7ρ2 ) - 1 …………(答)
これが求める「比」です。

上の(答)の式を変形して、
  X = ( ρ0 - 0.3ρ1 - 0.7ρ2 ) / ( 0.3ρ1 + 0.7ρ2 )
とできますから、「何対何」という表現をすれば、
  ρ0 - 0.3ρ1 - 0.7ρ2 : 0.3ρ1 + 0.7ρ2
もまた正解です。

なお、ご存知かも知れませんが、式(1)の重力、式(2)の浮力の単位が[N](ニュートン)であることに注意してください。
もし、力の単位を[kg重]にしたければ、式(1),(2)の重力加速度gは不要です。
答が間違っていたら、補足をお願いします。
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