積分の応用問題

〔問〕　関数　√x+√y=1　がある。
(1)この曲線を図示せよ。
(2)曲線の全長を求めよ。

(1)は√y=1-√x　より　0≦x≦1であり、
y=1-2√x+x
(dy/dx）=-1/√x +1=(√x-1)/√x
として増減表を書いて図示できるので問題ないのですが、

(2)は、曲線の長さの公式にしたがって、
（インテグラル∫は下端0から上端1までとして）
∫√{1+(dy/dx)^2}dx=∫√〔1+{(√x-1)/√x}^2〕dx
=∫√{(2x-2√x+1)/x}dx=……？？？　

途中で詰まってしまって積分の方法がわかりません。
どうすれば解決するのか教えてほしいです。

No.6 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/01/16 12:33

ごめんなさい。

計算間違いをしていました。

三角関数の積分のよる方法でも、
１＋１／２√２　log（３＋２√２）
になりました。
こっちのほうが正解のようです。

あと、３＋２√２＝（１＋√２）^2　だったことを忘れてまして、このことを考えれば、
１＋１／√２　log（１＋√２）
に簡単にできます。

どうやら、かえって混乱させてしまったみたいですね。
申し訳ない。

この回答への補足

三角関数の積分のほうの答えがどうしても　
√２+１／√２　log（１＋√２）　になってしまいます。

時間を置いてやってみますね。

補足日時：2007/01/17 13:02

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
本当に助かりました。
かえって混乱したなんてことは全くないですよ。
　3+2√2={1+√2}^2
を使って式を簡単にできるなんて全く思いつきませんでしたし、
いろいろありがとうございました！！

お礼日時：2007/01/16 14:56

No.5 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/01/16 02:46

＃４です。

自信はないのですが、こんな答えが出ました。
＝√２＋１／２√２　log（３＋２√２）

よかったら答え合わせしてみましょうか。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
三角関数の置換積分のほうはMr_Hollandさんと同じ答えになりました。
安心です。

複雑な公式のほうはなぜか１＋１／２√２　log（３＋２√２）
になってしまいます。

お礼日時：2007/01/16 11:46

No.4 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/01/15 22:37

答えは＃３さんの方法で求められると思います。

そこで、参考情報を一つ。
別に計算が楽になるというわけではないのですが、問題にしている曲線は放物線になっていることはご存知ですか？
問題の曲線は、基点（３√２/４, ０)、準線：ｙ＝－ｘ－１／２の放物線：ｙ^2＝√2 （ｘ－１/√2）を反時計回りに45度回転させたものになっています。

この回答へのお礼

参考情報どうもありがとうございます。
知らなかったので参考になりました！

lick6さんの方法
　
と
　
endlessriverさんのヒントを参考に
公式　∫√（x^2+A)dx=1/2{x√(ｘ^2+A)+Alog|x+√(x^2+A)|}
を使ってやってみた方法

で答えが違って、
自分でおかしなことをやっていないか探しているところです。

お礼日時：2007/01/16 02:05

No.3 回答者： lick6 回答日時： 2007/01/15 19:43

計算あっているか自信ないのですが、ごり押しで

2∫√(2u^2 - 2u + 1)du
∫√(8u^2 - 8u + 4)du
√2 * ∫√({(2u - 1)^2 + 1}du
2u - 1 = tanθ　とおくと、係数などは省略しますが
∫1/cos^3θdθ　となるはずです。
∫cosθ/cos^4θdθ
∫cosθ/(1 - sin^2θ)^2dθ
sinθ = t とおくと
∫1/(1 - t^2)^2 dt
1/(1 - t^2)^2 = 1/4 * {1/(1+t) + 1/(1+t)^2 + 1/(1-t) + 1/(1-t)^2}　になると思うのであとは 1+t=s とでも置けばいけると思うのですが・・・自分の計算が間違ってるか余計な回り道している気がします。

この回答へのお礼

三角関数の相互関係を使った置換積分ですね。
確かに出来そうな感じがします。
もう少し考えてみようと思います。
ありがとうございました。

お礼日時：2007/01/15 21:35

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2007/01/15 19:14

∫√{(u-a)^2+b^2}du のような形にします

この回答へのお礼

ありがとうございます。

2∫√{2(u-1/2)^2+1/2}du

ここでu-1/2=t とおいて du=dx
uが0→1 のとき、tは -1/2→1/2

=2∫√(2t^2+1/2)dt=2∫√{2(t^2+1/4)}dt
=2√2∫√(t^2+1/4)dt

ここで

公式　∫√（x^2+A)dx=1/2{x√(ｘ^2+A)+Alog|x+√(x^2+A)|}
　
を使うと答えは出たのですが
いいのでしょうか。

お礼日時：2007/01/15 21:23

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2007/01/15 03:53

√x=u

とすれば公式が使えると思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
まだ最後まで出来ないのですが、少しやってみると…

√x=u　とすると、
xが0→1のとき、uも0→1
dx=2udu
よって
∫√{1+(dy/dx)^2}dx=∫√〔1+{(√x-1)/√x}^2〕dx
=∫√〔1+{(u-1)/u}^2〕・2udu
=2∫√(2u^2-2u+1)du

となりましたが、この後はどうすればいいのでしょうか？
どうか教えてください。

お礼日時：2007/01/15 12:19