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No.1
- 回答日時:
[a,b]を分割しa=x(0)<x(1)<…<x(n)=bをとり、
点( x(i), 0, f(x(i)) )をP(i)とする。(nは十分大きいとする)
P(i-1)P(i)の長さは
P(i-1)P(i)
=√{(x(i)-x(i-1))^2+( f(x(i)) - f(x(i-1)) )^2}
=(x(i)-x(i-1))*√[1+{( f(x(i)) - f(x(i-1)) )/(x(i)-x(i-1))}^2]
z=f(x)がC1級曲線なので、
( f(x(i)) - f(x(i-1)) )/(x(i)-x(i-1))=f'(t) (x(i-1)<t<x(i))
と表せるから、
P(i-1)P(i)=△x(i-1)*√{1+f'(t)^2}
さて、z=f(x)をz軸周りに1回転させて出来た曲面上に、
P(i-1)とP(i)がz軸周りに1回転して出来た円があるが、
この2つの円にはさまれた、局面上の面積S(i)を考える。
それぞれの円の円周は2πx(i-1)、2πx(i)であるが、
nが十分大きいのでここでは2πx(i)で近似して考えると、
S(i)=P(i-1)P(i)*2πx(i)
Σ(i=1~n)S(i)が求める面積。
よって
∫(a~b) 2πx*√{1+f'(x)^2} dx
=2π ∫(a~b) x*√{1+f'(x)^2} dx
最後らへんが割と適当なんで、証明ならちゃんとした方がいいかもしれません。
まぁ説明なんでこんな感じで。
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