ｎの0乗が１になる理由 ｎ進法

題名の通りなのですが、２進法とか３進法とかの計算問題をやっていてふと疑問に思ったのですが。n^0（ｎの0乗）＝1となるのは何故でしょうか？
いろいろと調べては見たのですが、そういう約束事だから程度の解説が多く理解できません。どなたか、どの様に考えるべきものなのかアドバイスを下さい。
蛇足ですが、元来数学（算数）はめっぽう苦手なので出来るだけわかりやすくお願いします。

No.10 回答者： gootaroh 回答日時： 2006/12/07 11:12

「n^2とはnを2回掛けること。

n^1とはnを1回掛けること。だから、n^0とはnを0回掛けること・・・」という理解だと、
「0乗？・・・？？？」となってしまいます。

そうではなく、n^0とは、分母と分子が同じ状態、つまりn/nと理解してください。
したがって、nが0でない限り、答えは1になります。
つまり、こういうことです。

2^2=4
2^3=8
2^4=16
2^5=32ですよね。

試しに、2^5÷2^3を計算すると、32÷8=4なので、2^2と同じになります。
つまり、2^5÷2^3=2^(5-3)ということになります。

この法則を利用して、2^5÷2^5はどうなるでしょうか？
2^(5-5)=2^0ということなのですが、もともと分母と分子が同じですから、答えは1ですよね。

冒頭に「nが0でない限り、」と申しましたが、もし、nが0だったらどうなるでしょうか。
0/0ですから、答えが一つに定まらない「不定」になります。

つまり、0÷0=aとして、移項すると0=0×aです。
0に何を掛けても必ず0になりますから、aはどんな数値でも構わないわけです。
だから「答えが一つに定まらない」、つまり「不定」です。

よって、繰り返しますが、n^0は原則として1ですが、nが0の場合だけ例外として「不定」となります。

No.9 回答者： SortaNerd 回答日時： 2006/12/07 00:04

＞そういう約束事だから程度の解説

まさにその通りですよ。

n^mを「nをm回掛け合わせる」という本来の意味で考える限り、「nを0回掛ける」「nを掛けない」というものは定義できません。
定義できなければどうするか。適当に決めてしまおう。
どう決めれば都合がいいか?「1」にしておけば他の冪乗との整合性がいいからそうしておこう。
ということです。あくまで約束事として決めたことに過ぎません。これを難しくいうと「乗法の単位元は1である」とか言いますが、私には後付けにしか見えません。

No.8 回答者： kishiura 回答日時： 2006/12/06 19:06

理系大学４年です。

先の回答者さんたちの考え方でよろしいかと思います。ただ、ｎは０を除きます。0^0は不定です。
そもそも、ｎ進法の問題を解いているのなら、ｎ進法で表された１の位にｎ^0が出てきます。一の位はその値をそのまま足せばよいのです。
10進法では342は3×10^2+4×10^1+2×10^0（=1）ですよね。
意味を考えずに機械的に計算するために、そういう疑問が出てくるのです。
苦手と言われる前に、まず意味を考えましょう。

No.7 回答者： neKo_deux 回答日時： 2006/12/06 17:56

…

n^-2
n^-1
n^ 0
n^ 1
n^ 2
…

でグラフを描いてみると「何故都合が良いのか？」が分かると思います。

No.6 回答者： Mayday_Mayday 回答日時： 2006/12/06 17:50

例えば、ｎの３乗で考えると、

ｎ＾３÷ｎ＾３＝ｎ＾(3-3)
左辺は約分して１。右辺はそのままn^０
なので、
１＝ｎ＾0

No.5 回答者： saru_1234 回答日時： 2006/12/06 17:50

「そう考えると都合がよいから」です.

x^a / x^b = x^(a-b)

ですよね.

(例えば, 10^3 / 10^2 = 1000 / 100 = 10^1 )

a=b の時,左辺が１なのは理解に難くないと思いますが、
当然右辺も１なのです。つまり

x^0 = 1

です.

「これが正しい」ので、いろんな約分や計算を正しく行うことができるのです。


だいたい、x^a (xのa乗)を文章にすると「x を a 個かける」ということですが、
x^0 の場合は「 x を 0 個かける」で、

０個をかけるって何？
０ならまだしも、１になるの？

というのが理解しにくいのだと思います。

まぁそういうものだと思っていればよろしいのでは.

No.4 回答者： locoko 回答日時： 2006/12/06 17:48

以前私が教わった方法ですが、

ためしに、n=2で考えてみると、
2^3=8
2^2=4
2^1=2
2^0=？
2^-1=1/2
となっています。これを見ると、下の行に行くには2で割っていけばよいことがわかります。
(例えば、８(一行目)÷２＝４(二行目))
そうすれば、n^0=n^1÷2=2÷2=1

このようにすればわかりやすいのではないかと思います。

No.3 回答者： shukugawa 回答日時： 2006/12/06 17:47

元々べき乗というのが1に対してnを何回掛けたかを表す物だからです。

0だと一度も掛けていないから1です。
べき数が負の場合もその回数だけ1から割るということです。

No.2 回答者： hyeon 回答日時： 2006/12/06 17:46

ｎの5乗にｎの2乗をかけるとｎの7乗になります。

（ｎ×ｎ×ｎ×ｎ×ｎ）×（ｎ×ｎ）＝ｎ×ｎ×ｎ×ｎ×ｎ×ｎ×ｎだからですが、これはｎ^5×ｎ^2＝ｎ^5＋2と書き直すことができます。
では、ｎの5乗にｎの0乗をかけるとｎ^5×ｎ^0＝ｎ^5＋0＝ｎ^5となるので、ｎ^0＝1となります。

No.1 回答者： MickeyBear 回答日時： 2006/12/06 17:43

n^0 = n^(1-1) = n^1 * n(-1) = n / n = 1

というのでいかがでしょうか。