数学的帰納法

整数nに対して、(n＾3)+5nは6の倍数を証明する問題で
数学帰納法を用いると
(1)
n=1のとき
(n＾3)+5n=6
6の倍数

(2)
kが自然数のとき(k＾3)+5k=6A
Aは整数とする
このときどうしてkのk+1を代入するのですか？
計算をすると
(k＾3)+5k
=(k＾3)+5k+3（k＾2)+3k+6
=6A+3k(k+1)+6
になりましたが
これをどのような意味をもつのか分かりません。
どのように証明するのでしょうか？

(3)
(n＾3)+5ｎは6の倍数とすると
(-n)＾3+5(-n)のときやn=0のときもどうして６の倍数になるのか分かりません。

No.10 ベストアンサー 回答者： FUURINKAASAN 回答日時： 2006/12/11 00:09

＃８の補足にたいして

＞例えばｎに1を代入すると、1*(1+1)と偶数になるから２で割り切れると考えていいですか？

そう考えるのは「常識」ではいいのですが、本当はそれは数学的に「証明」していることではないのですよ。

＃９の参考ＵＲＬにあるように
「連続n個の整数の積はn!で割り切れる」

nが２や３のうちは「常識」であるとして「証明」もしなくて逃げれますが、数学的ではありません。

この回答へのお礼

長い間ありがとうございました。

お礼日時：2006/12/11 17:42

No.9 回答者： FUURINKAASAN 回答日時： 2006/12/10 13:55

参考

http://www.nikonet.or.jp/spring/jouyo/jouyo.PDF

No.8 回答者： FUURINKAASAN 回答日時： 2006/12/10 13:35

「常識である」ことと「証明する」こととはちがいます。

たとえば
(-1)×(-1)＝1

これは常識ですが、ちゃんと証明はできます。

数学では常識とは言わないでしょう。
定義か定理でしょう。または法則。

定義は決め事だから元々証明できないが、定理は証明できますから。

あくまでも質問者が提示した問題は

「数学帰納法を用いて証明せよ」

ということでしょう。

この回答への補足

リンクありがとうございます。
＞n(n+1)は　n、n+1のどちらかが偶数から2で割り切れる。
例えばｎに1を代入すると、1*(1+1)と偶数になるから２で割り切れると考えていいですか？

補足日時：2006/12/10 18:17

No.7 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2006/12/10 12:00

連続する3つの整数の積は6の倍数である、という事は高校生でも常識と思いますので説明は省略しましたが、常識ではない人がいるようですので説明しておきます。

まず、n(n+1)は　n、n+1のどちらかが偶数から2で割り切れる。
従って、(n-1)n(n+1)も2で割り切れる。
次に、n-1、n、n+1は相連続した3つの整数だから、そのなかの一つは3の倍数である。
よって、(n-1)n(n+1)は3で割り切れる。
以上から、(n-1)n(n+1)は2でも3でも割り切れ、又、2と3は互いに素であるから、その積6でも割り切れる。

この回答への補足

常識がなくてごめんなさい。
少しでも常識になれるようにがんばりたいと思います。

＞n(n+1)は　n、n+1のどちらかが偶数から2で割り切れる。
についてたのですが、例えばｎに1を代入すると1 ,(2)とどちらかが偶数になるから２で割り切れると考えていいですか？
＞n-1、n、n+1は相連続した3つの整数だから、そのなかの一つは3の倍数である。

連即した３つの整数が集まると３の倍数にどうしてなるのか分かりません。
n、n+1は２の倍数だから6の倍数として考える為に
n-1、n、n+1=6の倍数と考えるのですか？

補足日時：2006/12/10 13:13

No.6 回答者： FUURINKAASAN 回答日時： 2006/12/10 02:56

＃5です

質問を読み間違えました。
「証明してください。」じゃないですね。

ちなみに普通、整数はk,l,n,mあたりを使うのが通例ですから
＞kが自然数のとき(k＾3)+5k=6A
＞Aは整数とする
あまりＡは使わないほうがいいですけど。

No.5 回答者： FUURINKAASAN 回答日時： 2006/12/10 02:44

無駄とは知りつつ自分のために回答します。

＞数学的帰納法の練習ならともかく
これは数学的帰納法で証明する問題です。

＞(n＾3)+5n＝n(n-1)(n+1)＋6nと変形される。
これも理解できないでしょう。

(n＾3)+5n＝n(n＾2+5)
　 ＝n{(n＾2-1)+6}
　 ＝n{(n-1)(n+1)+6}
　 ＝n(n-1)(n+1)+6n
　 ＝(n-1)n(n+1)+6n

＞n(n-1)(n+1)は連続した3つの整数の積だから6の倍数
このことを数学的帰納法を用いて証明しなければ駄目です。
というより、この問題は

n(n-1)(n+1)+6nが6の倍数であることを証明するための問題ですから。
＃４さんが6の倍数であると簡単に言ってますが間違いです。

ではn(n-1)(n+1)+6nが6の倍数であること、
つまり(n-1)n(n+1)+6nが6の倍数であることを証明します。

(1)ｎ＝1のとき
(n-1)n(n+1)+6n＝0×1×2+6×1＝6　
6は6の倍数である。

(2)ｎ＝ｋのとき
(n-1)n(n+1)+6ｎが6の倍数であると仮定すると、Ｎを整数として

(n-1)n(n+1)+6ｎ＝(k-1)k(k+1)+6k
　 ＝k(k-1)(k+1)+6k
　 ＝k(k＾2-1)+6k
　 ＝6Ｎ・・・・・・・・・・Ａ

ｎ＝ｋ+1とすると
(n-1)n(n+1)+6n＝k(k+1)(k+2)+6(k+1)
　 ＝k(k＾2+3k+2)+6(k+1)
　 ＝k{(k＾2-1)+6k-3k+3}+6(k+1)
　 ＝k{(k＾2-1)+3k+3}+6(k+1)
　 ＝k{(k＾2-1)+3(k+1)}+6(k+1)
　 ＝k(k＾2-1)+3k(k+1)+6(k+1)
　 ＝{k(k＾2-1)+6k}+3k(k+1)+6
　 ＝6Ｎ+3k(k+1)+6
6ＮはＡより6の倍数、
3k(k+1)はk,(k+1)のどちらかは偶数(2の倍数)だから3k(k+1)は6の倍数、
よって
6Ｎ+3k(k+1)+6は各項全て6の倍数だから計も6の倍数である。

(1)よりk＝1が成立しているので

(n-1)n(n+1)+6nは整数nに対して6の倍数であるから

(n＾3)+5nは整数nに対して、6の倍数である。

証明終わり。

以上

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2006/12/09 23:33

数学的帰納法の練習ならともかく、この問題に帰納法を使う必要はないと思いますが。

(n＾3)+5n＝n(n-1)(n+1)＋6nと変形される。
n(n-1)(n+1)は連続した3つの整数の積だから6の倍数、6nも6の倍数。
従って、(n＾3)+5nの6の倍数。

No.3 回答者： BO-BO-keshi 回答日時： 2006/12/09 21:23

こんばんは！

数学的帰納法…
わたしも高１の時に苦しんだのを覚えていますｗ

他のご回答者様がおっしゃっているように、
数学的帰納法は n=k のとき成立することを仮定すると、
n=k+1 のときにも成立することを証明する事がポイントなわけですが、
すなわち、今証明したいことはこの内容です。

　　　(k^3)+5k　…(1)　が 6 の倍数ならば、
　　　{(k+1)^3}+5(k+1)　…(2)　も 6 の倍数

それならば、この２つ目の式を変形して　６×？　の形にしてやろうという話になる訳です。それで k+1 を代入した式を作っているということですね。

質問文に書かれている等式

　　　(k＾3)+5k=(k＾3)+5k+3(k＾2)+3k+6

は成立しないです。
そこが質問者様を混乱させている原因のように思いますので付け加えますが、「kにk+1を代入する」というのは「入れ替えた式を考える」だけであり、「入れ替えると等号で結べる」という事ではありません！

「0は全ての整数の倍数」という点について、この問題の場合はそれで良いと思いますが、問題によっては「６の倍数」と言われたときに正の数だけを指して言う場合もあるように思います。これは臨機応変に考えるべきだと思います。

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2006/12/09 14:54

まず，0はすべての整数の倍数です

0 * x = 0 ですので

つぎにnが負の整数のとき．
n = -m (mは自然数) とおくと

n^3 + 5n = (-m)^3 + 5(-m)
=(-1)^3 m^3 - 5m
=- (m^3 + 5m)

m^3 + 5m (mは自然数)はすでに証明されたとおり6の倍数
したがって，
nが負の整数でも n^3 + 5n は6の倍数

No.1 回答者： tatsumi01 回答日時： 2006/12/09 13:09

(2)

> kが自然数のとき(k＾3)+5k=6A
> Aは整数とする
> このときどうしてkのk+1を代入するのですか？
数学的帰納法をよく理解しておられないようですね。
数学的帰納法では、n=k のとき成立すると仮定すれば、n=k+1 のときも成立することを示せばいいのです。n=k+1 のときの左辺を書くと
(k+1)^3+5(k+1) = k^3+3k^2+3k+1+5k+5=(k^3+5k)+6+3k(k+1)
ですが、最右辺は n=k のときの仮定によって
=6A+6+3k(k+1)
になります。したがって、3k(k+1) が 6 の倍数であること、つまり k(k+1) が偶数であることを示せば証明の完成です。

(3)
n=0 のとき、n^3+5n=0 ですが、0 は 6 の倍数です。
マイナスのときは省略しますので考えて下さい。

この回答への補足

解説ありがとうございます
n=0のとき
(0＾3)+5*0=0になっても6の倍数なのですか？
マイナスのときは
-((n＾3)+5n)になりますけどよくわかりません。

補足日時：2006/12/09 13:10