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写像、単射、全射についての質問です。
これらのイメージがいまいちつかめません。
定義とか証明とかいったことが知りたいのでなく、
具体的な問題を解くための理解を得たいと思っています。
具体的な問題を挙げてみると、いまA={a,b,c,}とすると
AからAへの写像の数は27になるそうですが、
これはaについて3通りあって、bについても3通りあって、cについても3通りあるから
3×3×3=27という考え方であっているでしょうか?
次に、AからAへの単射の数、全射の数はそれぞれ6通りあるそうですが、
これはどういう考え方なのでしょうか?おそらく3!という計算だと思うのですが、
なぜそのような計算をするかがわかりません。
単射については、行き先の値がダブってはいけないということなのでしょうか?
拙い日本語で申し訳ないのですが、
補足等必要ならいたしますのでどなたか詳しい方は教えてください。よろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>A={a,b,c,}とすると
>AからAへの写像の数は27になるそうですが、
>これはaについて3通りあって、bについても3通りあって、cについても3通りあるから
>3×3×3=27という考え方であっているでしょうか?
その通りです、これは問題ありません。
>AからAへの単射の数、全射の数はそれぞれ6通りあるそうですが、
>これはどういう考え方なのでしょうか?おそらく3!という計算だと思うのですが、
>なぜそのような計算をするかがわかりません。
>単射については、行き先の値がダブってはいけないということなのでしょうか
単射についてはおっしゃる通りです、どの元の像も異なるということです。
全射というのは、集合Aのどんな要素にも移り得る元が存在するということです。
例えば「写像f:A→B」というのがあるとします。
単射というのは、どのAの要素をfで移しても、必ずB上の違った要素に移るということです。
全射というのは、集合Bの好きな要素をとってくると、それに移るようなAの要素が必ず1つ以上あるということです。
ですから、f:A→B として、A={a,b,c},B={a,b,c,d}とすると、
AからBに移る単射は存在しますが、全射は存在しません。
逆にA={a,b,c,d},B={a,b,c}とすると、
単射は存在しますが、全射は存在します。
丁寧なご回答ありがとうございます。
しかし、全射についてがまだ理解できません・・・。
と思ってもう一度考え直したら理解できました!
勘違いしていました。たとえばBの方のaがaに対応してる場合にBのbがaに対応しているという場合は起こりえないんですよね?
そこを勘違いしていました。
あと、お書きくださった最後の文章の
>単射は存在しますが、全射は存在します。
は
→単射は存在しませんが、全射は存在します
ですよね。
ありがとうございました!
No.4
- 回答日時:
下のグラフを書いてみるとイメージが得られる
とおもいます.
単射 非単射
全射 y=x y=tan(x)
非全射 y=e^x y=x^2
なるほど。グラフで考えるわけですね。
しかしy=xとy=e^xがそうなるのはわかるのですがあとの2つがいまいちわかりません・・・。
自分で考えてみます。ありがとうございました。
No.3
- 回答日時:
No.1で回答した者です。
先ほどご指摘頂いた
「あと、お書きくださった最後の文章の
>単射は存在しますが、全射は存在します。
は
→単射は存在しませんが、全射は存在します
ですよね。」
についてはまったくその通りです、申し訳ない。
理解して頂けたならありがたいです。
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