因数分解と比の求め方

簡単な問題で恐縮です。
転職するため久々に一般教養の勉強をしようとしたところ、
数学の知識をまるでなくしていることに気づきました。。。
以下ニ問、とき方を教えてください。

１）　3　　　2
　　ｘ ＋３X－X－３　　　因数分解せよ

２）X+Y　　Y+Z　　X+Z
　　----＝----＝----　　
　　５　　　６　　　　７　　　　ｘ：ｙ：ｚの比を求めよ

答えはわかっているものの、とき方が分かりません。
導き方で結構ですので宜しくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： hinebot 回答日時： 2002/02/08 13:11

1)

累乗（指数）は、xの2乗なら、x^2 という風に書きます。
で
x^3＋３x^2－x－3
＝(x^3－x)＋（３x^2－３）　　　←並べ替え
＝x(x^2-1)＋３（x^2-1)　　　　←前はｘでくくる、後ろは３でくくる
＝(x+3)(x^2-1) ←　x^2-1 が共通因数になる
＝(x+3)(x+1)(x-1)　　　　　　←　和と差の公式

2)

(x+y)/5 = (y+z)/6 = (x+z)/7 = k とおきます。
すると、
x+y = 5k　(1)
y+z = 6k (2)
x+z = 7k (3)
の３つの式に分けられます。（それぞれ分母を払った形）
これはOKですか？

あとは３つの式をたして　2x+2y+2z = 18k
両辺を２で割って　x+y+z = 9k (4)
(4)-(2) より x = 3k
(4)-(3) より y = 2k
(4)-(1) より z = 4k
従って　x：y：z = 3k：2k：4k = 3：2：4 となります。

分からなければ補足をどうぞ。

No.5 回答者： noname#2416 回答日時： 2002/02/15 23:43

ほかの方が明快にといていらっしゃるので蛇足になるとおは思いますが書きます。

(1)についてだけ。

f(x)=x^3+3x^2-x-3

こういう場合は最後の３に注目します。
３の約数は±１と±３ですよね。
それでとりあえず　x=1　を代入すると

1^3+3*1^2-1-3=1+3-1-3=0

となり、値が０になるので x-1 でf(x)割り切れることがわかります。
同様に
x=-1を代入　(-1)^3+3*(-1)^2-(-1)-3=-1+3+1-3=0
x=3を代入 3^3+3*3^2-3-3=27+27-3-3≠0
x=-3を代入 (-3)^3+3*(-3)^2-(-3)-3=-27+27+3-3=0
から、他にも x-(-1) と　x-(-3) で割り切れることが分かります。

よって
f(x)=(x-1)(x+1)(x+3)
となります。

一般に有理数係数ｎ次方程式が“有理数”解を持つ場合は、０次の項をｐ／ｑと書くとき、

　　　　　　（ｐの約数）
（その解）＝――――――のどれか
　　　　　　（ｑの約数）

となります。
要は、
「方程式に定数項の約数をつっこんで、因数分解のあたりをつける」
ということです。

長々とすいません。

No.4 回答者： SNAPPER 回答日時： 2002/02/08 13:21

1)

与式＝x^2(X+3)-(X+3)=(X+3)(X^2-1)=(X+3)(X+1)(X-1)

2)
第一の等号の両辺に３０をかけて整理：y=5z-6x・・・１）
第二の等号の両辺に４２をかけて整理：z=6x-7y・・・２）

１）のzに２）を代入して整理：36y=24x, x:y=3:2
ここでx=3, y=2と決めてしまって２）に代入：ｚ=4

x:y:z=3:2:4

No.3 回答者： hinebot 回答日時： 2002/02/08 13:17

#1です。

書き忘れました。

(1)はrei00さんのやり方でもOKですね。
要は、２つづつ項をまとめることがポイントです。

(2)は式を＝k(kでなくても良いですが）とおくことがポイントです。

No.2 回答者： rei00 回答日時： 2002/02/08 13:14

１）

２つづつ項をまとめます。
　X^3+3X^2-X-3 = X^2(X+3)-(X+3)
(X+3) が共通ですから
　= (X+3)(X^2-1) = (X+3)(X+1)(X-1)

あるいは，係数の３に注目すれば，
　X^3+3X^2-X-3 = X(X^2-1)+3(X^2-1)
　= (X+3)(X^2-1) = (X+3)(X+1)(X-1)

２）
(X+Y)/5 = (Y+Z)/6 = (X+Z)/7 = k とおくと，
　X + Y = 5k, Y + Z = 6k, X + Z = 7k

この３式を足して
　2(X+Y+Z) = 18K　⇒　X+Y+Z = 9k

ここから，先の各式を引くと，
　 Z = 4k, X = 3k, Y = 2k

よって，　x : Y : Z = 3k : 2k : 4k = 3 : 2 : 4