No.4ベストアンサー
- 回答日時:
フーリエ級数展開を、その意義まで含めて学ぶための導入の問題だと思いますんで、素直にこつこつ計算するのが吉です。
M[k]を最小にするようなC[1], C[2], …, C[k]は、k元連立方程式
∂M[k]/∂C[m] = 0 (m=1,2,....,k)
の解であるはずだから、これを解く。
M[k]をC[m] (m=1~k)それぞれで偏微分すると、未知数C[1], C[2], …, C[k]についてのk元連立一次方程式が得られます。その係数には積分が入っていますから、それぞれ項別に積分を計算するんです。その際にまず、
∫{x=0~2} sin(nπx/2)sin(mπx/2)dx = m≠nのとき0, m=nのとき1
であること(この性質を「正規直交性」と言います)を証明すれば、項の数がばっさり減らせます。それから、
f(x) = f(2-x)
を利用して式を整理します。
もちろん、最初にM[3]を展開しておいて計算すれば答は出ますし、それで結構です。ですが、それが出来たら次は「最初にM[3]を展開する」のはナシにして(Σをできるだけ温存して)解いてみて、さらに是非、一般にM[k]について解いてみて下さい。それによって得られる知見が実はとっても重要なんです。
No.3
- 回答日時:
「最小二乗法としてf(x)を近似したときの残差Mk」を最小とするCn,ということは,
早い話がフーリエ係数,じゃないかな。
つまり,方針として
Step1「Mkを最小にするCnはフーリエ級数である」ことを示す。
Step2 f(x)のフーリエ係数を求める。
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