円順列の問題です

いつもお世話になります。
高校生に教えているのですが、解説に書かれていない質問をされて、私自身もうまく説明できませんでした。
生徒からの質問は、（１）では最後に２を掛けるのに、
なぜ（２）ではなぜ父と母が入れ替わるという考え方をしないのか、です。
宜しくお願いします。

問）両親と４人の子供が円形のテーブルに着席するとき、以下の並び方は何通りあるか。

（１）両親が隣りあう場合
　　　両親を１まとめにして考えると、５人の円順列になる。
　　　（５－１）！＝２４
　　　両親が入れ替わる場合があるから、
　　　２４×２＝４８　通り

（２）両親が隣り合う場合
　　　６人の円順列において、特定の１人を父とすると母の席も条件より決まる。
　　　残る席は４つだから、
　　　4P4＝２４　通り

No.1 回答者： mayhare 回答日時： 2006/04/05 01:10

よくわからないんですが、（１）と（２）の問題はどう違うんですか？

とりあえず、（２）の回答は間違ってますね。
特定の一人を父としたとき、母は右にいるか左にいるかの二通りですから、２をかける必要があります。
よって答えは４８通り。

この回答への補足

（２）両親が向かい合う場合
の間違いです。申し訳ありません。

補足日時：2006/04/05 01:47

No.2 ベストアンサー 回答者： waseda2003 回答日時： 2006/04/05 01:40

(2)は「両親が向かい合う場合」の誤りですね。

混乱の原因は，次の２つだと思われます。

(A)「両親を１まとめにする」と表現しているため，
　（できないはずの）２人を固定しているかのような
　錯覚をしてしまう。
(B)（１つを固定したあと）どのような（一列の）順列
　に帰着させたのかをいう部分の説明があいまい
　になっている

基本に戻って，「どのような（一列の）順列になるか」を
飛ばさずに説明すれば，状況は明白ではないでしょうか。
２を掛けるかどうかの違いというふうには，
ことさら意識はしないと思います。

(1) 父の目から見ると（父を固定すると），母が端に
来るように子供４人と一列に並べる順列と同じです。
母が右端か左端か２通り，そのあと子供４人が（束縛
条件なしに）一列に並べばよいから，
　　２×４！＝４８通り

(2) 父の目から見ると（父を固定すると），母が中央に
来るように子供４人と一列に並べる順列と同じです。
母が中央に決まっているということは，子供４人だけの
並びを考えることになるので，
　　４！＝２４通り

この回答へのお礼

ぱっぱっぱ、と言う具合に分かりました！どうもありがとうございました。

お礼日時：2006/04/05 21:49

No.3 回答者： debut 回答日時： 2006/04/05 01:56

ひょっとして、(2)は両親が向かい合う場合ということですかね？

それなら、回転したときに同じ並びが生じるからということでしょう。
例えば（子を１，２，３，４として）父から時計回りに
　［父、１，２、母、３，４］を父と母を交換して
　［母、１，２、父、３，４］とした場合、これは
　［父、３，４、母、１、２］と同じことで、24通りの中にすでに数え
　入れてある　
ということで、入れかえて２倍はしません。

一方、
隣り合う場合は、例えば　母が父の右隣にいる並び　ではどのように回転
したとしても母が父の左隣にいる並びはできません。
だから、入れかえた分で２倍します。

関係ないことを書いていたらすみません。

この回答へのお礼

視覚的に理解できました。また、「一方…」以下の記述は、そのまま使わせていただきたいくらいです。どうもありがとうございました。

お礼日時：2006/04/05 21:52

No.4 回答者： pyon1956 回答日時： 2006/04/05 08:01

考え方の問題ですが・・・・

円順列、というのはつまり端っこが無いということです。つまり、場所に一番あっちとかこっちとかいうのがありません。
だから、こういう場合、だれかを固定して、ぐるぐる回るのを防止してやればよいのですね。
（１）ではまず父を固定します。すると母の座れる席は２つあるので２、あと残った席は4個だから2×4！になります。
（２）では父を固定したとき、母の座れる席は一つしかありません。従って1×４！になります。
結局父を固定したとき母の座れる席の数の違い、と考えるのがわかりやすいでしょう。

この回答へのお礼

なるほど、そういった考え方もあるのですね。ありがとうございました。

お礼日時：2006/04/05 21:50