不確定性原理と位置・運動量の測定

量子力学で、位置・運動量を同時に測ると
Δｘ・Δｐ>h程度の不確定さでしか測れないわけですが、
逆にいえばその程度の精度でなら測れるわけです。
さて、運動量-位置のphase spaceにおいて、
xとpがどのように分布しているかを定式化するにはどうすればよいでしょうか？

つまり、位置x～x+Δxに粒子がいて、かつ、
運動量p～p+Δpを持っている確率です。
ただし、Δｘ・Δｐ>h

No.2 回答者： motsuan 回答日時： 2002/01/30 12:35

波動関数をどんな形でもいいのできめれば位置の分布と運動量の分布が決まります。

良く知っていらっしゃるとは思いますが、
具体的には波動関数を位置の関数φ(x)で表せば|φ(x)|^2で位置の分布、フーリエ変換して
波数ｋの振幅φ~(k)とすると、プランク定数を１として|φ~(k)|^2が運動量の分布です。
言いたいことはφ(x)が規格化できればなんでもありで、フーリエ変換の性質として
不確定性の関係がなりたってしまうということです。
（ここでフーリエ変換といっているのは運動量演算子について境界条件を入れて
　固有状態で展開するという意味です。）

No.1 回答者： Mell-Lily 回答日時： 2002/01/29 12:55

不確定性関係は、シュレーディンガー方程式から導くことが出来ますから、シュレーディンガー方程式そのものが、（電子などの）運動量と位置の分布を与えます。

具体的には、波動関数の波束をフーリエ展開すればいいのです。量子力学では、波動関数の波長は、運動量の逆数にプランク定数をかけたものです。波束の長さが、位置の不確定の様子を表し、波長の範囲が、運動量の不確定の様子を表します。

この回答への補足

でも、運動量と位置が独立でない場合はどうでしょうか？
xとpが独立して変化するのではなく・・・ってよく考えたら、常にxとpって、独立ですか？
つまり、常に、
粒子の位置がx～x+Δxにいて、かつ運動量がp～p+Δpになっている確率=粒子の位置がx～x+Δxにいる確率と運動量がp～p+Δpになっている確率の積
なのでしょうか？

補足日時：2002/01/29 16:15