2桁の正の整数nと、その整数の十の位と一の位を入れかえた2桁の整数との和が、ある自然数の2乗になる。このようなnのうちで最も小さい数は?

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A 回答 (3件)

x,yを1桁の自然数、aを自然数とすると、


n=10x+y

問題の条件から、
(10x+y)+(10y+x)=a^2

11(x+y)=a^2

ここで、「11」は因数分解出来ないため、上式を満たす(x+y)の最小値は、11である。
x+y=11を満たすx,yの値は、
x=2,y=9
x=3,y=8



x=9,y=2
従って、nの最小値は、x=2,y=9の場合で、n=29

だと考えます。
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この回答へのお礼

11(x+y)=a^2が11になるのが解りません。右辺は関係ないんですか?しかし何となく解き方が解りました。ありがとうございました。

お礼日時:2002/03/05 12:38

#1の補足です。


どうしてx+y=11と決定したかというと、x+yが最小値を取れば、n(=10x+y)も最小となり得るからです。

右辺のa^2は、等式で表現したかったため、作っただけです。特に必要はありませんが、分かりやすくするために設けました。

また、
(10x+y)+(10y+x)
=10x+x+y+10y
=11x+11y
=11(x+y)

といった式の変形です。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございます。右辺は特に必要ないんですね。

お礼日時:2002/03/05 17:57

 n=10x+yとした場合(0<x<10,0<y<10)


 nとその十の位と一の位を入れ替えた整数は x+10y
 よって両整数の和は (10x+y)+(x+10y)=11(x+y)
 11は自然数なので、11(x+y)がある自然数の二乗で最小のものであるためにはx+y=11
 最小の数あるので、x=2,y=9(n=29)
 ではないのでしょうか。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。2行目までは解りますが3行目の、(10x+y)+(x+10y)=11(x+y)の11が何で出て来たのか解りません。

お礼日時:2002/03/05 12:41

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