G(x) = ∫(0~x^2) e^(-t) sint dt は、
=[-e^(-t) cost](0~x^2) -∫(0~x^2) e^(-t) cost dt
=-e^(-x^2) cos(x^2) - [e^(-t) sint](0~x^2) -∫(0~x^2) e^(-t) sint dt
=-e^(-x^2) cos(x^2)-e^(-x^2) sin(x^2)-G(x)

2G(x)=-e^(-x^2) {cos(x^2)+sin(x^2)}
G(x)=[{-e^(-x^2)}/2]*{cos(x^2)+sin(x^2)}

で合ってますか?

A 回答 (2件)

redbeanさんのおっしゃるとおり、



G(x)=[{-e^(-x^2)}/2]*{cos(x^2)+sin(x^2)} + 1/2

だと思います。
多分cos(0)=1をcos(0)=0となさってしまったのでは?
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この回答へのお礼

正にそのとおりです!
自分で見直したとき全く気付きませんでした…
ご指摘ありがとうございます.

お礼日時:2002/01/29 17:05

正解は



G(x)=[{-e^(-x^2)}/2]*{cos(x^2)+sin(x^2)} + 1/2

ではないですか。
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この回答へのお礼

ありがとうございます.
こんな初歩的なミスをするとは…

お礼日時:2002/01/29 17:05

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Qlim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^

lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt

(∫{0~x}の部分はこういう表記の仕方がよくわからないのですが、0が下でxが上です)

答えが一応出たのですが、解答解説がついていないためチェックしていただけますか?

lim{x→∞} x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt

exp(x^2)はtによらないので、
=lim{x→∞} x∫{0~x}exp(t^2)dt /exp(x^2)

exp(t^2)の0~無限大の積分は明らかに無限大に発散するので、ろぴたるの定理をつかう
=lim{x→∞} {∫{0~x}exp(t^2)dt+xexp(x^2)}/exp(x^2)2x
=lim{x→∞} ∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt/2x +1/2

これを最初の式と比べる
lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt =lim{x→∞}∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt/2x +1/2

lim{x→∞}x(1-1/2x^2)∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt = 1/2
lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt =x^2 / (2x^2-1)=1/2

という風に1/2が答えとして出たのですが、間違っているとこ、足りないところなどありましたらご指摘お願いします。

lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt

(∫{0~x}の部分はこういう表記の仕方がよくわからないのですが、0が下でxが上です)

答えが一応出たのですが、解答解説がついていないためチェックしていただけますか?

lim{x→∞} x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt

exp(x^2)はtによらないので、
=lim{x→∞} x∫{0~x}exp(t^2)dt /exp(x^2)

exp(t^2)の0~無限大の積分は明らかに無限大に発散するので、ろぴたるの定理をつかう
=lim{x→∞} {∫{0~x}exp(t^2)dt+xexp(x^2)}/exp(x^2)2x
=lim{x→∞} ∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt/2x +1/2

これを最初の式と比...続きを読む

Aベストアンサー

「これを最初の式と比べる」以降の計算は、
各 lim が収束することを根拠なく仮定している。
もう一度、ロピタルを使えば良かったのに。

Q方程式{(x-sin(x))^4*(-3x+5xcos(x)-2sin(x))}/(32x^3)=0

方程式{(x-sin(x))^4*(-3x+5xcos(x)-2sin(x))}/(32x^3)=0

を解きたいです。

どなたか解法を教えてください。

ニュートン法で解く方法を教えてください。

微分の式などできるだけ途中の式も省かずに教えてください。

解は、x=5.28前後だと思います。

Aベストアンサー

-3x + 5xcos(x) - 2sin(x) = 0 …1
または
x-sin(x) = 0 …2
で、2よりx = 0ですが0は不適(分母が0になるので)なので1のみを考えればよいでしょう。

f(x) = -3x + 5xcos(x) - 2sin(x)

として、あとは
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E6%B3%95
でも見ながら頑張ってください。

Q【問題】∫[x^3/{(x-1)^3(x-2)}]dx を計算せよ。

【問題】∫[x^3/{(x-1)^3(x-2)}]dx を計算せよ。
部分分数に分けることができませんでした^^;
そこから手も足もなくて…

どなたかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

#1です。

A#1の補足について

>x^3/{(x-1)^3*(x-2)}=a/(x-1)+b/(x-1)^2+c/(x-1)^3+d/(x-2)とおいて、
>a(x-1)^5*(x-2)+b(x-1)^4*(x-2)+c(x-1)^3*(x-2)+d(x-1)^6=X^3という方程式を得ました。
両辺に(x-1)^3*(x-2)}を掛けたらなぜ↑の式になるのですか?
正しくは
x^3=a(x-1)^2*(x-2)+b(x-1)*(x-2)+c*(x-2)+d(x-1)^3 …(■)
です。
x=2とおいて d=8
x^3=a(x-1)^2*(x-2)+b(x-1)*(x-2)+c*(x-2)+8(x-1)^3
最後の項を左辺に移項
x^3-8(x-1)^3=a(x-1)^2*(x-2)+b(x-1)*(x-2)+c*(x-2)
x^3-8(x-1)^3=-(x-2)(7x^2-10x+4)なので両辺を(x-2)で割って
-(7x^2-10x+4)=a(x-1)^2+b(x-1)+c
x=1とおいて c=-1
左辺のcの項を左辺に移項
-(7x^2-10x+3)=a(x-1)^2+b(x-1)
左辺=-(x-1)(7x-3)なので両辺を(x-1)で割って
-(7x-3)=a(x-1)+b
x=1とおいて b=-4
-7x+3=ax-a-4
x=0とおいて a=-7

これで部分分数展開ができるので積分ができるでしょう。

部分分数展開の別解)
(■)の式の右辺を展開して
x^3=(a+d)x^3+(-4a+b-3d)x^2+(5a-3b+c+3d)x-2a+2b-2c-d
これは恒等式なので各次の係数を比較して
1=a+d
0=-4a+b-3d
0=5a-3b+c+3d
0=-2a+2b-2c-d
この連立方程式を解けば
a=-7,b=-4,c=-1,d=8
と求まります。

#1です。

A#1の補足について

>x^3/{(x-1)^3*(x-2)}=a/(x-1)+b/(x-1)^2+c/(x-1)^3+d/(x-2)とおいて、
>a(x-1)^5*(x-2)+b(x-1)^4*(x-2)+c(x-1)^3*(x-2)+d(x-1)^6=X^3という方程式を得ました。
両辺に(x-1)^3*(x-2)}を掛けたらなぜ↑の式になるのですか?
正しくは
x^3=a(x-1)^2*(x-2)+b(x-1)*(x-2)+c*(x-2)+d(x-1)^3 …(■)
です。
x=2とおいて d=8
x^3=a(x-1)^2*(x-2)+b(x-1)*(x-2)+c*(x-2)+8(x-1)^3
最後の項を左辺に移項
x^3-8(x-1)^3=a(x-1)^2*(x-2)+b(x-1)*(x-2)+c*(x-2)
x^3-8(x-1)^3=-(x-2)(7...続きを読む

Q不定積分∫(sin x)^(-4)(cos x)^(-2)dxの計算

「解析学序説」上(一松信)p77の不定積分∫(sin x)^(-4)(cos x)^(-2)dxに挑戦してみました。I(m,n)=∫(sin x)^m(cos x)^ndxの漸化式を何回か使うと結果が出るのですが、私の出した式と巻末解答とがあまりに違いすぎるのです。

(1)  I(-4,-2)=1/(((sin x)^3)cos x) - 4cos x/3(sin x)^3 - 8cos x/3sin x
(私が出した解答、または通分すると(2)になります)

(2)  (3 - 12(cos x)^2 + 8(cos x)^4)/(3(sin x)^3)cos x

ところが、巻末解答は次のようです。

(3)  -1/(3((sin x)^3)cos x) - (8/3)cot 2x  
* 巻末解答には、8/3(正)と3/8(誤)の誤植があります。

(2)と(3)とはかなり違った形をしていますが、(3)を2倍角の公式を使って計算していくと(2)になりますので、一件落着というわけですが、どうも気にかかることがあります。

## I(m,n)=∫(sin x)^m(cos x)^ndxの漸化式を使うとまず、(1)に到達するのではないでしょうか。すると(1)から(2)を出すのは簡単としても、(2)から同値変形をしていって(3)に達するのはかなり大変な作業ではないかと思われるのになぜ、(1)または(2)で止めなかったのか不思議です。

なお、岩波全書の「数学公式1」 P183も丸善の「数学大公式集」(大槻義彦 訳、1983年)P139も I(-4,-2)を上の(3)で与えてあります。わざわざcot2xにする必要はあるのでしょうか?

何か全く別の観点からの算出という感じがしてならないのですが、思い過ぎでしょうか?

ご指導、よろしくお願いいたします。

「解析学序説」上(一松信)p77の不定積分∫(sin x)^(-4)(cos x)^(-2)dxに挑戦してみました。I(m,n)=∫(sin x)^m(cos x)^ndxの漸化式を何回か使うと結果が出るのですが、私の出した式と巻末解答とがあまりに違いすぎるのです。

(1)  I(-4,-2)=1/(((sin x)^3)cos x) - 4cos x/3(sin x)^3 - 8cos x/3sin x
(私が出した解答、または通分すると(2)になります)

(2)  (3 - 12(cos x)^2 + 8(cos x)^4)/(3(sin x)^3)cos x

ところが、巻末解答は次のようです。

(3)  -1/(3((sin x)^3)cos x) - (8/3)cot 2...続きを読む

Aベストアンサー

導出は自然だし,その方法でよいと思います.
解答をどこまで整理するか,あるいは,そもそもより整理された形とは何なのかは突き詰めると好みの問題ともなってくるので,「こうするのがよい」とはなかなか言えないのですが,ここでは積分値が(1)の形で得られ,これをもう少し整理したいと思って,(3)に至るまでの手順を書いてみたいと思います.括弧が増えてしまうので (sinx)^2 を sin^2x と書きます.

まず,前の2項の分母に sin^3x が共通してい(て,しかも 1-cos^2x の形にな)るので,これを通分します.
1/(sin^3x cosx) - 4cosx/(3sin^3x) - 8cosx/(3sinx)
= ( 3-4cos^2x )/( 3sin^3x cosx ) -8cosx/(3sinx)
ここで 3-4cos^2x を -1+4sin^2x とみます(3sin^2x-cos^2x とみてもそれなりにきれいにはなります).

= -1/(3sin^3x cosx) +4/(3sinx cosx) -8cosx/(3sinx)
次に後ろの2項を通分すると,

= -1/(3sin^3x cosx) +4(1-2cos^2x)/(3sinx cosx)
すると-1+2cos^2x=cos2x,sinx cosx=sin2x/2から,第2項が tan2x でまとめられると分かります.

= -1/(3sin^3x cosx) -8/(3tan2x)

1/tanx とするか cotx とするかは好みの問題だと思いますが,分数式を避けてcotにするのも自然でしょう.
このように4,5行の計算で(3)には至るのですが,問題として解くだけなら,このようなある意味余計な計算をしてまで整理する必要はないと思います(しかも整理の方針があまり必然的でない).
ただ,教科書や公式集に載る結果は,より短く表す方法を試行錯誤して得られた「練られた」表記で,教科書をみていると,今回のように,一見,整理の方針は見えないのだけれどやってみるとうまくいく,という場合でも,あたかもそれが自然な結果であるかのように涼しい顔をして,何も断らずに整理された結果を載せている,ということもよくあります.

導出は自然だし,その方法でよいと思います.
解答をどこまで整理するか,あるいは,そもそもより整理された形とは何なのかは突き詰めると好みの問題ともなってくるので,「こうするのがよい」とはなかなか言えないのですが,ここでは積分値が(1)の形で得られ,これをもう少し整理したいと思って,(3)に至るまでの手順を書いてみたいと思います.括弧が増えてしまうので (sinx)^2 を sin^2x と書きます.

まず,前の2項の分母に sin^3x が共通してい(て,しかも 1-cos^2x の形にな)るので,これを通分します...続きを読む

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の解き方を教えてください。

解はx=5.28であることを教えていただいています。

-r^8(x-sin(x))^4(-3x+5xcos(x)-2sin(x))/(32x^3)=0
を微分して、ニュートン法によって解く方法を教えてください。

それ以外に解く方法があれば、教えてください。

Aベストアンサー

式の先頭の「-r^8」はなんですか?


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