フェルミー準位ってなんですか?式において、
n(x)=n(0)exp{-(E(x)-Ef)/kT}
のEfってことはわかるのですが、それが何を意味するかわかりません。
言葉で教えてください。

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A 回答 (5件)

まず


・固体中の電子の有するエネルギーはどんな値でも自由にとれるわけでなく、いくつかのエネルギー準位に限られる。
・電子は上記の式に従ってエネルギー準位の低い方から入っていく。ただし下の準位から全部詰めて入っていくわけでなく、上記の式に従って分布する。(従って低い準位でも若干の空きがあり、一方で高い準位にも少しは入っている)
ということを思い出して下さい。これが分からないとFermi準位については分かりませんから、統計力学か電子論、固体物性の教科書をもう一度復習して下さい。

Fermi準位の理解には「大学の大部屋の講義」を思い浮かべて頂くと分かりやすいと思います。
まず座席は、前の列から後ろの列までたくさんあるとします。とりあえず30列くらいあるとしましょうか。
そこへ学生が入ってきます。学生はあまり前の方に座りたがりませんから、席は大体後ろから詰まっていきます。もちろん後ろの1列が完全に埋まってから次の1列が埋まり始めるわけでなく、後ろから2列目や3列目も早い段階から埋まり始めることでしょう。人数は少ないながらも、前の方にも何人かは熱心な学生が座っていることでしょう。図に描くと下のようになります。

座席の埋まっている数

│         
│         ■
│         ■  
│       ■■■
│  ■ ■ ■■■■
└─────────→教授との距離
 前        * 後

もう見当が付いたことと思いますが、
座席の場所(教授からの距離):エネルギー準位
横一列の中で、埋まっている座席の割合:占有確率
に対応するわけです。「前の席ほどエネルギー準位が高い」ということですね。

Fermi準位とは、「だいたいどの辺の準位まで埋まっているか」「(電子は)平均としてどの辺の準位にいるか」を表す指標です。(厳密に言うならFermi-Dirac統計で「占有確率が1/2になるエネルギー準位」)
上の図では部屋の総収容数に比べて学生が少ないですから、後ろの方に学生が少しだけ座っておしまいです。ですから「Fermi準位は低い」ということになります。だいたい*を付けた付近がFermi準位でしょう。

さて期末試験が近付いて、学生の数が増えたとしましょう。後ろは埋まってしまって、あふれた学生は必然的に前の方にも座ることになります。従って分布は下の図のようになるでしょう。


座席の埋まっている数
↑       ■■■
│      ■■■■
│     ■■■■■
│    ■■■■■■  
│   ■■■■■■■
│ ■■■■■■■■■
└─────────→教授との距離
 前    *    後

この場合は学生はやむなく前に座るわけで、Fermi準位も上がります。大体*の辺りでしょうか。「学生の平均の位置」あるいは「座席はどの辺まで埋まっているか」は、前寄りになるわけですね。

最初の
n(x)=n(0)exp{-(E(x)-Ef)/kT}
に立ち返れば、これは
n(0)exp(Ef/kT)exp{-E(x)/kT}
と書き直せますから、Fermiエネルギーは一種の規格化因子とも言えます。
エネルギー準位の数(正確には状態密度)×占有確率を前エネルギーに亘って積分すれば、それは系の全電子数に等しくなければなりません。そこで規格化因子exp(Ef/kT)が入るわけです。

私自身、多少いいかげんな理解をしている部分がありますので、上記の回答の信頼性は適当に割引いてお読みください。
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この回答へのお礼

凄くわかりやすい説明で感動しました。
これで、テストでフェルミー準位について説明するとききっちりと書けます。
本当にどうもありがとうございました。

お礼日時:2002/01/29 12:39

siegmund です.



Umada さんの座席のご説明はとてもおもしろかったです.
今度,フェルミ分布の話をするときに使わせていただこうかと思っています.

> 半導体ですとバンドギャップ部分だけ座席が取り払われている教室を
> イメージすればよろしいのでしょうか・

なるほど,good idea ですね.
大講義室ですと,真ん中当たりに黒板と平行に通路がある部屋もありますね.
そういう部屋の話にしますか.
通路の前と後ろとでは座席占有確率が急に変化しそうで,
そこらへんも価電子帯と伝導帯の性質をよく反映しそうです.

> あとうまい具合にFermi準位がそこに来ているような図にしないといけないですね
そこがちょっと難しそうです.
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この回答へのお礼

ぜひとも、座席の説明をしてみてください。
日常的なことを授業に入れれば、学生の反応もいいはずです。

また、何かお世話になることがあるかもしれませんが、
そのときはよろしくお願いします。

お礼日時:2002/01/29 12:56

あちゃー、やっぱりボロがありましたか。

siegmundさん、いつもご指摘ありがとうございます。
座席の数と状態密度の関係について「座席定員×占有確率=座っている人数」になるのは全くご指摘の通りです。座席の数はどの列でも一定として図を描きましたが、実際には列によって座席の数が異なりますよね。
半導体-金属の違いについてのご指摘もありがとうございました、勉強不足が露呈してしまいました。(半導体ですとバンドギャップ部分だけ座席が取り払われている教室をイメージすればよろしいのでしょうか・・・あとうまい具合にFermi準位がそこに来ているような図にしないといけないですね)

学生が前に座らないのは不変の真理(?)ですね。私も学生の時分は「前の方はポテンシャルが高いから、私の波動関数はその辺にはあまりないのだ」などとうそぶいて、いつも後ろに座っておりました(笑)。
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この回答へのお礼

僕も授業はどちらかというと、後ろの方に座るタイプです。黒板の文字が小さい時は前列にのり出しますが・・・。

学生の中でも前に座る人と後ろに座る人でかなりわかれてるような気がします。活発な電子とそうでない電子がいるんですね。僕はどちらかというとそうでないほうかもしれないですけど・・・。

お礼日時:2002/01/29 12:52

(1)  n(x)=n(0)exp{-(E(x)-Ef)/kT}


の式からすると,半導体の話のようですね.

Umada さんの解説はなかなかわかりやすく,面白い解説でした.
私の講義も後ろの方から学生が埋まります(^^;).

さて,Umada さんのご説明は,本質的に金属に対する説明です.
教授との距離がエネルギーに対応し
(後ろの方がエネルギーが低い,逆であって欲しいんですがね),
座席が横にいくつあるか(Umada さんの図では6つ)が同じエネルギーにある準位の数
(状態密度)に対応しています.
本当は状態密度はエネルギーの関数なのですが,
Umada さんの図ではわかりやすく6に固定しています.

Umada さんの説明に適合する分布関数はフェルミ-ディラックの分布関数
(2)  f(x) = 1/{exp[(Ef-E(x))/kT] + 1}
です.
(a) (2)で E(x) = Ef とおくと,f(x) = 1/2 になること
(b) (2)で T→0 とすると,E(x)<Ef なら f(x) = 1, E(x)>Ef なら f(x) = 0.
  すなわち,フェルミ準位以下は完全に占有されていて,フェルミ準位以上は空.
であることを確認してください.
なお,(2)の分母の +1 を -1にすると,
ボーズ・アインシュタイン分布関数になります.

(2)の分母の +1 を無視すると(1)のタイプになりますが,
無視できるためには
(3)  exp[(Ef-E(x))/kT] >> 1
が必要で,通常の金属ではこの条件は満たされません
(縮退している,といっています).
ところが,半導体で Ef が禁制帯内にあり,しかも上下のバンド端から十分離れていると
(3)の条件が満たされます.
このとき(2)を
(4)  f(x) = exp[-(E(x)-Ef)/kT]
の形に書くことができて,これが(1)の正体です.

繰り返しになりますが,(4)が使えるのは(3)の条件の下(つまり(4)の f <<1 )の
ときのみです.
そこら辺を考えずに(4)を使うと,フェルミ粒子なのに占有確率が1を越える
というおかしなことになります.
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この回答へのお礼

Umadaさんの話がある特殊な場合に成り立つことがよくわかりました。
補足の説明大変ありがとうございます。

回答の文を見るに当たり、大学で授業をなさってるようですね。
あなたの授業のフェルミー準位が上がることを祈っています。(笑)

お礼日時:2002/01/29 12:44

「半導体」のところで習ったような・・・。

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Q固体のエネルギーバンド理論

Auの自由電子密度はn=5.90×10^22cm^-3である。このとき、金属の自由電子モデルを用いて、フェルミエネルギー、フェルミ波数、フェルミ速度およびフェルミ温度を求めよ。

フェルミエネルギーE_F=h^2/2m(3π^2n)^2/3
hはhバーでhバー=1.05×10^-34Js
最初のフェルミエネルギーの答えが5.49eVなのですがどうやっても答えが出ません
わたしはmのところを79にしたんですがそれはあっているでしょうか?
あと単位のエレクトロンボルトに変換するために1.60×10^-19Jで割ったりもしました。
それで出てきた答えが4.436×10^-14です。
nの単位をmに直したりもしました。
わからないので誰か教えてください。
最初のフェルミエネルギーが解けないのでその後のも全部できない状態なのです;;

Aベストアンサー

まずFermiエネルギーとは何ぞや、ということですが、本サイトでも過去にいくつか議論がありますので「フェルミ」「フェルミ準位」などのキーワードで検索してみるとよいと思います。

固体の中で電子の取りうる状態はいくつかのとびとびの状態(エネルギー準位)に限られます。座席のようなものだと思って下さい。そのエネルギーには高い低いがありますが、電子はだいたい低い方から順に詰めていきます。ただし低い準位にも多少の空席が生じますし、高い準位でも多少は占有されています。だいたいどの辺まで詰まっているかを表す指標がFermi準位です。(例えば、http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=206257などをご参考に)

さて数字の代入のお話ですが、m=79は二つの意味で誤りがあります。mに代入するのは原子番号ではなく具体的な質量であること、そして代入する質量は原子1個の質量でなく電子の質量であることです。(m=79では、物理量としてそもそも質量の次元を持ちません!)
また長さの単位がmかcmか自信のないまま適当に代入しているとしたらちょっとこれは問題です。基本的に式に数字を代入する時は単位を揃えるのが基本です(*)。[m]と[cm]を混在させたまま計算すると訳が分からなくなりますよ。

Fermiエネルギーの式をちゃんと書くと以下のようになります。ここでhは、質問文中と同様にhバーです。
E_F=(h^2/2m)((3π^2)×n)^(2/3)
代入してみましょう。
(1.05×10^(-34)[Js])^2 ÷ 2×9.1×10^(-31)[kg] ×{3×3.14^2 ×5.90×10^28 [m^(-3)]}^(2/3)
電子の質量が9.1×10^(-31) [kg]であること、自由電子密度を[m]単位に書き直したことに注意して下さい。すべてSI有理単位で数字を入れていますから、結果もSI有理単位系でのエネルギー単位、すなわち[J]で得られます。
多少厄介ですが根気よく計算すると
8.78×10^(-19) [J]
くらいになるはずです。
ジュール単位から電子ボルト単位への変換はmahiro19さんのご理解の通りで結構です。1.602×10^(-19)で割ればよく、5.49 [eV]が得られます。

波数kへの変換は、エネルギーをEとして
E=(h^2 k^2)/2m
で与えられます。ここもhはhバーです。mは電子の質量です。
代入の練習として、Eを[J]、mを[kg]単位で入れてみて下さい。波数は[m^(-1)]の単位で出てくることになります。

速度vは
E=(1/2) mv^2
で求めてみて下さい。mは同様に[kg]単位で入れてみて下さい。vは[m/s]の単位で出てくるはずです。

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E=kT
として求められます。ここにkはBoltzmann定数(1.38×10^(-23) [J/K])です。Tは絶対温度(単位はケルビン、[K])であることに注意してください。

--------
*ある程度慣れてきて計算の見通しが立つようになれば、単位を混在させたままで計算することはできますが、そこまで分かっていないのだとしたら愚直であっても、最初に単位を揃えて計算する方法が結局は確実で早道です。

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Qフェルミ準位について教えてください

私の持っている資料にフェルミ準位についてこう書かれていました。

「電子が絶対零度で存在することができる最大エネルギーをフェルミエネルギーと言う」

また教科書には

「フェルミ準位よりも下に位置する準位には電子が存在し、この上にある準位には電子がないようなものと考えて良い」

この考えで、真性半導体についての説明をんで混乱しました。

「価電子帯のすべての準位は電子で満たされている。従って絶対零度における電子の存在確率は価電子帯で1、伝導帯で零となり、存在確率が1/2となる。すなわちフェルミ準位は価電子帯と伝導帯の間に位置することになる。」
以下に教科書の図を示します(手書きで申し訳ありません)

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このまま読み進めた結果PN接合のところでさらに混乱してしましました。

長くなってしましましたが、回答宜しくお願いします

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価電子帯の電子は、エネルギーを受けると伝導帯に遷移することはわかりますね?
また、フェルミ分布関数を考えてみると、フェルミエネルギーの点を原点にすると点対称な関数になっています。

遷移する前とした後の電子の準位の中心は、フェルミエネルギーになっているはずです。
電子がいくつも励起されると、分布関数に従ったエネルギー分布を見せます。
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電子の分布をみた場合、価電子帯の上端と、伝導帯の下端の間の中心にフェルミエネルギーがあるような分布をしているということから、フェルミエネルギーはこのような位置になります。(ある種の対称性がある為、中心になります)

ドープ原子がある場合、電子が存在できる準位が禁制帯の中にできてしまう為、電子の存在分布が変わり、フェルミエネルギーが少し上もしくは下に移動することも教科書には書いてあることでしょう。

Qpn接合

pn接合のバンド図ですが、熱平衡状態のときはフェルミ準位が一致していて、p型からn型へなだらかにつながってなってますよね?
これはなぜなんですか?
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と思ったのですが、いまいちよくわかりません。
どなたか回答をよろしくお願いします。

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思考実験としてn型の半導体とp型の半導体をいま図1のように接続したとします。
Fermi準位とは「電子がどの準位まで詰まっているか」を表す指標です*1。(http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=206257の、siegmundさんのご回答と私の回答を参考にして下さい) バンドダイヤグラムを見ても分かりますように、n型の方は電子(自由電子)が高い準位まで詰まっていますから、自由電子はそれが不足している(Fermi準位の低い)p型に流れ込むことになります。

n型     p型
             ↑エネルギー
━━━━━━━━━伝導帯
────

     ────Fermi準位
━━━━━━━━━価電子帯

図1 pとnを接合した瞬間のバンドダイヤグラム。Fermi準位が一致しない。


さてn型半導体ですが、自由電子が多いとは言ってもその分イオン化したドナーが存在するわけですから、n型領域全体としては本来電気的に中性です。ところがp型と接合したことにより若干の自由電子がp型に移りますから、イオン化したドナーだけが残って接合界面近傍に正の電荷が生じることになります。p型半導体の中も空孔がn型側に移ることにより負の空間電荷が界面近傍に生じます。

  n型      p型
┏━━━━━┳━━━━━┓
┃    +┃ -   ┃
┃    +┃-    ┃
┃   + ┃ -   ┃
┗━━━━━┻━━━━━┛

図2 n型の界面近傍では、自由電子がp型に移ったことにより正に帯電する。


イオン化したドナー/アクセプタに由来する空間電荷の密度分布を図3のようなステップ関数的に近似します。そのつくり出す電界はGaussの法則から簡単に計算でき、さらに電界を積分すれば電位になります。その結果、バンドダイヤグラムは図4のようになります。
図4では空乏層部分のダイヤグラムを直線で描いてありますがこれは図示上の制約からであり、実際には放物線を二つ組み合わせた形状、すなわちakkkさんのおっしゃる「滑らかにつながって成る形状」になります。(図3から電位の計算をすればすぐに分かります)


↑電荷密度
     pn接合
   ┏━┓
   ┃+┃
━━━┛ ┃ ┏━━━
     ┃-┃
     ┗━┛
           →位置

図3 空間電荷の分布



n型  空乏層  p型
      ━━━━伝導帯
     /
━━━━/
──────────Fermi準位   
      ━━━━価電子帯
     /
━━━━/

図4 Fermi準位が一致し、バンドは滑らかに接続


要約すると次のようなことになります。
・n型は自由電子が過剰なので、pn接合を作ると自由電子はp型側に拡散しようとする。
・拡散すると界面近傍で、n型側に正の電荷、p型側に負の電荷が現れる。
・この電荷は界面近傍に、自由電子/正孔の拡散を妨げる方向の電界を作る。
・拡散による流れと電界による流れがつり合ったところで平衡し、両者のFermi準位は一致する。バンドダイヤグラムが滑らかにつながることは、空乏層の空間電荷分布から考えれば理解される。

この辺の話は物性論や半導体の初歩の教科書に「pn接合」として必ず出ていますから、もし上記の説明で不足ならぜひakkkさんご自身でそれらの本を読んでみて下さい。上記の予備知識を持って読めば決して難しくないと思います。

以下はご参考まで。
「pn接合」
http://www.fc.ee.miyazaki-u.ac.jp/fc.ee.HP/6whats-sun/pn-junction.htm

--------
*1 接続した瞬間は非平衡であり、厳密に言えばFermi準位の考え方は使えないことになります。

参考URL:http://www.fc.ee.miyazaki-u.ac.jp/fc.ee.HP/6whats-sun/pn-junction.htm

思考実験としてn型の半導体とp型の半導体をいま図1のように接続したとします。
Fermi準位とは「電子がどの準位まで詰まっているか」を表す指標です*1。(http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=206257の、siegmundさんのご回答と私の回答を参考にして下さい) バンドダイヤグラムを見ても分かりますように、n型の方は電子(自由電子)が高い準位まで詰まっていますから、自由電子はそれが不足している(Fermi準位の低い)p型に流れ込むことになります。

n型     p型
             ↑エネルギ...続きを読む

Q半導体のバンド構造で

半導体の基礎的なことについての質問です。
pn接合や表面準位を考慮したバンド構造を考えるとき
平衡状態に達したときはフェルミエネルギーが一致するよう
なバンド構造になりますが、なぜなのでしょうか?
またpn接合のときフェルミエネルギーは一定でドナー準位や
アクセプタ準位が場所に変動する理由がよく分かりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

pn接合を作ると、n型半導体の電子がp型半導体へ拡散し、p型半導体の正孔がn型半導体へ拡散します。これは高濃度から低濃度の流れなので、pn接合でなくても、高濃度のn型と低濃度のn型の接合でも拡散が起こります。

拡散によって電子が増えたp型半導体は、-電荷が増えて電位が低くなるのでバンドが上がります。ややこしいですが、バンド図というのは下方向が+電位ですので、電子が増えたp型半導体のバンドは上がります。それと同時に、電子が増えたp型半導体のフェルミレベルは、価電子帯近くから伝導帯のほうに上がります。フェルミレベルは電子の存在確率が50%の位置なので、電子が増えればバンドギャップ中の位置は上に上がります。逆に電子の少なくなったn型半導体のバンドは全体に下がり、バンドギャップ中のフェルミレベルの位置は下がります。拡散はpn接合付近で最も多く、接合から遠いところでは起こりにくいので、pn接合付近で最もバンドが傾斜し、接合から遠いほど傾斜は緩くなります。傾斜というのはその部分の電界(電位差/距離)です。その傾斜の向きは拡散を抑える方向になっているので、電子の拡散はどこかで平衡状態に達してそれ以上起こらなくなります。そして最終的にフェルミレベルが水平になるところで拡散が落ち着きます。

今の状況をアニメションで示してくれるサイトがあります(http://kccn.konan-u.ac.jp/physics/semiconductor/diagram/a08.html)。ページ上のスライダを2つめの目盛りのところに動かすと、pn接合ができます(まだ電子の移動はありません)。目盛りを少しずつ右に動かすとn型半導体の電子がp型のほうに移動(拡散)していきます。それ同時にp型のバンドが持ち上がり、傾斜ができます。この傾斜は電子の動きを抑える方向になっているので、傾斜が大きくなるほど拡散が抑制されます。拡散が抑制されればp型にやってくる電子は少なくなるので、あるところでそれ以上傾斜が増えなくなります。スライダを4目盛りのところまで動かしたのがその状態です。スライダを5目盛りのところまで動かすと青い線が出てきますが、それがフェルミレベルで、p型とn型で一直線になっています。ページ一番上の水槽の例にあるように、フェルミレベルを水面の高さだと考えれば、水位の異なる水槽をつないだとき、最終的に水位(フェルミレベル)が水平になるとうのが理解できると思います。このページのアニメでは、接合界面付近のフェルミレベル(破線)が描かれていませんが、n型とp型のフェルミレベルを直線でつないだ線になります。

>pn接合のときフェルミエネルギーは一定でドナー準位やアクセプタ準位が場所に変動する理由
質問の意味はよく分かりませんが、不純物半導体のフェルミレベルの位置が、なぜ不純物濃度によって変わるかという意味ですか?フェルミレベルというのは、その位置で電子の存在確率が50%になるという意味ですから、不純物濃度が低ければバンドギャップの中央に近くなります。不純物濃度が高ければ、不純物レベルの位置にいる電子の数が多いわけですから、フェルミレベルはバンドギャップ中央から不純物レベルのほうに近くなります(不純物濃度が非常に高かったり、不純物レベルが伝導帯に近いとき、伝導帯に励起されている電子が多いので、フェルミレベルは不純物レベルを超えて伝導帯の中にまで入って来ます)。

pn接合を作ると、n型半導体の電子がp型半導体へ拡散し、p型半導体の正孔がn型半導体へ拡散します。これは高濃度から低濃度の流れなので、pn接合でなくても、高濃度のn型と低濃度のn型の接合でも拡散が起こります。

拡散によって電子が増えたp型半導体は、-電荷が増えて電位が低くなるのでバンドが上がります。ややこしいですが、バンド図というのは下方向が+電位ですので、電子が増えたp型半導体のバンドは上がります。それと同時に、電子が増えたp型半導体のフェルミレベルは、価電子帯近くから伝導帯のほう...続きを読む

Qフェルミディラック分布関数の見方を教えて欲しいです

フェルミ・ディラック分布関数f(E)=1の時、粒子がある状態になる確率が100%で、f(E)=0の時はその状態になる確率は0%というような意味だと思うのですが、まだ曖昧ではっきり理解できていません。

下の図はキッテル固体物理の本の図です。例えばこのグラフから何を読み取る事が出来るのですか?温度が上がるとエネルギーEが低い状態でもf(E)が下がっていくので、ある状態になる確率が低くなるという事だと思いますが、具体的に何の粒子が何の状態になる確率の事を示しているのでしょうか。本文を読んでもそれらしい説明が書いてないような気もしますし、全体的に何の事を言ってるのかよく分かりませんでした。まずこれはある1種類の1つの粒子の状態に対してなのか、ある1種類の粒子の集団の統計的な物のどちらでしょうか。

フェルミ・ディラック分布関数の縦軸の確率は何の粒子の何になる確率ですか?どなたか教えて欲しいです。

Aベストアンサー

エントロピー増大の法則により、自然はエネルギーの低い方に移行していきます。

対象としている系で許されるエネルギーをまず考えます。
フェルミディラック分布関数というだけあって、対象としている粒子はフェルミ粒子であることが前提です。
フェルミ粒子とは、全く同じエネルギー値には1つの座席しかないものを指し、そこが占領された場合には他の同種粒子は他の座席に落ち着くしかないということになります。(反対に、同じエネルギー値にいくつも同種粒子が締められる粒子をボーズ粒子です)

さて、フェルミ粒子は絶対零度の時はエネルギーの低いところから順に占めていき、あるエネルギー(=フェルミエネルギー)までをすべて占めることができます。
(表面張力のない水が試験管の底から水面までぴっちり占めているようなイメージ)

では温度が上がるとどうなるか?
温度はkBT(kB:ボルツマン定数、T:温度)というエネルギーが存在するため、フェルミ粒子にそのエネルギーが与えられて、特定のエネルギーの粒子が励起します。当然、エネルギーが低い方から詰まっている絶対零度の時と比べて、エネルギーが高い状態に弾き飛ばされる粒子は多くなります。
温度が高ければ高いほどkBTの値は大きくなるので、よりエネルギーに励起する粒子が多くなります。
つまり温度が高くなると熱エネルギーを受けてしまうために、低いエネルギーに落ち着いていられなくなっていくという意味があります。

これを統計をとって表したのがフェルミディラック分布関数です。


>フェルミ・ディラック分布関数の縦軸の確率は何の粒子の何になる確率ですか?どなたか教えて欲しいです。

確率密度関数と呼ばれますので、対象としているエネルギーEとE+dEの間に粒子が存在する確率を表しています。

フェルミ粒子
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9F%E7%B2%92%E5%AD%90

エントロピー増大の法則により、自然はエネルギーの低い方に移行していきます。

対象としている系で許されるエネルギーをまず考えます。
フェルミディラック分布関数というだけあって、対象としている粒子はフェルミ粒子であることが前提です。
フェルミ粒子とは、全く同じエネルギー値には1つの座席しかないものを指し、そこが占領された場合には他の同種粒子は他の座席に落ち着くしかないということになります。(反対に、同じエネルギー値にいくつも同種粒子が締められる粒子をボーズ粒子です)

さて、フェル...続きを読む

Qフェルミエネルギー

フェルミエネルギーってどんなエネルギーのことですか??物理辞典とかを読んでも難しくてよくわかりません。わかりやすく説明おねがいします!

Aベストアンサー

長々と失礼致します。


電子のように
・粒子一つ一つに区別は出来ない
・一つの状態には一つの粒子しかは入れない
という性質の粒子を フェルミ粒子(ex陽子)といいます。

このフェルミ粒子は、フェルミディラック分布にしたがった確立で存在します。

f(ε)=1/[exp{(εーεF)/kT}+1]  ・・・☆
     f:フェルミ関数(運動エネルギーεをもつ粒子の存在確立)
     ε:粒子の運動エネルギー
     εF:フェルミエネルギー
     k:定数
     T:温度

☆式のεにフェルミエネルギーを入れると、粒子の存在確立が1/2になりますね。
ここで、温度T=0(絶対温度)の時を考えてみると、
運動エネルギーが、フェルミエネルギー以下の場合はf=1、フェルミエネルギー以上ではf=0となります。

ちなみに、粒子一つ一つを区別する事は出来ないけれど、一つの状態にいくつも粒子が入る事が出来るものをボーズ粒子(ex.光子)といいます。


電子はパウリの排他原理(排他律)にしたがい、一つの準位には一つの電子しか入れません。
下の準位から一つ一つ電子が埋まってゆき、その電子が詰まっている最大の準位がフェルミレベルで、このエネルギーをフェルミエネルギーといいます。
金属の場合、フェルミエネルギーは、荷電子帯の中にありますが、半導体の場合は荷電子帯と伝導帯の間にあります。
真性半導体の場合、荷電子帯の天井と伝導体の底辺のちょうど真ん中にあります。

長々と失礼致します。


電子のように
・粒子一つ一つに区別は出来ない
・一つの状態には一つの粒子しかは入れない
という性質の粒子を フェルミ粒子(ex陽子)といいます。

このフェルミ粒子は、フェルミディラック分布にしたがった確立で存在します。

f(ε)=1/[exp{(εーεF)/kT}+1]  ・・・☆
     f:フェルミ関数(運動エネルギーεをもつ粒子の存在確立)
     ε:粒子の運動エネルギー
     εF:フェルミエネルギー
     k:定数
     T:温度

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Q金属、半導体の抵抗の温度変化について

金属は温度が高くなると抵抗が大きくなり、半導体は温度が高くなると抵抗が小さくなるということで、理論的にどうしてそうなるのでしょうか。
金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?
半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。
あと自分で調べていたところ「バンド理論」というのを目にしました。
関係があるようでしたらこれも教えて頂くとありがたいです。

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン(自由電子が引っこ抜かれた残りの原子)の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます(進路を乱されます)。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

>>>半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。

半導体の中において金属の自由電子に相当するものは、電子とホールです。この2つは電流を担う粒子ですので、「キャリア」(運ぶ人)と言います。
ホールは、半導体物理学においてプラスの電子のように扱われますが、その実体は、電子が欠けた場所のことを表す「穴」のことであって、おとぎ話の登場人物です。
電子の濃度とホールの濃度に違いがあったとしても、一定の温度においては、両者の濃度の積は一定です。
これは、水溶液において、H+ と OH- の濃度の積が一定(10^(-14)mol^2/L^2)であるのと実は同じことなのです。

中性の水溶液の温度が高くなると、H2O が H+ と OH- とに解離しやすくなり、H2O に戻る反応が劣勢になります。
それと同様に、真性半導体においても、温度が上がると電子とホールが発生しやすくなるのに比べて、両者が出合って対消滅する反応が劣勢になるため、両者の濃度の積は増えます。
キャリアが増えるので、電流は流れやすくなります。

こんにちは。

>>>金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン(自由電子が引っこ抜かれた残りの原子)の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます(進路を乱されます)。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

>>>半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。

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Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む

Qフェルミ準位について

禁制帯とは、電子が存在しない範囲と習ったのですが、、、
フェルミ準位は、禁制帯中に存在しかつ電子の存在確立が二分の一であるとも習いました。

これは矛盾しているように感じるのですが。
なので、どなたかなぜ禁制帯中にフェルミ準位があるのか教えていただけませんか?
よろしくお願いします!

Aベストアンサー

結論から申し上げると矛盾はありません。
kuniuniさんも説明されているように、「状態密度」と「分布関数」は別のものだからです。おそらくtttkkkさんはこの両者の区別がよくついていない段階で「存在確率が1/2」と教わったために混乱されているのだと思います。「存在確率1/2」はこの「分布関数」に関してのお話です。

状態密度とは「そのエネルギーで、電子が取りうる状態がどのくらいあるか」を示す関数(エネルギーEについての関数)です。実際にその状態をどの程度電子が占めているかには関係しません。
分布関数は「そのエネルギーで、電子が占める状態の割合はどれくらいか」を示す関数(エネルギーEについての関数)です。実際にそのエネルギーに許される準位があるかどうかには関係しません。
これは下の図で考えると良いと思います。


(A)用意されている状態の数 (状態密度関数Z(E))

    □□ □
  □□□□ □□
  □□□□ □□
□□□□□□ □□□
□□□□□□□□□□
      ↑   →エネルギー


(B)占有確率 (分布関数f(E))

     ***** 1
    ******
   *******
  ********
********** 0
      ↑   →エネルギー

(C)実際に電子が占める状態の数 (Z(E)×f(E))

     ■ ■
    ■■ ■■
    ■■ ■■
   ■■■ ■■■    
  ■■■■■■■■
      ↑   →エネルギー

最終的に電子が占めている状態の数は、各エネルギー準位ごとに(B)と(C)のかけ算、Z(E)×f(E)として得られます。
図中で↑で示した部分は、分布関数f(E)はほとんど1であるにも関わらず、もともとの状態の数Z(E)がないために、最終的に占めている電子の状態の数は非常に少なくなっています。
もうお分かりかと思いますが、禁制帯とは(A)で、(許される)状態がまったくないエネルギー領域のことです(その区間でZ(E)=0)。従って分布関数が1/2になろうと1になろうと、電子が実際にその状態を占めることはないわけです。「仮想的にそこに許される状態があったなら占有確率が1/2になるエネルギーがFermi準位」と考えてもよいです。

本サイトでも過去にいくつかFermi準位に関する議論があります。必要に応じ「フェルミ準位」などのキーワードで検索してみると参考になると思います。

結論から申し上げると矛盾はありません。
kuniuniさんも説明されているように、「状態密度」と「分布関数」は別のものだからです。おそらくtttkkkさんはこの両者の区別がよくついていない段階で「存在確率が1/2」と教わったために混乱されているのだと思います。「存在確率1/2」はこの「分布関数」に関してのお話です。

状態密度とは「そのエネルギーで、電子が取りうる状態がどのくらいあるか」を示す関数(エネルギーEについての関数)です。実際にその状態をどの程度電子が占めているかには関係しません。
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Q半導体の縮退って?

半導体の参考書など読んでいるとよく、「縮退」という言葉が出てきます。しかも、どうやらいろいろなケースで使われているようですが、いまいちよくわかりません。

例えば、
・フェルミ準位が伝導帯中や価電子帯中に位置してるとき。
・スピンが上下二種類埋まっているとき。

に関しては分かったのですが、縮退の一般的意味と共に、他のケースについて、どういったときに縮退というのか具体的に教えていただけませんか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

物理で縮退という用語は主に2つの意味で使われます.

(1) mmky さんご指摘の,
> 同じエネルギーをもつ状態が二つ以上いくつか存在すること.
例えば,クーロンポテンシャル中の荷電粒子のような中心力場では球対称性がありますから,
粒子のエネルギーは角運動量にはよりません.
p 軌道なら3重縮退,d 軌道なら5重縮退.
電子だったら,これにスピンの固有値による2重縮退が加わります.

(2) 電子気体(など)を量子統計で扱わないといけないか,
古典統計でよいかということがあります.
量子統計で扱わないといけない(低温)ときを「縮退している」といいます.
低温かどうかは考えている系のもつ特徴的なエネルギー(例えば,フェルミエネルギー)
を温度に換算したもの(フェルミ温度 T_F)との関連で決まります.
T << T_F なら縮退しています.
縮退ならフェルミ分布関数の分母にある1を無視できないし,
非縮退なら無視してよい(ボルツマン分布になる)というわけです.
sunny_day さんの
> フェルミ準位が伝導帯中や価電子帯中に位置してるとき。
は確かにそのとおりですが,これは縮退のもともとの定義ではありません.
フェルミ準位の位置の結果,そうなっているということです.
なお,フェルミ準位が禁制帯内にあっても,バンド端とのエネルギー差によっては
縮退していることもありえます.

(3) 分子遺伝学でも縮退という用語があります.
1種類のアミノ酸に対応し複数の遺伝子コドンが存在するときにこのように言うようです.
ここら辺は素人なのであまり自信がありません.

物理で縮退という用語は主に2つの意味で使われます.

(1) mmky さんご指摘の,
> 同じエネルギーをもつ状態が二つ以上いくつか存在すること.
例えば,クーロンポテンシャル中の荷電粒子のような中心力場では球対称性がありますから,
粒子のエネルギーは角運動量にはよりません.
p 軌道なら3重縮退,d 軌道なら5重縮退.
電子だったら,これにスピンの固有値による2重縮退が加わります.

(2) 電子気体(など)を量子統計で扱わないといけないか,
古典統計でよいかということがあります.
量子...続きを読む


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