マンガでよめる痔のこと・薬のこと

僕は今三角関数の値を近似値を用いずに代数的に求めることに挑戦しています。それで、3の倍数の角度については、正五角形の対角線の長さを利用して求めることができました。
そこで、今度は3の倍数でない20°のときの値を求めようと思って、以下の式を作ってみました。
cos 20°は、三倍角の公式より、
cos 3*20°=4cos^3 20°-3cos 20°
cos 60° =4cos^3 20°-3cos 20°
1/2=4cos^3 20°-3cos 20°
0=4cos^3 20°-3cos 20°-1/2
cos^3 20°-3/4 cos 20°-1/8=0
ここで、cos 20°をxとおくと、
x^3-3/4 x-1/8=0 (^3は3乗の意味です)
つまり、この三次方程式を解けば、cos 20°の値を求められると思うのですが、これがどうもよく解りません。カルダノの公式を使っても、何だかよく分からない結果になります。
パソコンに計算させると、恐らくこの式であっていると思うのですが…
この三次方程式は、どうすれば虚数無しに代数的に解けるのでしょうか? 教えてください。

別に何かの問題とかではなく、単なる趣味ですので、暇なときに回答してくれれば嬉しいです。

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A 回答 (2件)

三次方程式が3実根を持つ場合について、カルダノの公式を使うと立方根号の内部に虚数が表れます。

しかし、その値は実数ですから虚数を使わずに根を表記できそうですが、係数と根号だけを用いている(代数的解法にこだわっている)限り、虚数を消すことはできません。これを還元不能といいます。数値的な解を求めようとするならば、カルダノ公式はほとんど役に立ちません。さらに、1実根を持つ場合、しかもそれが整数解であったとしても、カルダノ公式で計算しようとすると難しいですね。そういう意味では、カルダノの公式は役に立たないのです。ですから、高校や大学(数学科以外の)で公式を教えないのです。カルダノの公式は、単に、「代数的に解ける」という事実の理論的・形式的な意義しかありません。

ちなみに数値的な解の近似値は、
x=-0.766044,-0.173648,0.939693
となりますが、cos 20°>0
ですから、cos 20°≒0.939693
この表記で我慢(?)するしかありません。
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この回答へのお礼

きめ細やかで解りやすい回答ありがとうございます。
実数であるにもかかわらず、虚数を使わないと表せない数、
そんなものがあるんですね。
結果としては、納得のいかない感じになってしまいましたが、勉強になりました。
ありがとうございます。

お礼日時:2008/11/29 11:01

それで良いのです。


方程式 x^3 -(3/4)x -(1/8) = 0 を解けば、解の内のひとつとして
x = cos20°を得ることができますし、その方程式は、代数的可解です。

問題点は、

> カルダノの公式を使っても、何だかよく分からない結果になります。

に見るように、
貴方が、カルダノ公式の与える解を「よく分からない」ことにあります。
高校の教科書を開いて、複素数について復習しましょう。

三つの異なる実数解を持つ三次方程式を解く際に現れる補助方程式は、
虚数根を持つことが知られており、
その方程式を代数的に解く場合、「虚数なしに」済ませるのは不可能です。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
そうですか、虚数を消すことはできないのですね。
自分が勉強不足でした。

お礼日時:2008/11/28 21:47

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CoS 意味」に関するQ&A: 位相って何?

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Qcos40°の値を求めています。

cos66°やsin3°など、3の倍数の角度なら、複雑にはなるにしても、根号と四則演算で表すことが出来ます。しかし、cos40°といった3の倍数でないものがきた場合、和と積の変換公式を何度用いても、その値が導けません。そこで、半径1の円に内接する正九角形の一辺の長さxを求め、余弦定理を用いることによって、cos40°の値を求めようとしたのですが、その一辺の長さxを求めるにはどうしても三次方程式を解かなければならないことが分かりました。そのxが求まれば、数学的には全ての整数角のsin、cos、tanの値が求まることになります。何度も解くのに挑戦してみましたが、時間が過ぎていくだけでした。その三次方程式が次のものです。解xを教えて頂けないでしょうか。
 (ちなみに近似値を小数で図形から求めるとx=0.684になりました。)

 x^3-3x+√3=0

Aベストアンサー

3次方程式の解の公式(カルダノの公式)を利用すれば、解の表示はできます。たとえばwiki(参考URL)をご利用ください。求めるといっても、複素数の立方根が混じった式であるので、あまりありがたみはないかも知れません。これ以上の還元はできないのでこれで満足するぐらいでしょうか。ちなみに上記の3次方程式は3つの実数解をもち、それぞれ、

1/((i-√3)/2)^{1/3}+((i-√3)/2)^{1/3}
-(1-i√3)/(2^{2/3}(i-√3)^{1/3})-((i-√3)/2)^{1/3}(1+i√3)/2
-((i-√3)/2)^{1/3}(1-i√3)/2-(1-i√3)/(2^{2/3}(i-√3)^{1/3})

です。近似値を出しておくと上から順に

1.2855752194
0.6840402867
-1.9696155060

となるようです。蛇足ですが、

Cos[40°]=(((-1-i√3)/2)^{1/3}+((-1+i√3)/2)^{1/3})/2

です。3乗根は決して外れません。したがって定規とコンパスで40°を作図することは不可能です。同様の理由で正9角形も作図不可能です。分度器使うのをご法度とすれば、ってことですが。なお、上のようにCos[40°]がかけることは作図をすればすぐにわかります。偏角は-π~πにあると思って1/3倍してください。実はもっと解りやすくいうと、1の9乗根Cos[40°]+iSin[40°]をxとおいたとき、(x+x^)/2がCos[40°]である、と書いてあるだけです。x^はxの複素共役だと思ってください。その意味で、これを読んだらshu17さんはがっかりされるかも知れませんね。

いずれにせよ、3の倍数でない整数度の三角比は、根号と四則演算だけで表示することは不可能です。大学レベルのガロア理論を学べば証明もできます。そして、四則演算とベキ根(平方根だけでなく、立方根や5乗根、7乗根など)も用いてよいのなら表すことができる、というわけです。ちなみに整数度の場合は、平方根と立方根と四則演算だけですべて三角比は表示できます。たとえばCos[40°]は上に書いたように表示できるわけです。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

3次方程式の解の公式(カルダノの公式)を利用すれば、解の表示はできます。たとえばwiki(参考URL)をご利用ください。求めるといっても、複素数の立方根が混じった式であるので、あまりありがたみはないかも知れません。これ以上の還元はできないのでこれで満足するぐらいでしょうか。ちなみに上記の3次方程式は3つの実数解をもち、それぞれ、

1/((i-√3)/2)^{1/3}+((i-√3)/2)^{1/3}
-(1-i√3)/(2^{2/3}(i-√3)^{1/3})-((i-√3)/2)^{1/3}(1+i√3)/2
-((i-√3)/2)^{1/3}(1-i√3)/2-(1-i√3)/(2^{2/3}(i-√3)^{1/3})
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Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q混成軌道

酸素の混成軌道についてですが酸素が水を構成しているときはsp^3混成軌道であるのに酸素がアセトンを構成しているときはsp^2混成軌道になるのはどうしてですか?

Aベストアンサー

二重結合を作るためには、π結合を作る必要があり、そのために、酸素は2p軌道を使う必要があります。
そうするとアセトンの酸素に残っている軌道は2個の2p軌道と、1個の2s軌道ということになります。これらが混成すればsp2になります。

水の場合には二重結合はありませんので、3個の2p軌道が混成に使えますので、sp3ということになります。

Q公文式の採点アルバイト

公文式の「採点」(という風に情報誌にあった)バイトに応募してしまいました。
机に座って黙々と答案を採点するのを想像していたのですが、
色々調べると違うような気がしてきたのです。
授業中に教室を採点して回る、という話もちらっと聞きました。
実際やっていた方、是非教えてください。

Aベストアンサー

はじめまして。
公文の採点スタッフのアルバイトに申し込みをされたということで、私は現在二年程公文式の教室でアルバイトをしておりますので書き込みをさせていただきます。
お仕事の内容など少しでも具体的にイメージしていただければと思います。

基本的には「採点」が主な仕事になります。
「採点」というのは、通ってくる生徒さんが持ってきた「宿題プリント」と、教室でその場で解く「当日のプリント」の二種類です。生徒さんは、主に小学生・中学生です。
小学生は2時ころ~夕方に、
中学生はだいたい7時~8時の間に通ってきます。

生徒さんの様子と仕事の流れをざっと書いてみますと、まず生徒さんが挨拶をしながら
教室に入ってくると、生徒さんは自分用のフォルダ(ファイル)をケースから出します。その中に自分の成績表や教材プリントが入っており、フォルダは学年ごとにケースを分けて管理されています。
フォルダをとった生徒さんは席につくとすぐに、解いてきた「宿題プリント」を提出しますので、それを採点します。
宿題を提出した生徒さんは次に、前回の学習日に提出した「宿題プリント」のお直し(あらかじめ各生徒さんのフォルダに入っています)にとりかかり、終わり次第、教室で学習することになっている当日分のプリントにとりかかります。そのため、宿題の採点をしつつ、お直しや、当日分のプリントの採点をします。
(宿題プリントの返却は、その次の学習日でおこなうことになっていますので、あまり急いで採点する必要はありません。フォルダに入っていたお直しプリントや教室でといたプリントは採点後すぐに返却します。)

生徒さんが教室でといた当日学習分のプリントには必ず間違いがいくつかありますので、それが直るまで生徒さんに解かせます。
すべて直ったら、今回の学習はおしまいです。生徒さんは、学習に要した時間を書き込んだ成績表を自分のフォルダにしまい、それをケースに戻して、帰宅します。

なので、「採点をする」というのが主な仕事だというふうに思っていただいてかまいません。
ただ、「黙々と採点をする」という点ではちょっと違ってきます。
教室によっても違ってくると思いますが、私は二箇所の公文式を掛け持ちさせていただいています。

小学生の多い時間帯にはとてもにぎやかですし、ピーク時にはたくさんの子供たちがくるので複数の生徒さんの答案をかけもちで採点したりします。
また、小学生の子には、子供によって学習にまったく集中できず、飽きてぐずってしまったり、一緒に音読をしてあげないと国語のプリントが解けなかったり、
といった子もいます。そういった子に対しては様子をみつつ時々声をかけてあげ、ヒントを出してあげたりします。おとなしい子もいれば、スタッフに反抗的な子もいて、本当にいろいろです。


中学生の場合、比較的集中して学習にとりくんでいる子が多いので、小学生ほど手がかかるといったことはありません。(正確には小学生も大して手はかかりません。私たちスタッフより、指導者の方が、生徒さんの面倒を見たり相手をすることが多いので。)
ただ、中学生の場合、小学生よりも、学習内容について質問にくることが時々あります。例題を見させたり、ヒントを出したりする程度で、答えの解説を求められることはあまりありません(私のところでは、解説が必要な場合は指導者の方に任せています。もともと公文式では答えを解説することはよくないとされていますので、その点は学習塾でのアルバイトなどと大きく違う点の一つだと思います)


また教室により雰囲気はだいぶちがい、私がアルバイトをさせていただいておりますひとつの教室では静かに集中して学習する中学生が多いのですが、もういっぽうの教室では比較的にぎやかで質問を多くしてこられる中学生の生徒さんが多かったりします。


教材の採点についてですが、ご存知でしたら余分な説明になってしまいますが、すべて解答書がそろっていますのであまり心配される必要はないかと思います。
細かな点(漢字の間違いはマイナス一点、なぞりわすれがマイナス一点、など)は教室により違うと思うので、指導者の先生にお伺いするのがベストだと思います。
採点も、とても簡単ですのですぐに終わってしまうことも多いです。

少し特殊(?)な部分としては、主に英語で、生徒の答案を採点する際にリーディング・チェックをします。タイマーで音読にかかる時間を計ったりします。それ以外はほぼ解答書をみながらの採点がほとんどです。


あまりちゃんとした説明になっていない部分があるかと思いますが、いずれにしても淡々と採点をする、という場合もあれば、そうでない場合もあります。時間帯や、対応する生徒さんの性格によってまた違ってきます。話したがりの子もいれば、人見知りの子もいたりするので。けれど、生徒さんと座る距離は非常に近いので基本的にちょくちょく話したり話しかけられたりということはあります。


また、こちらからささいなことでも話しかけてあげたりすることで、生徒さんのほうも少しずつスタッフになれてきてくれます。

ちなみに、生徒さんがどの教材を学習するか、といったことや保護者さんとのやりとりは全て指導者の方が行いますので、私たちはそういったことにはかかわりません。そういった意味でも採点が主な作業になります。


というわけで大変長くなってしまいましたが、まだまだ不十分な部分もあるかと思います。
質問などありましたらお答えしますので、気になることがあったらおっしゃって下さい☆

はじめまして。
公文の採点スタッフのアルバイトに申し込みをされたということで、私は現在二年程公文式の教室でアルバイトをしておりますので書き込みをさせていただきます。
お仕事の内容など少しでも具体的にイメージしていただければと思います。

基本的には「採点」が主な仕事になります。
「採点」というのは、通ってくる生徒さんが持ってきた「宿題プリント」と、教室でその場で解く「当日のプリント」の二種類です。生徒さんは、主に小学生・中学生です。
小学生は2時ころ~夕方に、
中学生はだ...続きを読む

Q「ノルム、絶対値、長さ」の違いについて

あじぽんと申します。よろしくお願いします。

ベクトルや複素数などに出てくる「ノルムと絶対値と長さ」というのは同じことを違う言葉で表現しているのでしょうか?
手元にある書籍などには全てが同じ式で求められています。
同じ式で表現されていても意味は少しづつ違っていたりするのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して定義できます。
数に対しては「長さ」という言い方はあまり聞かないと思います。
例えば、「3」の長さというような言い方は耳になじまないと思います。
一方、ベクトルの場合は、「矢印」という「線」になりますので「長さ」が定義できます。



最後の「ノルム」は、線形空間に対して定義できます。(もちろん実数、複素数やベクトルも線形空間です)
ノルムの条件を満たせばノルムになるため、複数のノルムが考えられます。
そのため、「(1,1)というベクトルに対するノルムは?」
という質問に対しては、「どのノルムを使うか?」という条件が欠けているため厳密に言うと「解答はできません」。
例としてよく扱われるノルムは「ユークリッドノルム」と言われ、通常のベクトルの長さと等しくなります。

ベクトルに対するノルムでは、「最大値ノルム」というのが他の例としてよく使われます。
これは、ベクトルの各要素の最大値で定義されます。
(例:(3,1,5)というベクトルの最大値ノルムは、3つの数字の最大値である5になります)

ノルムというと、線形空間であれば定義できるため、
f(x) = 3x^2+5x
という数式に対するノルムというのも考えられます。
(数式は、定数倍したり、足し算したりできますよね)
数式に対して「絶対値」とか「長さ」と言ってもピンと来ないですよね。

しかし、まだやられていないかもしれませんが、数式に対するノルムというのは存在します。


そうすると、なんでこんなんがあるねん。って話になると思います。

ここで、ベクトルに対してある定理があったとします。

それがさっきのような数式など他の線形空間でも成り立つんだろうか?
というのを考えるときに「ノルム」の登場です。

その定理の証明で、「ベクトル」として性質を使わずに「ノルム」の性質だけを使って証明ができれば、
それは「ベクトル」に対する証明でなくて「ノルムを持つもの」に対する証明になります。
(ちょっと難しいかな?)


このようにして、定理の応用範囲を広げるために「長さ」や「絶対値」の考え方をベクトルだけでなく「線形空間」という広い考え方に適用できるようにしたのが「ノルム」になります。

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して...続きを読む

Q三角関数について

一日考えても、どうしても理解できなかったので、誰か分かる方教えてください。
 sin20度やSin36度などの中途半端な、角度の場合、どうもとめればよいのでしょうか?
 sin45度やsin60度、sin30度などの数値を使って、下方定理で求める方法など考えて見ましたが、まったくできません。。。
 だれかアドバイスをいただけると幸いです。
 よろしくおねがいします。
 

Aベストアンサー

sin20なら、3倍角の公式「sin3θ=3sinθ-4(sinθ)^3」で求められそう
だけど、3次方程式が解けるかどうか?

sin36なら、加法定理と倍角、3倍角の公式を使って sin5θを作れれば
sin180の値からできそうですが・・・・
ちなみに、
sin5θ=16(sinθ)^5-20(sinθ)^3+5sinθ と5次式(sin180=0なので
実質4次式)になりそうです。

Q2物体の相対速度が0のとき。。。

ある参考書には
『2物体が動いてるときは、相対速度に注目する。
 ・最も近づく(遠ざかる)ときは相対速度0』

とだけ書いてありました。
確かにそうだよなぁ~とは思うんですが、
距離に関係なく2物体の速度が同じであれば
相対速度って0ですよね?

こう書いてある意図はなんなんでしょか?
どうかみなさん、教えてください!!お願いします!!

Aベストアンサー

これには、必要条件・十分条件の問題があります。
混乱されているのは、このことが裏にあるからと思います。
ご存知のようにAならばBである。しかし、必ずしもBであってもAでない。

さて、運動の問題で、最も近づく(遠ざかる)点を求めるやり方を、
『相対速度に注目する。最も近づく(遠ざかる)ときは相対速度0』と説明している訳です。

では、普通の運動の場合で考えます。
つまり、衝突のように速度が不連続に変わらない運動の場合です。

そういう普通の運動の場合、
(1)最も近づく点(極小、最小)と遠ざかる点(極大、最大)では、相対速度は0である。
ですから、最も近づく点などを求めるのに、相対速度を0とすれば、一応いいのです。

しかし、
(2)相対速度が0でも、必ずしも極小、最小ではない。
距離に関係なく(極小、最小など以外でも)、2物体の速度が同じ、即ち、相対速度が0がありえるのです。例、x=t^3

結局、記述を書き換えて完全にすると、
『2物体が動いてるときは、相対速度に注目する。
 ・最も近づく(遠ざかる)ときは相対速度は0になるから、相対速度を0として求める。
しかし、相対速度が0でも必ずしも、最も近づく(遠ざかる)点でないものもあるから、それらは除く。』

これには、必要条件・十分条件の問題があります。
混乱されているのは、このことが裏にあるからと思います。
ご存知のようにAならばBである。しかし、必ずしもBであってもAでない。

さて、運動の問題で、最も近づく(遠ざかる)点を求めるやり方を、
『相対速度に注目する。最も近づく(遠ざかる)ときは相対速度0』と説明している訳です。

では、普通の運動の場合で考えます。
つまり、衝突のように速度が不連続に変わらない運動の場合です。

そういう普通の運動の場合、
(1)最も近づく点(極小、...続きを読む

QWould you like~?とWould you~?の違いは

相手に何かをお願いするときに、
Would you like~?
Would you~?
と両方の言い方があると思うのですが、likeをつけるかつけないかはどのように判断するのでしょうか?
また意味はどう変わるのでしょうか?

Aベストアンサー

Would you~?「~していただけませんか?」は丁寧な依頼表現、Would you like~?「~は如何ですか?」は丁寧な勧誘表現です。

依頼表現で使われるwouldやcouldは、「条件節(if節)の内容を言外に含めた婉曲用法」なのです。つまり、「(もし~できるのであれば)~していただけるでしょうか」と丁寧で控え目な調子を出すことができます。Will you~?やCan you~?はただの助動詞の勧誘表現ですから、wouldやcouldのような婉曲用法はないのです。

Would you like~も同じ婉曲用法で、「(もし私が~を勧めたら)~をお気に召すでしょうか?」という丁寧で控え目な調子の出る勧誘表現なのです。I would like to~「~したい」(~することをできればしたい)という表現もこの用法からきているのです。

Would you like~のlikeは「~を好きである」という他動詞でlikeの後に名詞を目的語として持って来ることができます。例:
Would you like another cup of tea?「もう一杯紅茶如何ですか?」
Would you like going on a picnic?「ピクニックに出かけるというのは如何でしょう?」
Would you like to go on a picnic?「同上」(このto不定詞は名詞的用法)

ご参考になりましたでしょうか。

Would you~?「~していただけませんか?」は丁寧な依頼表現、Would you like~?「~は如何ですか?」は丁寧な勧誘表現です。

依頼表現で使われるwouldやcouldは、「条件節(if節)の内容を言外に含めた婉曲用法」なのです。つまり、「(もし~できるのであれば)~していただけるでしょうか」と丁寧で控え目な調子を出すことができます。Will you~?やCan you~?はただの助動詞の勧誘表現ですから、wouldやcouldのような婉曲用法はないのです。

Would you like~も同じ婉曲用法で、「(もし私が~を勧め...続きを読む

Q電子配置について

Ni2+(ニッケルイオン)の電子配置と不対電子を示せという問題で僕は、[Ar]3d64s2と考えたのですが・・・答えは[Ar]3d8となっています。電子軌道は4s軌道が満たされてから3d軌道に入るのではないのですか?よくわからないので教えてください。

Aベストアンサー

> 電子軌道は4s軌道が満たされてから3d軌道に入るのではないのですか?
中性の原子では、そうなりますね(CrとCuは例外)。
ですけど、イオンではそうはならないです。

■考え方その1
遷移金属の陽イオンでは、3d軌道が満たされてから4s軌道に入る、と考えます。これらのイオンの4s軌道はふつう空っぽになりますから、第4周期の1族~12族の金属イオンでは、
 3d電子の数=族番号-イオンの価数
という公式が成り立ちます。

■考え方その2
あるいは、中性の原子を基準に考えて、
 軌道から電子が抜けるときには、4s軌道から先に抜ける。
と覚えるのもいいです。

■Ni2+の場合
はじめの考え方に従うと、ニッケルは10族、イオンの価数は2なので、
 3d電子の数=10-2=8
となって、電子配置は[Ar]3d8になります。
 二番目の考え方では、中性のニッケル原子の電子配置[Ar]3d84s2から、電子を2個抜いたのが2価ニッケルイオンなので、4s軌道から電子を2個抜くと、イオンの電子配置は[Ar]3d8になります(Ni3+ならNi2+の電子配置からさらに1個電子を抜いて、[Ar]3d7になります)。

■考え方が破綻する例
Ca+,Sc+,Ti+,V+,Mn+,Fe+,Co+,Ni+,Zn+では、これらの二つの考え方から導かれる答えは一致しません。例えば、考え方その1ではNi+の電子配置は[Ar]3d9になりますが、考え方その2ではNi+の電子配置は[Ar]3d84s1になります。しかしこれらの1価の陽イオンは、きわめて特殊な条件下でしか生成しませんので、通常これらの電子配置が問題になることはありません。
 第4周期の1族~12族の1価金属イオンで重要なものは、K+とCu+です。この二つのイオンに関しては、考え方その1でも考え方その2でも、正しい電子配置を与えます。

■なぜ中性原子とイオンで電子の詰め方が変わるのか?
カリウム(原子番号19)とカルシウム(原子番号20)では、4s軌道の方が3d軌道よりもエネルギーが低いのですけど、じつは、原子番号が20より大きい原子では、エネルギーの順序が逆転して、4s軌道よりも3d軌道の方がエネルギーが低くなります。
 ですので、「エネルギーが低い軌道から電子を詰めていく」というルールに従えば、Sc,Ti,V,Cr,Mn,...では、4s軌道よりも先に3d軌道に電子を詰めていくことになるのですけど、こうやって作った電子配置は、中性原子(と多くの一価イオン)では、正しい電子配置にはなりません。つまり、原子番号が20より大きい中性原子では、「エネルギーが低い軌道から電子を詰めていく」というルールだけでは、正しい電子配置を予測することができません。
 この困難を乗り越えるためには、本当ならば、「電子と電子の間に働くクーロン反発力」を考えに入れなければならないのですけど、これが結構めんどうな話になります。そこで、めんどうな話を避けるために、少し反則気味なのですけど、「エネルギーが低い軌道から電子を詰めていく」というルールだけを使って正しい電子配置を予測できるように、『原子番号が20より大きい原子でも、4s軌道の方が3d軌道よりもエネルギーが低い』ということにしておいて、4s軌道が満たされてから3d軌道に電子が入る、という説明がなされます。
 陽イオンでは、中性原子に比べて電子が少なくなっていますので、電子と電子の間に働くクーロン反発力は、中性原子のそれと比べて小さくなります。そのため、クーロン反発の話を無視しても、正しい電子配置を得ることができます(一価の陽イオンは除く)。本来、4s軌道よりも3d軌道の方がエネルギーが低いのですから、3d軌道が満たされてから4s軌道に電子が入る、ということになります。

■まとめ
中性原子では、4s軌道の方が3d軌道よりもエネルギーが低いので、4s軌道が満たされてから3d軌道に電子が入る。
陽イオンでは、4s軌道よりも3d軌道の方がエネルギーが低いので、3d軌道が満たされてから4s軌道に電子が入る。
中性原子と陽イオンで軌道の順序が変わるのは、電子と電子の間に働くクーロン反発力が陽イオンでは小さくなるからである。

> 電子軌道は4s軌道が満たされてから3d軌道に入るのではないのですか?
中性の原子では、そうなりますね(CrとCuは例外)。
ですけど、イオンではそうはならないです。

■考え方その1
遷移金属の陽イオンでは、3d軌道が満たされてから4s軌道に入る、と考えます。これらのイオンの4s軌道はふつう空っぽになりますから、第4周期の1族~12族の金属イオンでは、
 3d電子の数=族番号-イオンの価数
という公式が成り立ちます。

■考え方その2
あるいは、中性の原子を基準に考えて、
 軌道から電子が...続きを読む


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