二項定理について詳しい方お願いします。

Question

(1)(x-【x二乗分の5】←分数です)の6乗を
展開した時のxを含まない項を求めよ。
答えは375です。

(2)(x二乗－3x＋1)十乗の展開式における
x三乗の係数を求めよ。
答えは－3510です。

それから、二項定理ではないのですが、
(3)サイコロを3回振り、出た目を順に左から書いて
3桁の整数を作る。この時、一の位、十の位
、百の位が全て異なる整数の和は□である。
答えは46620です。

答えは分かるのですが、途中の考え方を書いて
提出しなければいけないので、もし考え方が
分かる人いたらお願いします。

debut · Accepted Answer

(2)を。
これは、式を{x^2+(-3x+1)}^10とみて２項定理を使うとよいでしょう。
一般項は、10Cr*{(x^2)^(10-r)}*(-3x+1)^rですから、x^3が出てくるのは
(x^2)が０乗、つまりr=10で(-3x+1)^10を展開したときのx^3の項、
または、(x^2)が１乗、つまりr=9で(-3x+1)^9の展開式のxの項とかけたと
きのどちらかになります。
・r=10のとき、(-3x+1)^10でx^3がある項は、(最初の一般項で、10C10は1
　なので、(-3x+1)^10だけを考えればよい)
　　10C7*{(-3x)^3}*1^7=120*(-27x^3)=-3240x^3・・・(A)
・r=9のとき、10C9*(x^2)*(-3x+1)^9=10x^2*(-3x+1)^9
　　ここで、(-3x+1)^9でxの項は、9C8*(-3x)*1^8=9*(-3x)=-27x
　　よって、x^3の係数は10x^2の10と-27xの-27をかけて、-270・・・(B)
(A),(B)から、x^3の係数は-3510

(3)
例えば、百の位が１の場合、
123,124,125,126　　132,134,135,136　　142,143,145,146
152,153,154,156　　162,163,164,165
のように、百の位の１が20個、十の位に１以外が４個ずつ、一の位に
やはり１以外が４個ずつあります。
百の位が２,３,４,５,６でも同様で、
結局、百の位に１から６までが20個、十と一の位に１から６までが４個
ずつ５回、つまりこれも１から６までが20個出てくることになり、
総計は、(1+2+3+4+5+6)×20×(100+10+1)

postro · Answer

百の位が６の数は5P2種類ある。５の数も４も３も２も１も5P2種類ある。
百の位だけ足し算すると(600+500+400+300+200+100)*5P2である
同様に十の位だけ足し算すると(60+50+40+30+20+10)*5P2である
同様に一の位だけ足し算すると(6+5+4+3+2+1)*5P2である

postro · Answer

多項定理
(a+b+c)^n を展開した時の一般項は
(n!/p!q!r!)a^p*b^q*c^r  ただし　p+q+r=n  p,q,rは0以上の整数
(x^2-3x+1)^10  の一般項は
(10!/p!q!r!)(x^2)^p*(-3x)^q*1^r  ただし　p+q+r=10  p,q,rは0以上の整数
すなわち
(10!/p!q!r!)(-3)^q*x^2p*x^q  ただし　p+q+r=10  p,q,rは0以上の整数
よってp=q=1  ,r=8  と　p=0 ,q=3 ,r=7
のときx^3の係数が求められる

nekomaturi · Answer

とりあえず、（１）のみです。

６Ｃ２・ｘ^４・（-５/（ｘ^２））^２

を計算すれば、ｘは約分されて、
１５・２５＝３７５となります。

表記としてｘの４乗をｘ^４と書きました。

これはきっと、学校か塾の宿題でしょうか？
ちなみに（２）は、少し応用問題に類するので
まずは（１）のような基本問題がしっかり分かって
問題が自分で解けるようにならないと理解も厳しいですよ。

今一度、教科書を見直して、二項定理の例題等を
確認するといいと思います。

二項定理について詳しい方お願いします。

(2)を。

百の位が６の数は5P2種類ある。

多項定理

とりあえず、（１）のみです。

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