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(問)曲線x^2+3xy-y^2=3上の点(1,2)における接線の方程式を求めよ。
 (疑問点)
 両辺をxで微分して、2x+3(y+xy’)-2yy’=0になる過程がわからないのです。とくに、y^2をxで微分するとどうなるかがわからないのだとおもいます。詳しくよろしくおねがいします。

A 回答 (3件)

微分というのは、傾きを出す計算方法で、xの傾きは1とわかります。



例で、2xの微分式を考えてみます。
2xをxで微分をすると、傾きなので2と出てきます。
もしくは、数字の傾きは関係がないので、xのみ微分すると考え、xの傾きは1なので、2×1で2と出てきます。

ここから本題です。
(1)x^2はそれぞれのxに対して微分を行うので、二つあるxのうち一つ目のxを微分して1、二つ目のxを微分して1がそれぞれでてくるので、
1×x+x×1=2xと出てくるわけです。

(2)3xyのように分からない文字が二つ出てきた場合には、xとyでそれぞれ傾きを出します。
 xの傾きは1なので、3×1×y=3y
 yの傾きはx座標からy座標を求めて…という段階が必要なので、y’(x)とおきます。
そうすると3×x×y’(x)=3xy’

(3)-y^2も(1)と同様にしますが、微分すべきyの値はやはりx座標から求めることになるので、y’(x)と書きます。
ここでも(1)と同じように二つあるyのうち、一つ目のyを微分、二つ目のyを微分というように行うと、
y’(x)×y+y×y’(x)=2yy’

となります。
分かりにくければかまわず仰って下さい。

この回答への補足

とても理解しやすい解説ありがとうございます。
加えて質問なんですが、あなたの解法は「積の微分法」と考えてよろしいのですか?だとしたら、「積の微分法」って、xの式の積でなくてもyの式の積でもy'を使うことで、xとyが混ざっている式であっても、xについて「
積の微分法」で解けるということですか?

補足日時:2006/09/06 20:32
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「y^2をxで微分する」ということですが、あまり難しく考えず、以下のように「分数の計算」として機械的に覚えてしまえばいいです。



d(y^2)    d(y^2)    dy
------ = -------×------ = 2y×y'
 dx      dy     dx
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まずyをxの関数と考えます。


(実際にy=y(x)の形に解く必要はない。)
この問題でかぎとなるのはxyとy^2をxで微分するとどうなるかということです。
xyを微分するには積の微分を使います。f,gをxの関数とすると、(fg)'=f'g+fg'が成り立ちます。
f=x,g=yとおくと(xy)'=y+xy'となります。(y'=dy/dx)
y^2をxで微分するには合成関数の微分を使います。
zをyの関数、yをxの関数とするとzをxで微分した式は
dz/dx=dz/dy*dy/dx で与えられます。
z=y^2とおくと、(y^2)'=2y*y'となります。
したがって
x^2+3xy-y^2=3の両辺を微分すると
2x+3(y+xy')+2yy'となります。
微分係数y'(1)を求めるにはx=1,y=2を代入すればいいです。
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