y' - ytanx = (y^4)secx
という微分方程式を解いています。
まずz = y^(-3)とおくと
dz/dx = {-3y^(-4)}y'
ここで『y' - ytanx = (y^4)secx』の両辺に{-3y^(-4)}をかけて
{-3y^(-4)}y' + (3tanx)y^(-3) = -3secx
z = y^(-3)、dz/dx = {-3y^(-4)}y'なので上式は
dz/dx + (tanx)z = -3secx ――――(*)
となります。
dz/dx + (tanx)z = 0の微分方程式の解は
z = C(cosx)^3 (Cは積分定数)なので、(*)式のzの解を
z = C(x)(cosx)^3とおいて(*)の式に代入すると
C'(x) = 1/(cosx)^4
となります。
最後にC'(x)をxで積分してzを求め、yを求めたいのですが、
∫{(1/cosx)^4}dxが解けなくてこれ以上進めません。
この積分はどう解くのでしょうか?
No.2
- 回答日時:
∫(1/cosx)^4dx
=∫(1/cosx)^2(1/cosx)^2dx
=∫(1+tan^2x)(tanx)'dx
=tanx+1/3tan^3x+C
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
まず、∫{(1/cosx)^2}dx=tanx(微分すれば明らか)
I=∫{(1/cosx)^2}{(1/cosx)^2}dx(部分積分する)
={(1/cosx)^2}tanx - 2∫{sinx/(cosx)^3}(tanx)dx
=sinx/(cosx)^3 - 2∫{(sinx)^2/(cosx)^4}dx
=sinx/(cosx)^3 - 2I + 2∫{1/(cosx)^2}dx
ゆえに
3I=sinx/(cosx)^3 +2tanx
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