ラグランジュの方法について教えてください。文系ですので、よくわからないです。「ラングラジュの方法により問題を定式化し・・」 今とこうとしている万台が問題がこんな感じです。
ラングラジュってなんなのかよくわからないです。ネットで調べましたが詳しいことは乗っていませんでした。参考書もありませんのでどなだか教えてくださいませ!!

A 回答 (3件)

まず Lagrange というのは人の名前です(いろいろなところに出てきます)。


そして、ラグランジュの方法というのは文型の方には
聞きなれない言葉が並んでいると思いますが、

 2変数x,yに関する線形偏微分方程式
  P×(∂z/∂x)+Q×(∂z/∂y)=R
  (ここで、P,Q,Rは x,y,z の関数)
 を(z=...という形になるように)解く方法

のことです。専門分野でないのでうまく説明することが出来ません。
常微分方程式の教科書等に載っているのではないでしょうか?
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この回答へのお礼

質問が不明瞭で失礼しました。金融関係の質問でした。
もう一回質問いたします。

お礼日時:2001/01/12 00:14

「まあ、まあ、とにかく問題を見せてごらんなさい」って、沢山の回答者が手ぐすね引いるようですね。


●流体力学の話?
●λとか書いてあります?陰関数の微分法(未定乗数法)の話だったりして。
●ひょっとして力学の問題ですか?運動量がどうした、とか書いてあります?
∂L/∂q[j] - (d/dt)(∂L/∂q'[j]) = 0 (j=1,2,....,s)
Euler-Lagrangeの運動方程式ですけど。これ?
●よもやLagrange補間法てことはないかな。
Lagrangeは18世紀の後半を代表するぐらいの大数学者ですね。
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この回答へのお礼

質問が不明瞭で失礼しました。金融関係の質問でした。
もう一回質問いたします。

お礼日時:2001/01/12 00:13

ラグランジェを教えてくれと言われましても・・・。


ココで教えるにはせますぎる?
無理っぽいですね。
せめて、問題を示してくれれば。
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この回答へのお礼

質問が不明瞭で失礼しました。金融関係の質問でした。
もう一回質問いたします。

お礼日時:2001/01/12 00:14

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dy/dt = 3cost(sint)~2

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({}はルートの中です。)

となると思います。
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S=∫[0から2π]√{9((sint)^2)((cost)^2)}dt
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どなたか御指南お願いします。

Aベストアンサー

#1です。

■答えが正しいとすれば
A#1に書いたように問題が間違いで
「領域D=X^2+4Y^2=4の時」と修正すれば、
(x,y)=(-√2,-1/√2),λ=-(√2)/4のとき
 最小値=-2√2≒-2.828427124746191
(x,y)=(√2,1/√2),λ=(√2)/4のとき
 最大値=2√2≒2.828427124746191
と答えとそのときのλが得られます。

参考までに、この元になったラグランジュの未定係数法(乗数法)から
導出された連立方程式は
 X^2+4Y^2-4=0
1-2λx=0
2-16λy^3=0
です。

■問題が正しいとすれば
お書きの答えが間違いで
(x,y)=(-1.661436330718165,-0.74611872146119),λ≒-0.300944386149のとき
 最小値≒-3.153673773640545

(x,y)=(1.661436330718165,0.74611872146119),λ≒0.300944386149のとき
 最大値≒3.153673773640545
とそのときのλが得られます。
(数値の正確式は3乗根を含む多重根号の長い複雑な式として得られますがここでは省略。)

参考までに、この元になったラグランジュの未定係数法(乗数法)から
導出された連立方程式は
 X^2+4Y^4-4=0
1-2λx=0
2-16λy^3=0
です。

参考)
http://szksrv.isc.chubu.ac.jp/lagrange/l1.html

#1です。

■答えが正しいとすれば
A#1に書いたように問題が間違いで
「領域D=X^2+4Y^2=4の時」と修正すれば、
(x,y)=(-√2,-1/√2),λ=-(√2)/4のとき
 最小値=-2√2≒-2.828427124746191
(x,y)=(√2,1/√2),λ=(√2)/4のとき
 最大値=2√2≒2.828427124746191
と答えとそのときのλが得られます。

参考までに、この元になったラグランジュの未定係数法(乗数法)から
導出された連立方程式は
 X^2+4Y^2-4=0
1-2λx=0
2-16λy^3=0
です。

■問題が正しいとすれば
お書きの答えが間違いで
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Qラグランジュの乗数法の問題なんですが…

「φ(x, y, z) = 2x^2 + y^2 + z^2 - 3 = 0 の下で、f(x, y, z) = xyz の最大値、最小値を求めよ」という問題なんですが、途中からわからなくなってしまって…。

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(x0,y0,z0)で極値を取るとすると、S'上でgradφ(4x,2y,2z)≠0、
ラグランジュ乗数法より∃λ0 s.t. gradf(x0, y0, z0) = λ0gradφ(x0, y0, z0)、
すなわち(y0z0, x0z0, x0y0) = λ0(4x0, 2y0, 2z0)

ここまで色々参考にやってみたのですが、あってるのかもわからずこれからどうすればいいのかもわからなくなってしまいましたorz

解法、もしくはヒントなどよろしくお願いします。

Aベストアンサー

普通のラグランジュの未定乗数法やり方だと

F(x,y,z,t)=xyz-λ(2x^2+y^2+z^2-3)
と置いて

x,y,z,λに着いての連立方程式

∂F/∂x=yz-4λx=0
∂F/∂y=xz-2λy=0
∂F/∂z=xy-2λz=0
2x^2+y^2+z^2-3=0

を解いて停留点とλの組(x,y,z,λ)を求め、それらにおける f(x,y,z)=xyzの 値から
極大値、極小値、鞍点を求め、それらの中から最大値、最小値を求めます。

上の連立方程式を解いて「停留点とλ」の組を求めると
(x,y,z,λ)=
(±√(3/2),0,0,0),(0,±√3,0,0),(0,0,±√3,0),
(-1/√2,-1,-1,-√2/4),(1/√2,-1,-1,√2/4),
(-1/√2,1,1,-√2/4),(1/√2,1,1,√2/4),
(1/√2,-1,1,-√2/4),(-1/√2,-1,1,√2/4),
(1/√2,1,-1,-√2/4),(-1/√2,1,-1,√2/4)

各停留点での極大点・極小点・蔵点の判別
(x,y,z,λ)=(±√(3/2),0,0,0)のとき f(x,y,z)=xyz=0
(x,y,z,λ)=(0,±√3,0,0)のとき f(x,y,z)=xyz=0
(x,y,z,λ)=(0,0,±√3,0)のとき f(x,y,z)=xyz=0
(x,y,z,λ)=(-1/√2,-1,-1,-√2/4)のとき f(x,y,z)=xyz=-1/√2
(x,y,z,λ)=(1/√2,-1,-1,√2/4)のとき f(x,y,z)=xyz=1/√2
(x,y,z,λ)=(-1/√2,1,1,-√2/4)のとき f(x,y,z)=xyz=-1/√2
(x,y,z,λ)=(1/√2,1,1,√2/4)のとき f(x,y,z)=xyz=1/√2
(x,y,z,λ)=(1/√2,-1,1,-√2/4)のとき f(x,y,z)=xyz=-1/√2
(x,y,z,λ)=(-1/√2,-1,1,√2/4)のとき f(x,y,z)=xyz=1/√2
(x,y,z,λ)=(1/√2,1,-1,-√2/4)のとき f(x,y,z)=xyz=-1/√2
(x,y,z,λ)=(-1/√2,1,-1,√2/4)のとき f(x,y,z)=xyz=1/√2

φ(x,y,z)= 2x^2 +y^2 +z^2 -3 = 0 より x^2≦3/2,y^2≦3,z≦3であるから
求めたf(x,y,z)の値の最大のものが最大の極大値、つまり最大値、
最小のものが最小の極小値、つまり最小値といえる。

したがって、
最大値は
f(1/√2,-1,-1)=f(1/√2,1,1)=f(-1/√2,-1,1)=f(-1/√2,1,-1)=1/√2
また、最小値は
f(-1/√2,-1,-1)=f(-1/√2,1,1)=f(1/√2,-1,1)=f(1/√2,1,-1)=-1/√2
と求まります。

参考URL:http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~shinichi/K111.pdf

普通のラグランジュの未定乗数法やり方だと

F(x,y,z,t)=xyz-λ(2x^2+y^2+z^2-3)
と置いて

x,y,z,λに着いての連立方程式

∂F/∂x=yz-4λx=0
∂F/∂y=xz-2λy=0
∂F/∂z=xy-2λz=0
2x^2+y^2+z^2-3=0

を解いて停留点とλの組(x,y,z,λ)を求め、それらにおける f(x,y,z)=xyzの 値から
極大値、極小値、鞍点を求め、それらの中から最大値、最小値を求めます。

上の連立方程式を解いて「停留点とλ」の組を求めると
(x,y,z,λ)=
(±√(3/2),0,0,0),(0,±√3,0,0),(0,0,±√3,0),
(-1/√2,-1,-1,-√2/4),(1/√2,-1,-1,√2/4),
(-1/√2,1,1,-...続きを読む


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