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公務員試験の約数倍数の問題(すごく簡単な問題らしい)で、答えを見てもわからないものがあるのですが・・・

問 94で割ると31余り、95で割ると23余る最小の正の整数はどれか。

答 94で割り切れる整数と、95で割り切れる整数とでは1ずつの差が生じるので、余りの差から、
(31-23)÷(95-94)=8
 94×8+31=783
となる。

と、あるのですが、解説とその後の式が理解出来ません・・何をしているのでしょうか。
よくわからないけど、式に適当な数字をあてはめてみましたが、変なことになりました。(答えの整数:21 10で割ると1余り、11で割ると10余る→(10-1)÷(11-10)=9 10×9+1=91?)
約数倍数は苦手で、根本的なことが理解できていないと思われます。

バカな僕でもわかるように教えてください。お願いします。

A 回答 (9件)

求める自然数をNとする。


Nを94で割ったときの商をa、95で割ったときの商をbとする。aとbは自然数。
N=94*a+31=95*b+23 であるから、94*a=95*b-8 → a=(95*b-8)/94=b+(b-8)/94 となる。
従って、aが最小になるためには、b-8=0 → a=8.
この時、N=94*8+31=95*8+23 =783.
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この回答へのお礼

すんなり理解できました。スマートな回答ありがとうございます!

お礼日時:2010/02/20 00:50

「94で割ると31余り」を満たすはじめの数(最小の数)は、94+31=125です。


このとき、95で割ると余りは30になります。
95が94よりも1だけ大きいからです。

次に、94を加えた125+94=219も94で割ると31余りとなります。
先ほどと同じように、この数を95で割ると、また1だけ余りが小さくなります。(余りは29)

このように、どんどんと95で割った余りが小さくなっていきます。
そして、その余りが23になるところを見つければよいことになります。

94を1回加えるたびに、95で割った余りは1小さくなるので、
31-23=8回加えたときに、余りはちょうど23となります。

このことを式にすると
94×8+31=783

となります。

文字式を使えば一般的な解き方ができますが、少し時間がかかってしまうかもしれません。
「割る数の差」=「余りの差」となるところがポイントですね。
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この回答へのお礼

丁寧な解説ありがとうございました。よくわかりました。ポイントの考えが自分の中に全くなかったです。助かりましたm

お礼日時:2010/01/14 17:47

こんな事まで説明いらないと思うんだが。

。。。。w

N=94*a+31=95*b+23 であるから、94*a=95*b-8 → a=(95*b-8)/94=b+(b-8)/94 となる。
aもbも自然数から、b-8=94m(mは整数)と表せる。b=94m+8≧1、a=95m+8≧1 より m≧0.
a=b+94m=95m+8であるから、mの関数見ると傾きが正から、m=0で最小。
従って、aが最小になるためには、b-8=0 → a=8.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2010/01/14 17:51

求める数から23を引いた数は、95で割ると割り切れ、94で割ると8余ります。

この8を求める計算が31-23です。

94で割り切れる正の整数は、94、94*2、94*3……。
95で割り切れる正の整数は、95、95*2、95*3……。
その差は95-94=1、95*2-94*2=(95-94)*2=2、……と1ずつ増えていきます。
これは、見方を変えると、95で割り切れる正の整数である95、95*2、95*3……を94で割ると、余りが1、2、3……と1ずつ増えていくことを意味しています(※)。
94で割ると8余る95の倍数は95*8だとわかります。
この95*8に23を足せば、95で割ると23余り、94で割ると31余る整数が出来ます。

ということをやっていると思うのですが、最後の94×8+31=783がどうもよくわかりません。結果的には同じことですが、やっていることの意味を考えると95*8+23の方から求めることになるのではないかと思うのですが。その解答のような意味づけになる解き方は思いつきませんでした。表に書いて8列目を求めたということなのかも知れません。

ただ、数学的にはこの解き方では不十分だと思われます。
求める整数を95あるいは94で割ったときの商が同じであることを前提にしていますが(※のところ)、そうとは限らないからです。
この解き方では、「94で割ると31余り、95で割ると23余り、かつ商が同じ整数」が見つかるだけで、それが最小かどうかは別に確認する必要があります。

他には、
94で割ると31余る正の整数を小さい方から書いていくと、31、94+31、94*2+31、94*3+31……。
これを95で割ったときの余りは、31、30、29……と1ずつ減っていきます。23になるのは94*8+31とわかります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時:2010/01/14 17:50

勝手に付け加える条件は、


上手く n さえ求まれば 、何でもよいのですが、
p = 0 などとしたのでは、
対応する整数解がありません。

この問題の場合、
95 - 94 = 1, 11 - 10 = 1 であることから、
p = q がたまたま上手くゆくのでした。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時:2010/04/03 01:40

貴方の例で、同様にやってみると、


n = 10p+1 = 11q+10 を
勝手に p = q = m と置いて解いて、
m = -9, n = -89。
(全ての n) = -89 + 110×(任意の整数)
ですから、正で最小の n は、-89 + 110
と分かります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時:2010/04/03 01:40

問題の条件は、♯1 のように書けます。


よって、
n = 94p+31 = 95q+23 の整数解を求めればよい。
このような n の内、
正で最小のものを要求されています。

~で割ると~になる…という問題は、
「一次不定方程式」といって、よく知られており、
その解は、
(全ての n)=(n の一例)+(割る数の最小公倍数)×(任意の整数)
という形になります。
だから、最初は n が正で最小になるかは気にせず、
♯2 のように、勝手に
p = q (= m) などの条件を追加して、ともかく
式を満たす n の一例を探せばよいのです。
正で最小の n は、最小公倍数を使って
後から求めればよい。

解説では、たまたま最初から
正で最小のものが見つかったため、
最後のステップが省略されており、
解法の流れが分かりにくくなっています。
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この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございました。ただ、(全ての n)=(n の一例)+(割る数の最小公倍数)×(任意の整数)が私の頭では処理しきれず、よく分かりませんでした。すみません。

お礼日時:2010/01/14 17:54

求める最小の整数をN, mは整数とおくと


N=94m+31 …(A)

とおけることはわかりますか?
また、割る数を1増やし95で割るとあまりが減少して
N=95m+23 …(B)

とおけることはわかりますか?

(A)-(B)より
0=(94-95)m+(31-23)
mの項を左辺に移項して
(95-94)m=(31-23)
m=(31-23)÷(95-94)=8 ←これが最初の式ですね。
このとき(A)から
N=94x8+31=783 ←これが2番目の式ですね。
また
N=95x8+23=783 ともなっていて(B)式も満たしている。

理解できましたか?
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。ただ、最初に商をmとしてしまうには抵抗がありました。

お礼日時:2010/01/14 17:57

普通に代数で解けばよいでしょう。



94で割ると31余り → n = 94p + 31
95で割ると23余る → n = 95q + 23

よって

94p + 31 = 95q + 23
95q - 94p = 8

よって

p = 95k + 8
q = 94k + 8

最小になるのは p = q = 8 のとき
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時:2010/01/14 17:58

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