
「与えられた正の実数aに対して、0≦x<2πの範囲で
sin3x-2sin2x+(2-a^2)sinx=0
はいくつ解をもつか調べよ。」
この問題を解いています。
3倍角と2倍角の公式を用いて変形し、
-4(sinx)^3+5sinx-4sinxcosx=a^2sinx
となって両辺をsinxで割ろうと思ったのですがこの場合sinx=0の時も考えるのでしょうか?
また、もしsinxで両辺を割ってcosの式に統一したとすると定数がa^2となるのですが、それでも個数を調べることはできるのでしょうか?
解答いただければ幸いです。よろしくお願いします
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>両辺をsinxで割ろうと思ったのですが
それは仰るようにsinx=0の場合を等閑視するので良くないです。移項して因数分解しましょう。
sinx{-4(sinx)^2-4cosx+(5-a^2)}=0
変形してsinx{4(cosx)^2-4cosx+(1-a^2)}=0
そこでsinx=0または4(cosx)^2-4cosx+(1-a^2)=0
後者の方程式は(2cosx-1)^2=a^2ですから形式的に解くと
2cosx= 1±a
xの範囲とcosxの範囲に注意すれば、
1±aのいずれもが絶対値が2より大きい場合、どちらか一方が絶対値が2の場合、どちらか一方が絶対値が2未満の場合、両方が絶対値2以下の場合(この場合さらに一方の絶対値が2の場合と両方とも絶対値2未満の場合)それにsinx=0の場合を勘案して(例えばa=1のときの解の一つはcosx=1よりx=0ですが、これはsinx=0も満たすので別に数えてはいけない)aの値で場合わけして答えましょう。
この回答への補足
回答ありがとうございます。
答えは a≧3のとき2個、1≦a<3のとき4個、0<a<1のとき6個となっています。
1±aの場合分けが難しいです。もう少し解説いただけませんか?
No.2
- 回答日時:
この問題のポイントは、xとcosxが必ずしも1対1の対応ではないと言うことです。
2cosxのグラフを描いて、1±aとの交点を調べてください。
1対1、2対1の場合が出てくると思います。
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