大学に入って初めて剛体の力学について習ったのですが、高校の物理と違ってよく分かりません。
回転運動のエネルギーを求める公式とその証明を教えて下さい。お願いします。

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A 回答 (2件)

回転運動のエネルギーの証明ということですが


回転運動といっても基本的には運動エネルギーなのです。ある軸を中心に剛体がくるくる回っている時の
エネルギーは軸の周りの慣性モーメントIとして
1/2Iω^2です。これの証明は、まず剛体の各微小部分
を考えます。その各微小部分(質量Δm)の運動エネルギーは
1/2Δmv^2=1/2Δm(rω)^2となります。v=rωというのは微小部分の速度ですが、その微小部分が回転軸からr離れていて、そして剛体は角速度ωでまわっているからです。
軸から距離r+Δrのところにある微小部分なら、その速度は(r+Δr)ωです。
それで、微小部分の運動エネルギーを全て加えれば、
それが結局回転のエネルギーということになります。
U=Σ1/2Δmv^2=Σ1/2Δm(rω)^2=1/2(ΣΔmr^2)ω^2

ここで、ΣΔmr^2というのは、軸から距離rはなれたところの微小部分の質量Δmに、その軸からの距離rの2乗をかけて、それを剛体のあらゆる微小部分について加えたということであり、それは結局軸の周りの慣性モーメントを意味します。I=ΣΔm(r)r^2よって
U=1/2(ΣΔmr^2)ω^2=1/2Iω^2となります。
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剛体は、質点と違って広がりがありますから、重心の運動とは独立に、重心の回りの回転運動が可能です。



重心の運動は、ニュートン方程式で記述されますね。
物質の重心にFという力がかかると、aという加速度を生じるとき、その比例係数を質量mと呼びます。すなわち、
F=ma
運動エネルギーは、
E=mv^2/2
vは速度ですね。

では、回転運動はどうでしょうか? 重心の回りに物質を回転させるように力に相当するものNを加えると、回転加速度αが生じます。その比例係数をIとおくと、N=Iα。ニュートン方程式と似ているでしょう?
回転エネルギーは、U=Iω^2/2。ここでωは回転速度です。

Nをトルク、Iを慣性モーメントと呼びます。物質の質量mは同じでも、物質の形状によってIは異なります。この辺は、自分で調べてください。
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Q回転運動の運動エネルギーについて困っています。

回転運動の運動エネルギーについてよく分からないところがあり困っています。

回転運動の運動エネルギーについてよく分からないところがあり困っています.

問題は,写真に示すような長さl,質量mの一様な剛体棒の一端Oが速度vで水平に移動し,そのO点を中心に角速度(θ')で回転している.棒の運動エネルギーを次の中から選べ.ただし,棒の太さは長さに対して十分に細いものとする.

という問題で,解答は

(1/6)・m・l^2・(θ')^2 + (1/2)・m・v^2・ + (1/2)・m・l・v・(θ')・cosθ

です.解説には並進運動と回転運動とに分けて解説してあり、

[並進運動]
Tr= (1/2)・m・v^2 となるのは理解できます.

[回転運動]
剛体の回転中心Oにおける慣性モーメントIo=(1/3)・m・l^2
となるのは理解できるのですが,その後の 回転中心Oまわりの回転エネルギーToは,

To=(1/6)・m・l^2・(θ')^2 + (1/2)・m・l・v・(θ')・cosθ のところで,

なぜ第2項がでてくるのかが分かりません.

回転の運動エネルギーは
(1/2)・(Io)・(θ')^2なのに,なぜ第2項が出てくるのでしょうか.
どなたか助けてください.お願いします.

回転運動の運動エネルギーについてよく分からないところがあり困っています。

回転運動の運動エネルギーについてよく分からないところがあり困っています.

問題は,写真に示すような長さl,質量mの一様な剛体棒の一端Oが速度vで水平に移動し,そのO点を中心に角速度(θ')で回転している.棒の運動エネルギーを次の中から選べ.ただし,棒の太さは長さに対して十分に細いものとする.

という問題で,解答は

(1/6)・m・l^2・(θ')^2 + (1/2)・m・v^2・ + (1/2)・m・l・v・(θ')・cosθ

です.解説には並進運動と回...続きを読む

Aベストアンサー

この後は質問者さんのレスポンスを待ちたいと思いますが・・・・

>解答がこれを回転エネルギーの方に入れて並進と回転の分離ができているという表現をしているのはおかしいのです。

回転しない、つまり、角θを一定に保ったままの運動で現れない項を、「回転することによって生じてくる項」という意味で回転のエネルギーとしてまとめただけだと思いますが、そんなにおかしいですか?

#1にしたがって計算すれば、重心運動の運動エネルギー は

(1/2) M [ (V + (l/2)θ'cosθ)^2 + ((l/2)θ'sinθ)^2 ]

になります。このまま解釈すれば意味は明確です。

クロスタームと称しているものはこれの水平成分から出てくるもので、水平成分にはO点まわりの回転による成分とO点の並進による成分の二つが共に寄与しているので、そのクロスタームが出てくるのは当たり前です。

これを展開して分割し、

(1/2) M [ V^2 + V l θ'cosθ + (l^2/4)θ'^2(cosθ)^2 + (l^2/4)θ'^2(sinθ)^2 ]
=(1/2) M [ V^2 + V l θ'cosθ + (l^2/4)θ'^2 ]
=(1/2) M V^2 + (1/2) M V l θ'cosθ + (1/8) M l^2 θ'^2

この最後の項を回転のエネルギー(1/2)(1/12)Ml^2 θ'^2 = (1/24)M l^2 θ'^2 とあわせて

(1/8) M l^2 θ'^2 + (1/24)M l^2 θ'^2 = (1/2) [(1/3)Ml^2 ] θ'^2

と書き直してしまうから意味不明な項が残るんです。


速さVで動いている台から相対速度uで質量mの質点を打ちだしたときに、質点の運動エネルギーは

(1/2)m (V+u)^2 = (1/2) mV^2 + mVu + (1/2)mu^2

で、ここからmVuだけとり出してこのクロスタームにどういう意味があるかといわれても困るでしょう。
それと同じことです。

この後は質問者さんのレスポンスを待ちたいと思いますが・・・・

>解答がこれを回転エネルギーの方に入れて並進と回転の分離ができているという表現をしているのはおかしいのです。

回転しない、つまり、角θを一定に保ったままの運動で現れない項を、「回転することによって生じてくる項」という意味で回転のエネルギーとしてまとめただけだと思いますが、そんなにおかしいですか?

#1にしたがって計算すれば、重心運動の運動エネルギー は

(1/2) M [ (V + (l/2)θ'cosθ)^2 + ((l/2)θ'sinθ)^2 ]

になります。...続きを読む

Q回転エネルギーとは

回転エネルギーというものがいまいち分かりません。
もし、斜面に剛体を転がした場合はじめ剛体がもっていた位置エネルギーは運動エネルギーと回転エネルギーに変わり、その分斜面方向の加速度は減少するのでしょうか。

Aベストアンサー

回転のエネルギーというのは運動エネルギーの一種です。
車輪の回転を考えてもらえば分かりますが軸の周りの回転は回転という運動です。重心が動かない場合でも可能な運動が回転なのです。
斜面で剛体を転がした場合は回転と落下とが同時に起こります。滑らずに転がる場合であれば1回転で重心は円周分の距離だけ斜面に沿って落下します。

>位置エネルギーは運動エネルギーと回転エネルギーに変わり、
この文章で運動エネルギーと書かれている内容は重心の運動エネルギーです。
位置エネルギーは運動エネルギー(重心の運動エネルギーと重心周りの回転の運動エネルギー)に移ります。
回転のエネルギーに移る量が多ければ重心の運動エネルギーに移る量は少なくなります。

缶ジュースを2本用意してください。片方は飲んでしまいます。そこに小石と発泡スチロールをつめてジュースの詰まっている缶と同じ質量にします。中の小石が動かないようにうまくつめてください。
板でスロープを作って2つの缶を同時に転がします。
どちらの缶が速く落ちるでしょうか。
やってみればはっきりと差が分かります。
やる前に予想して下さい。理由も考えてください。
(この文章を書いている間に#3が出ました。アスパラガスの例ではあまりハッキリと差が出ないと思います。アスバラガスは缶に固定されていないからです。小石と発泡スチロールを詰めたものは私が授業で実際に使ってきたものです。教室の後ろにいる生徒が見てもはっきりと違いが分かります。)

回転運動では慣性モーメントという量が出てきます。
#2の回答にはN=αIという式が出ています。Iは「回転の起こりにくさを表す量」だと書かれています。モーメントという言葉は高等学校では力のモーメントとして出てきました。Nはその力のモーメントです。ところが今までモーメントだと思っていたものが「トルク」という言葉に代わり、新しく「慣性モーメント」という別の量が出てきたのです。わけが分からなくなります。
F=ma
N=αI
の対応関係もただ2つのよく似た公式というだけの受け取り方になってしまいます。おまけにIを求める計算で「面倒だなあ!」という印象になってしまい案す。
回転のエネルギーというのが普通の運動エネルギーと違ったものという印象になってしまうようです。

回転の運動エネルギーを普通の運動エネルギーとつないで見ます。

質量mの物体が半径rの円周上を角速度ωで回転しているとします。
運動エネルギーは
(1/2)mv^2=(1/2)m(rω)^2=(1/2)mr^2ω^2
です。この表現は回転という言葉があっても普通の運動エネルギーのイメージです。違和感はないと思います。
ここでの物体は暗黙のうちにボールのような塊を考えています。
でも円周上に均一にこの質量が分布している場合でも同じはずです。
スポークの質量を無視できれば車輪(車輪状の物体)の回転がこれに当てはまります。
車輪の慣性モーメントIはここに出ているmr^2です。(1/2)Iω^2です。
円盤になれば半径の異なる車輪を重ね合わせて考えればいい事も分かります。質量m、半径rの円盤が角速度ωで回転している時の運動エネルギーを(1/2)Iω^2と書くとI=(k)mr^2と車輪の場合からの修正が出てきます。k<1です。半径が0~rまでの車輪の運動を重ね合わせたものですから質量の全てがrの所にある場合よりもエネルギーは小さくなっているはずです。#1に円柱の場合はk=1/2とかかれています。半径が1/√2の車輪の場合と同じだという意味です。

慣性モーメントを「回転の起こりにくさ」というのであれば質量は「動きにくさ」と言わなければ対応が付きません。運動方程式や運動エネルギーのなかのmをただ質量と呼ぶのであればIを「回転の起こりにくさ」と呼ぶのはハードルを1つ増やす事になります。
私は上に書いたように
回転の運動エネルギーを角速度ωを使って表したときの質量に対応する量とするのが分かりやすいのではないかと考えています。
回転の運動エネルギー=(1/2)Iω^2
とした時のIです。(これは#1でも書かれています。)
剛体の回転の場合、剛体の各部分によって速さが変わりますから(1/2)mv^2という式が使えなくなります。使うことが出来るのはvではなくてωです。こういうことも学習し始めたばかりの時にはなかなか踏まえにくいものです。剛体であってもvの値が1つに決まる場合は質点の場合と区別する必要はないということも分かります。車輪のような場合です。

いろんな言葉使いや式がギャップを作ってしまい、回転のエネルギーが運動エネルギーとは別のものという近寄りがたい印象を与えるようになってしまっているのではないでしょうか。

回転のエネルギーというのは運動エネルギーの一種です。
車輪の回転を考えてもらえば分かりますが軸の周りの回転は回転という運動です。重心が動かない場合でも可能な運動が回転なのです。
斜面で剛体を転がした場合は回転と落下とが同時に起こります。滑らずに転がる場合であれば1回転で重心は円周分の距離だけ斜面に沿って落下します。

>位置エネルギーは運動エネルギーと回転エネルギーに変わり、
この文章で運動エネルギーと書かれている内容は重心の運動エネルギーです。
位置エネルギーは運動エネ...続きを読む

Q角加速度とトルクと慣性モーメントの関係

トルクを慣性モーメントで割ると角加速度が出ると思うのですが
どうして出るのでしょうか?
トルク:N
角加速度:α
慣性モーメント:I
式はN=α・I
単位だけで見ると
N・m = rad/s^2 × kg・m^2
で一見関係が無いように見えますが・・・
感覚的に、軽くて小さなものと重くて平べったいものを同じスピード(加速度)で回すときは
後者の方がかなり力がいるのはわかるのですが・・・
式から関係性が見えません・・・
どなたかご存知の方、詳しい方、ご教示いただけますでしょうか?

Aベストアンサー

単位だけに注目します。

1Nは1kgの質量の物体を1m/s^2で加速させる力の大きさです。
つまり
1N=1kg・m/s^2

つまりトルクの単位は
N・m=kg・m/s^2・m=kg・m^2/s^2
となります。

慣性モーメントと角加速度の積は
kg・m^2・rad/s^2
となりますが、角度の単位radは無次元量(長さを長さでわったものだから)ですので無視できます。つまりこの積は
kg・m^2/s^2
とあらわせることになり、これはトルクの単位と等しいことがわかります。

Q回転エネルギーを考慮した場合のエネルギー保存則で求めた速さには、どうして物体の大きさが関係しないのでしょうか?

例えば、高さh(m)の斜面の上から球を転がすとします。
高校では、初めに持っていた位置エネルギーが斜面の一番下に着くときにすべて運動エネルギーになるので、そのときの速さv(m/s)を計算することができました(v=(2gh)^0.5)。しかし、それは球が質点に近づいていった場合の極限だと思います。実際、球の慣性モーメントI(kg・m^2)、角速度をω(rad/s)とすると、回転エネルギーは1/2Iω^2で表されるので、初めに持っていた位置エネルギーは、この回転エネルギーにも分配され、質点と考えた場合より速さは小さくなります。
でも、この慣性モーメントIは、半径をr(m)、質量をm(kg)とすると2/5mr^2、また、角速度ωは、球の速さをv(m/s)とすると、v/rで表されるので、この関係式を使って速さを求めると、v=(10/7gh)^0.5となり、この球の半径rを含まない式になります。
私の思考実験では、半径rを小さくしていくと、どんどん速さvは(2gh)^0.5に近づいていくような気がしてならないのですが、この結果からは、球がいくら大きくても小さくても(質点であっても)、速さは変わらないという結果となり、何か釈然としません。

どなたか分かりやすく説明して頂けないでしょうか?

例えば、高さh(m)の斜面の上から球を転がすとします。
高校では、初めに持っていた位置エネルギーが斜面の一番下に着くときにすべて運動エネルギーになるので、そのときの速さv(m/s)を計算することができました(v=(2gh)^0.5)。しかし、それは球が質点に近づいていった場合の極限だと思います。実際、球の慣性モーメントI(kg・m^2)、角速度をω(rad/s)とすると、回転エネルギーは1/2Iω^2で表されるので、初めに持っていた位置エネルギーは、この回転エネルギーにも分配され、質点と考えた場合より速さは小さくな...続きを読む

Aベストアンサー

この場合は剛体の運動となりますね。ということでここ↓のサイトに同様の問題が取り扱われていますので一度ご覧になってください。

http://7899.hito.thebbs.jp/one/1155483938

参考URL:http://7899.hito.thebbs.jp/one/1155483938

Q慣性モーメントの運動エネルギー

お世話になっております。
慣性モーメントの運動エネルギー(正式名称は回転運動のエネルギーでいいのでしょうか?)について
よくわからないことがでましたので質問させていただきました。

たとえば
重心周りの慣性モーメントがIzで質量がm,回転中心軸からの距離がlであるとき、その剛体が中心軸に対して角速度wで動いている場合
慣性モーメントの運動エネルギーは
((Iz + mll)/2)w^2
となることはわかっています。

では、ある円柱を地面にそって転がすとき、
重心が円柱の中心から半径方向に距離bだけずれている場合
回転運動のエネルギーはどうなるのでしょう?
(このほかに重心速度由来の(並進)運動エネルギーがつくと思われますが、それは今回置いておくことにします)

さて、さきほどと同様に重心周りをIz,質量をmとしたとき円柱の回転運動のエネルギーは
((Iz + mbb)/2)w^2となるのでしょうか?
それとも
(Iz/2)w^2となるのでしょうか?

なお、このときの角速度wを測る基準となるθは重心からとるべきなのか、中心から取るべきなのかもよくわかりません。

どなたかご教授お願いいたします。

お世話になっております。
慣性モーメントの運動エネルギー(正式名称は回転運動のエネルギーでいいのでしょうか?)について
よくわからないことがでましたので質問させていただきました。

たとえば
重心周りの慣性モーメントがIzで質量がm,回転中心軸からの距離がlであるとき、その剛体が中心軸に対して角速度wで動いている場合
慣性モーメントの運動エネルギーは
((Iz + mll)/2)w^2
となることはわかっています。

では、ある円柱を地面にそって転がすとき、
重心が円柱の中心から半径方向に距離b...続きを読む

Aベストアンサー

本来,回転の運動エネルギーは運動エネルギー
の一部であると考えるべきだと思います。
私たちは,剛体の運動を調べるときに便宜的に
重心の運動と重心周りの回転運動とに分けるわけ
ですが,現実に存在する運動エネルギーは剛体の
各部の運動エネルギーの総和にすぎません。
ですから,もともと回転運動のエネルギーと
並進運動のエネルギーを分けることは便宜的な
操作であると解釈できます。
さて,提示された場面の場合回転を中心周りに
とるか重心周りにとるかですが,それは何を知り
たいのかという便宜でどちらの立場もとりうると
思います。しかし,一般的な方法として重心運動
と重心周りの運動とに分ける方法が確立されて
いますから,その方法をとるのであれば1/2Izω^2
の方をとることになり,さらに中心周りの重心の
回転を残る運動エネルギーに含ませることになる
でしょう。このとき重心はトロコイド曲線を描き
ますから,運動を回転運動と並進運動とに分け
切れなかったということになります。
一方,回転を中心周りにとれば運動学としては
回転運動と並進運動をすっきり分けた格好になり
ますが,今度は重心運動を分離できなくなって
しまいますね。
結論として,この運動を解析する方法としては
前者の立場をとって,
重心周りの回転 :1/2 Izω^2
重心運動    :1/2 m(r^2+b^2+2brsinθ)ω^2
ただし,θは中心の進行方向(地面と平行)に
対する重心位置の中心角で ω=dθ/dt。
とでも書くことになるでしょうか?
位置エネルギーとして重心の上下運動を考慮すれば
運動方程式が書きおろせると思います。

本来,回転の運動エネルギーは運動エネルギー
の一部であると考えるべきだと思います。
私たちは,剛体の運動を調べるときに便宜的に
重心の運動と重心周りの回転運動とに分けるわけ
ですが,現実に存在する運動エネルギーは剛体の
各部の運動エネルギーの総和にすぎません。
ですから,もともと回転運動のエネルギーと
並進運動のエネルギーを分けることは便宜的な
操作であると解釈できます。
さて,提示された場面の場合回転を中心周りに
とるか重心周りにとるかですが,それは何を知り
たいのかと...続きを読む

Q加速度と角加速度の関係について

速度と角速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の速度がv,とすると
角速度ω=v/r [rad/s]
になると思うのですが,
加速度と角加速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の加速度がa,とすると
角速度α=a/r [rad/s^2]
となるのでしょうか?
ご教示よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

半径rが定数とすれば、その通りです。
加速度、角加速度はそれぞれ速度、角速度の単位時間の変化量(時間微分)ですので、加速度は「a=dv/dt」、角加速度は「α=dω/dt」と表せます。
同時に、角速度の式「ω=v/r」の両辺を時間で微分すれば「dω/dt=(dv/dt)/r」となり、この式はすなわち「α=a/r」となります。
ただし半径rそのものが時間関数r(t)の場合はこの限りではありません。

Q慣性モーメントの単位

慣性モーメント単位が kgf・m^2 と表されているのですが、なぜ kgf なのでしょうか?
また、単位変換して kg・m^2 にするにはどうすればよいのでしょうか?
どなたか、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

SI単位系では、慣性モーメントの単位はkg・m^2です。
ですが、重量単位系:力をW(kgf)として、力の単位にN(ニュートン)を用いないで慣性モーメントを定義する場合にkgfが現れます。それでも、慣性モーメントの単位はkgf・m・s^2です。ではkgf・m^2とは何なのかというと、GD2(ジーディースクエア)といって、正式には慣性モーメントではないが慣性モーメントの前段階のような値、ということです。例えば、円柱の上下方向の慣性モーメントはSI単位系では1/2MR^2(M:質量、R:半径、単位はkg・m^2)ですけど
これをGD2で表すと、1/2WD^2(W:重量、D:直径,単位はkgf・m^2)となります。重量は質量と値は等しいですが"質量"ではなく力です。つまり、質量に重力加速度がかかっています。ですから、慣性モーメントにするにはgで割る必要があります。また、直径の2乗で定義されてるから、半径の2乗に直すためさらに4で割ります。
それで、単位がkgf・m^2
からkgf・m・s^2となるわけです。ですが、相変わらず
kgfが入っているのでこれをSI単位に変換するには、
重量M=質量W(ただし値のみ。単位は異なる)であること
を利用し、1/2WD^2[kgf・m^2]をW→M、D→Rとし、4で割って、改めて単位をkg・m^2と置けばいいのです。他の慣性モーメントについても、全ての項がWD^2となっているから、同様に4で割り単位をkgf・m^2→kg・m^2とするだけです

参考URL:http://www.keiryou-keisoku.co.jp/databank/kokusai/torukusi/torukusi.htm

SI単位系では、慣性モーメントの単位はkg・m^2です。
ですが、重量単位系:力をW(kgf)として、力の単位にN(ニュートン)を用いないで慣性モーメントを定義する場合にkgfが現れます。それでも、慣性モーメントの単位はkgf・m・s^2です。ではkgf・m^2とは何なのかというと、GD2(ジーディースクエア)といって、正式には慣性モーメントではないが慣性モーメントの前段階のような値、ということです。例えば、円柱の上下方向の慣性モーメントはSI単位系では1/2MR^2(M:質量、R:半径、単位はkg・m^2)ですけど
これをGD2...続きを読む

Q円盤の慣性モーメントが求めれません。

面密度ρの一様な円盤の中心周りの慣性モーメント

J=(mR^2)/2
となるのですがどうしてなるのか分かりません。

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

で求まります。実際にやってみます。
dA=π(r+dr)^2-πr^2
=π(r^2+2rdr+dr^2-r^2)
=π(2rdr+dr^2) (5)

となるんですが、drはめっちゃ小さいんで2乗の項は無視します。
dA=2πrdr (6)

ですね。この式(6)を式(3)に代入します。
dm=2πρrdr (7)

式(7)を式(2)に代入します。
J=∫r^2・2πρrdr
=2πρ∫r^3dr (8)

見にくいんで書きませんでしたが、rの積分区間は0~Rです。
回転軸から端っこまでですから♪
積分を実行すると、
J=(πρR^4)/2 (9)

になります。
ここで、円盤の質量mは次式で与えられます。
m=πρR^2 (10)

式(10)を式(9)に代入すれば出来上がりです♪
J=(mR^2)/2 (11)

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

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Q剛体振り子の周期

剛体振り子の運動方程式 I(θの2回微分)=-Mghθ
から、普通に
周期T=2π√(I/Mgh)
と教科書に書いてあるのですけど、この周期Tはどうやって求めたのでしょう?計算の仕方がわからないので教えてください☆お願いします!
T=2π/ωと、ω=(θの微分)を用いるのはわかるんですけど・・・。

Aベストアンサー

これはθに関する微分方程式を解かなければいけません。
すなわち
dθ^2/dt^2 = -Aθ
(A=Mgh/I)
これは、よく教科書に書いてある形の微分方程式なのですが、解き方をここに書くのは、ちょっと面倒なのでご勘弁ください。

代わりに、方程式から周期を求める簡易な方法を紹介します。

θはtの三角関数になることは、わかっているものとします。

そうすると
θ = a・sin(ωt+c)
tで一回微分すると
dθ/dt = ab・cos(ωt+c)
もう1回tで微分すると
I = dθ^2/dt^2 = -a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
-a・ω^2・sin(ωt+c) = -A・a・sin(ωt+c)
よって
ω=√A=√(Mgh/I)
T=2π/ω=2π√(I/Mgh)

Q中が中空の球の慣性モーメントの求め方について

中が中空の球(球殻)の慣性モーメントの求め方がわかりません。
球の質量をM、半径をaとすると2/3Ma^2となるとは思うのですが、求める過程がわからないのです。
教えてください。

Aベストアンサー

球の中心を原点とした一般的な直交座標と極座標を考えて下さい。

r≠aではρ=0なのでr=aだけを考えればよく、面積分に帰着するわけです。
球の質量はr=aに一様分布なので(面)密度ρ=M/(4πa^2)となります。

それで、座標Ω=(θ,φ)において、z回転軸周りでは面積素片はdS=a^2*sinθdθdφになりますよね。さらに軸からの距離r'=a*sinθです。

あとはI=Mr^2に沿って計算すれば、
(0<θ<π, 0<φ<2π)

I=∬ρr'^2 dS
=ρ∬(a*sinθ)^2*a^2*sinθdθdφ
=ρa^4∬(sinθ)^3 dθdφ
=Ma^2/(4π)*2π∫(sinθ)^3 dθ
=Ma^2/2*(4/3)
=(2/3)Ma^2

と、こんなもんでよろしいのではないでしょうか。
慣性モーメントの計算なんて7年ぶりくらいです。ああ、間違ってないといいけど・・・(自信なくてすみません)


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