1からmまでの番号が1つずつ書いてあるm枚のカードが入っている箱がある。この箱から1枚取り出してはまたもとに戻す操作をn回繰り返し、第i回目に取り出したカードの番号をAiとする。A1≧A2≧A3≧・・・・≧Anとなる確率をp(m,n)で表すとき、次の値を求めよ。
(1)p(2,n)
(2)p(3,n)
(3)p(4,7)
(4)p(4,n)
この問題を解いているのですが僕にとってかなり難問です。
とりあえず(1)なのですが、2がずっと続いて途中で1になるような確率を出せばいいのではないかと考えたのですが、「何個目で1に変わるのか」をどう表すのかがよくわかりません。1回目で変わる、2回目、3回目と分けようと思ったのですが、nなので無理でした。
こういう場合、確率はどのようにして出すのでしょうか?教科書や傍用問題集では見たことのないタイプです。
回答いただけるとありがたいです。よろしくお願いします
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
1≦A_n≦A_(n-1)≦A_(n-2)≦A_(n-3)≦ …… ≦A_3≦A_2≦A_1≦m
⇔
1≦A_n <A_(n-1)+1<A_(n-2)+2<A_(n-3)+3< …… <A_3+(n-3)<A_2+(n-2)<A_1+(n-1)≦m+(n-1)
であるから、
1≦A_n≦A_(n-1)≦A_(n-2)≦A_(n-3)≦ …… ≦A_3≦A_2≦A_1≦m を満たすような
カードの取り出し方は C(m+n-1,n)=(m+n-1)!/(n!*(m-1)!) 通りだけある。
よって、
p(m,n)=((m+n-1)!/(n!*(m-1)!))/(m^n).
たとえば、
(4) p(4,n)
=((4+n-1)!/(n!*(4-1)!))/(4^n)
=(n+1)(n+2)(n+3)/(6*4^n).
No.4
- 回答日時:
んーと、No.3が出たことだし、もうスレスレまでヒントを出しておきます。
No.2をさらに単純化するには、
A[0] =m
S[0] = A[0]-A[1]
とすれば良い。
すると
m-1 = S[0]+S[1]+…+S[n]
ですが、これはどういうことかというと…
No.2
- 回答日時:
いきなり確率を考えるより、まず場合の数で考えるのが良さそうです。
以下、見やすくするために記号を変えて、AiをA[i]のように書くことにします。「A[1]≧A[2]≧・・・・≧A[n]」となった場合を「成功」、それ以外を「失敗」と呼ぶことにしましょう。
n回カードを引いたときに起こりうる場合の数は、「成功」も「失敗」もひっくるめると、もちろん(m^n)通りあります。あとは、そのうち「成功」の場合が何通りあるかを数えれば良い。
ここで、
u = A[1]-1
A[n+1] = 1
S[i] = A[i]-A[i+1]
と定義しますと、
u= S[1}+S[2]+…+S[n]
です。
そして、「成功」とは
S[i]≧0 (i=1,2,…,n)
であることと同じです。
これはどういうことかというと、
「A[1](=u+1)を或る値に決めたときの「成功」の場合の数は、
『u個のボールがあります。これをn人で分けるやり方は何通りありますか。ただし、ボールがひとつも貰えない人があっても構いません。』
という問題の場合の数(これをN(u)としましょう)と同じ。」
ってことですね。(i君が貰ったボールの個数がS[i]という訳です。)これは「重複組み合わせ」の問題ですから、
N(u)= nHu = (u+n-1)Cu = (u+n-1)!/(u! (n-1)!)
です。
従って、「成功」の場合の数は
ΣN(u) (Σはu=0,…,m-1)
通りある。
No.1
- 回答日時:
(1)で
n=2のとき (2、2)(2、1)(1、1)(1、2)の4通り
そのうち A1≧A2を満たすのが 3通り
n=3の時 (2、2、2)・・・・ 省略・・・ の8通り
そのうち A1≧A2≧A3を満たすのが 4通り
n=4の時 省略・・・・・・ の16通り
そのうち A1≧A2≧A3≧A4を満たすのが 5通り
規則性を見つけましょう。 分子は1ずつ増えてるし、分母は2^nだし・・・・
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