直積集合の元は必ず集合となる?

Question

度々すいません。また数学基礎論での質問です。 a,bを集合として:={{a},{a,b}}と定義し、順序対と呼ぶ。そして、 A×B:={;(a∈A)∧(b∈B)}と定義し、A×Bを直積集合と呼ぶ。と記載されているのですが、これだとAやBは集合系(集合が元であるような集合)でa,bは集合ですよね。 (A×Bの元は2^(2^(A∪B))の元?) でも通常、数学基礎論以外の教科書(微分積分や線形代数)ではA×Bの元は集合でない場合で定義されてますよね。 A×B:={;(a∈A)∧(b∈B)}が直積集合の定義で微分積分や線形代数での直積集合の定義も含んでいるのなら、元は集合にも成りうるのでしょうか? 具体的には a,bを集合として:={{a},{a,b}}と定義し、A×B:={;(a∈A)∧(b∈B)}と定義するのなら実数体の直積集合R×Rの元(例えば(√2,1/2))は集合と言ってもいいのでしょうか?

ddtddtddt · Accepted Answer

そうだったんですか。失礼しました。でも、状況がだいぶわかってきました。最初にブルバキの集合論の構成とさわりをあげておきます。最近はブルバキも見つけにくいので。
　ブルバキ集合論の第１章は「形式的数学の記述」です。第２章が、いわゆる公理的「集合論」になります。
　第１章では、命題理論と述語理論と等号付理論が、形式体系として導入されます。第２章もそうですが、素朴な考えを一切排除するが、原則です。ただし、素朴な考えがなくても純形式的公理的議論で事は済む事を示してから、対応する素朴集合論などの概念で解釈・説明することは行われます。そうでないと、実際わけわかんないですから。
　そこでは対象式は、記号τで始まる記号列であるか、一つの文字だと定義されます。そうでない記号列は関係式です。以前ご紹介したHPのやり方と同じです（このHPは、かなりブルバキに準拠してると思います）。ただブルバキは、コテコテの古典論理なので、強すぎない消去規則や弱すぎない消去規則なんかは出てきませんし、自然推論にも翻訳されず、もっとストレートです。
　この段階で問題にしている対象とは、具体的に記述可能で、しかも必要ならば全て目の前に並べてみせられるであろう、有限個の記号列のことです。これをブルバキは、証明や公理不要な素朴な数学的対象と考えています。この中には、自然数全体の集合Ｎなどは含まれません。Ｎと書いたら、それはとにかくＮで表すことにした、一つの有限個の対象です。有限個だから、頑張れば必ず書いてみせれるというのが、その根拠です。
　で、素合ですが、素合は恐らくこのレベルだと思います。これが無限公理導入後に存在が証明される自然数全体を表すα（とてもとても長い関係式）を略記するものとして定義されたＮのことだったら、話は違います。この時には、Ｎには無限個の自然数が詰まっています。しかし素合は、無限公理とペアノの公理系導入以前のものですから、著者の意識は、さっき言ったレベルだと想像できます。もっとも、このような素朴な対象については、公理など立てずに（[素合の存在公理]）、さっき言った根拠から、あっさり認めてしまうのが普通だとは思いますが、でもそれによって、論旨が明確になると思うのは著者の自由ですし、確かにそういう意味での素合を認めなければ、公理的集合論も展開できないのは事実です。
　誤解していたので、#6では生意気な事を書きましたが、今ではそれが的外れだったと思っています。だから言っちゃいます。

(1)素朴集合論がなくても、純形式的・公理的に集合論はつくれる。
(2)でも、素朴集合論の概念で解釈しないと、訳わかんない。

ddtddtddt · Answer

ロジックは素直に読めました。まぁ～、自分にできるのは、これくらいです。なので今回は、感想を書きます。

(1)別に素合を導入してもかまわないのですが（それは自由です）、もし安全を求めるなら、お使いの本の定義や議論に乗っかって進むのが、一番安全に思えます（形式体系を解釈したくなる気持ちはわかります）。
(2)公理１は存在公理です。存在公理の導入は、けっこう危ない気がします。
(3)素合の意味は、素朴な数学的対象の集まりでしょうか？。この中には、自然数全体Ｎなんかも入っちゃうんでしょうか？。有限個の対象に限るならまだしも、Ｎなんかも入るなら、やっぱり非常に危ない気がします。気づかぬ内に、パラドクスを招き入れます。カントルの素朴集合論が、まさにそうでした（だから公理的集合論になった）。
(4)話が危なくなってきたので、自分の種本をゲロします。#5の「外延性公理」うんぬん以下の部分は、ブルバキ数学原論の集合論の2章の最初のあたりです。

　形式体系を解釈したくなる気持ちはわかります。ある本によると論理学者は、形式体系の中で議論を進めながら、裏では常に形式の意味と解釈を考えているそうです。そうしないと、研究が方向付けれないからです。でもこれは、「プロなればこそ可能」なのだと思えます。

ddtddtddt · Answer

＞「a,bを集合として:={{a},{a,b}}と定義し、順序対と呼ぶ」が重要だったのですね。またまた怠慢な読み方をしてました。ご質問の趣旨がやっとわかりました。＞厳密な議論をする場合「a,bをそれぞれある集合の元として:={{a},{a,b}}と定義し、順序対と呼ぶ」だと、何かまずい事態になるのか？　まず:={{a},{a,b}}のa，bを集合の元とするのか、集合とする方が安全なのか？ですが、言い方は不適切かもしれませんが、それはその本の著者の趣味だと思います。つまり、その本の議論の進め方によると思います。　例えばその本が、全てを集合の世界に帰着させようという態度で書かれているならば、#1さんの言うように、使用可能な対象は結局全て集合になるので、a，bを集合としてを定義するやり方が、最も一般的で（効率良くて）安全な定義になります。これが、#2さんの、＞公理的集合論では、全ての数学的対象は集合と考えます。だから直積集合のaもbも集合と言っているに過ぎません。の意味だと思います。自分も少し公理論的集合論をかじっていますが、a，bが集合であるかどうかに関わらず、定義する方法もあります。それは「外延性公理」と「分出と合併のシェマ」と「要素が2個の集合の存在公理」を認める事により、とにかくa，bが対象であれば、は集合になる事が保証され、ラッセルのパラドクスなどは出なくなります。この方向なら、怠慢な読み方もお墨付きです。＞えー!!、R×R∋(√2,1/2)の√2や1/2は集合だったの!? 　もっともな感覚だと思います。x-y平面の点が集合だとは思えませんよね。ただ集合論的方向で順序対を定義しようとすると、その集合論的な意味と、集合論全般に通じるある種の即物性から、{{x}，{x，y}}の事だと解釈され、定義されるだけです。何故これでみんな納得するかというと、(x，y)と{{x}，{x，y}}との順序対としての機能が同等だからです。

ddtddtddt · Answer

　普段はここまで注意して数学書を読んでいないので、この疑問は新鮮でした。

　まず#1さん，#2さんの仰っていることは全く正しいのですが、次のような怠慢な読み方も可能ではあります。

　　Ａ×Ｂは集合の集合である。しかしＡやＢの要素は、集合でもそうでなくても、どちらでも良い。

　恐らくですがYYoshikawaさんは、<a,b>={{a},{a,b}}を見たとき、
　　Ａ＝{{a}，{a'}，・・・}，Ｂ＝{{b}，{b'}，・・・}
でなければならない、というようなイメージが浮かんだのではないかと想像しました。そうではありません。
　　Ａ＝{a，a'，・・・}，Ｂ＝{b，b'，・・・}
でも<a,b>の作成（ここが重要です）は可能です。要は、Ａからa，Ｂからbを選んだ時に、a，bの順序で順序対<a,b>∈Ａ×Ｂが決まれば良いだけだというのが、<a,b>={{a},{a,b}}の趣旨です。実際a∈Ａとb∈Ｂを指定した時点で、この定義によりa，bはa，bの順序に並びます。同語反復っぽくてわかりにくいですが、集合論にはprojection（射影）と呼ばれる、これとは反対の操作があります。それを関数pr_Aとかで表し、
　　pr_A(<a,b>)＝a
となります。要は、集合の集合<a,b>から、それの材料aを取得するという関数です。圏論ではprojectionの逆の操作を表す関数をまさに用意し、その関数が<a,b>={{a},{a,b}}のかわりになっていた気がします。関数なので、その定義域ＡやＢの要素、aやbは「集合であろうがなかろうが、知った事か！」です。
　余談ですが、
＞aを要素した時,どうやってこれを集合にさせれるのか？
については、
　　aと{a}（← 同じじゃん！）
というのが、私のいい加減な感覚です（もちろん厳密には違います）。

Tacosan · Answer

集合を要素とする集合を許してくれないと, ベキ集合が作れないんですけど....

ONB · Answer

公理的集合論では、全ての数学的対象は集合と考えます。だから直積集合のaもbも集合と言っているに過ぎません。なので、

>元は集合にも成りうるのでしょうか?

の答えとしては、公理的集合論の立場ではなんらかの集合の元は例外なく集合です。
集合を元とする集合、というと特別なもののように思えますが、どんな集合も、集合を元とする集合です。

このような見地から、

>実数体の直積集合R×Rの元(例えば(√2,1/2))は集合と言ってもいいのでしょうか?

に関しては、まったくそのとおりです。√2 や 1/2 も集合です。
ただ、普通の数学をやる上では、普段はこのようなものは集合とは思っていませんが、公理的集合論まで戻れば、定義する際になんらかの集合として定義されます。

全ての質問に答えてはいませんし部分的な答えになりますが、基礎論に不案内なのでこのくらいにしておきます。

koko_u · Answer

我々はこれまで集合A, B から作成される「対」(a, b) a ∈ A b ∈ B や、部分集合の集合 { U | U ⊆ A }などを安易に考えてきた。(19世紀くらいまで)

しかし、そんなにポンポン集合の集合やらを無尽蔵に考えだすと途端に矛盾にぶつかることが発覚。(カントールのパラドックス！)

その反省として、注意深く「集合とは何ぞ？」を追及したのが数学基礎論というか公理的集合論。

そこでは始めは空集合から始まって、少数の公理をもって世界を再構築しようという禅問答のような論理が展開しているのです。

しかし、結局の所これまで考えてきた「対の集り」としての直積集合などは問題なく理論展開可能だとわかったので、数学基礎論以外の分野では面倒なので「対」の定義にまで遡ることなく、実数は云々の理論を展開しています。

選択公理などは知らない内に前提として使われたりするので代数学などでもたまにお目にかかります。

直積集合の元は必ず集合となる?

そうだったんですか。

ロジックは素直に読めました。

この回答への補足

＞「a,bを集合として<a,b>:={{a},{a,b}}と定義し、順序対と呼ぶ」

普段はここまで注意して数学書を読んでいないので、この疑問は新鮮でした。

集合を要素とする集合を許してくれないと, ベキ集合が作れないんですけど....

公理的集合論では、全ての数学的対象は集合と考えます。

我々はこれまで集合A, B から作成される「対」(a, b) a ∈ A b ∈ B や、部分集合の集合 { U | U ⊆ A }などを安易に考えてきた。

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　そうだったんですか。

　ロジックは素直に読めました。

　普段はここまで注意して数学書を読んでいないので、この疑問は新鮮でした。