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1+cos(ωt)+cos(2ωt)+cos(3ωt)+••••••のように整数倍の振動数をもつcos関数をどんどん加えるとどんな関数になるか。また、なぜそうなるのか?

という問題なのですが、よくわかりません。

よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

T=2π/ωとおくと


f(t)= {1+Tδ(t)}/2 (-T/2<t≦T/2)
=(1/2)+(π/ω)δ(t) (-n/ω<t≦n/ω)
ここで δ(t)はディラックのデルタ関数です。
f(t+T)=f(t) (その他のt)
で定義すれば良いでしょう。

このf(t)についてフーリエ級数展開すれば
f(t)=1+cos(ωt)+cos(2ωt)+cos(3ωt)+•••
となるかと思います。

[確認]
f(t)は偶関数なので
f(t)=ao/2+Σ(n=1,∞) an・cos(nωt)
とおける。
ao=(2/T)∫[-T/2,T/2] f(t)dt
=(1/T)∫[-T/2,T/2] {1+Tδ(t)} dt
=(1/T)∫[-T/2,T/2] dt+∫[-T/2,T/2] δ(t) dt
=1+1=2
an=(2/T)∫[-T/2,T/2] f(t)cos(nωt)dt
=(1/T)∫[-T/2,T/2] {1+Tδ(t)}cos(nωt)dt
=(1/T)∫[-T/2,T/2] cos(nωt) dt+∫[-T/2,T/2] δ(t)}cos(nωt) dt
=(1/T) [(1/(nω)) 2sin(nπ)]+cos(0) (∵ωT=2π)
=0+1=1
∴f(t)=1+Σ(n=1,∞) cos(nωt)=1+cos(ωt)+cos(2ωt)+cos(3ωt)+•••

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/ディラックのデルタ関数
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