もう１人が男である確率

ある雑誌のこの設問で意見が対立しています。

「あるタレントに隠し子が２人いることが発覚！
１人は女の子。もう１人は男女どちらの確率が高いか？」
A.男　
B.女　
C.確立は半々

答えはもちろん「C」と思いきや、なんと「A」だというのです。
その理由は「すでに２人いる子供の男女の組み合わせ」は１.女・女　２.女・男　３.男・女　４.男・男
となりすでに１人は女なので可能性があるのは
１.女・女　２.女・男　３.男・女　の組み合わせになる。つまりもう１人が男である確立が３分の２だから、正解はA。

最初はこの答えに納得できなかったのですが、しばらく考えて確かにそうだと思いました。
でもあくまで違う、確率は５０％と主張する方がいてそれに反論もできずにいます。

果たして真実はどちらなのでしょうか？
納得できる理由も書いてもらえるとありがたいです。

No.9 回答者： y_akkie 回答日時： 2007/03/09 09:00

#5です。

愚かながらもただ今、#8さんが指摘しているような内容に気付き、戻って参りました。

この場合は、上の子、下の子の性別の組み合わせを表に纏めると、

　　上の子　下の子
(1)　　M　　　　M
(2)　　M　　　　F
(3)　　F　　　　M
(4)　　F　　　　F
（M：男性　F：女性）

ここで、少なくとも一方が女であると分かった時点で、(1)の可能性は消え、この時点で全体の組み合わせは(2)(3)(4)の３通りになります。そして、他方が男になる組み合わせは(2)(3)の２通りになるので、やはり２／３になりますね…。

ちなみにサイコロの例に関しても、同様の考え方で確率を求める事ができます。２回サイコロを振ってそのうち１回は１の目が出たという報告を聞いたとき、他方が３である確率については、

ここで、一回目に出た目をｋ、二回目に出た目をｌとすると、
全体の出た目の組み合わせは（k,l) (k=1,2,3,4,5,6 l =1,2,3,4,5,6)の３６通りになります。そして、報告を聞いた時点で、可能性は絞られ、
(k,l)(k=1,l=1,2,3,4,5,6 または l=1 ,k=1,2,3,4,5,6)の１１通りになります。そして、この条件下で他方の目が３である組み合わせは(k,l)=(1,3),(3,1)の２通りになりますので、その時の条件付確率は2/11になるんでしょうかね…。補足として条件付確率は、(制約下で条件を満たす組み合わせ)／(制約下での全体の組み合わせ)によって計算されます。よって雑誌の解説は正しい事になります。

「そのうち一人は女」を特定付けてしまった箇所によって、今回のようなミスに至ってしまいました。誠に申し訳ありませんm(__)m
後、#8さんの分かりやすい解説には、大変感謝しております。

この回答へのお礼

再度の回答ありがとうございます。

お礼日時：2007/03/10 16:44

No.8 回答者： fool_ish 回答日時： 2007/03/09 05:25

議論をすべきではないのだろうが，

質問者が無用に混乱することを避けるため，あらかじめ#5氏と#6氏の誤りを正しておく．


1. 「雑誌の問題」の定式化とその解答
まず，雑誌の問題を数学的に正しく定式化し，解答を行う．

問題：
2人の子供がいる．いま，
事象A：少なくとも1人は女である
が分かっている．この条件のもとで，
事象B：2人の子供が男女1人ずつである
の条件付確率Pr(B|A)を求めよ．
解答：
Pr(A) = 3/4,
Pr(B∩A) = Pr(B) = 1/2（∵A⊇B）
であるから，条件付確率の定義どおり
Pr(B|A) = Pr(B∩A)/Pr(A) = (1/2)/(3/4) = 2/3．

定式化と解答は，以上のようになる．なお，原文はクイズ形式であるから，
「条件付確率を求めよとは書いていない！」とゴネることも可能ではあるが，
ここではクイズ的な意図を汲んだ問題文の読み方をした．


2. 誤答の分類とその原因
ここまでの回答から，誤答の原因は以下の2つに大別できる．

2-1. 定式化の誤りによる誤答
まず，ありがちな誤りとして，うまく定式化していないことによる誤りがある．
この形式の誤答の一例として，#6氏の回答を挙げる．

> 例えば、１人女の子が生まれて、２人目を身ごもったとします。
> この時に２人目の性別がどちらになるか考えるのと、
> 質問文の問題を考えるのとは同じだということに注意してください。

とあるが，雑誌の問題とこの問題とは等価でない．この問題の定式化と解答は以下のようになる．

#6氏の問題：
2人の子供がいる．いま，
事象C：年長者は女である
が分かっている．この条件のもとで，
事象B：2人の子供が男女1人ずつである
の条件付確率Pr(B|C)を求めよ．
#6氏の問題への解答：
Pr(B∩C) = Pr(年少者が男かつC) = 1/4,
Pr(C) = 1/2だから，Pr(B|C) = (1/4)/(1/2) = 1/2．

2つの定式化の違いから分かるように，前提とすべき条件が異なっている．したがって，
Pr(B∩C) = 2*Pr(notB∩C)　（notB：Bでない事象）
と間違った仮定をして矛盾が生じるのは当然である．
しかし，雑誌の解答は
Pr(B∩A) = 2*Pr(notB∩A)
であり，こちらは矛盾を生じない．

同様の誤りが，#5氏の回答の前半にも見られる．
> サイコロを２回振って１回目に出た目が１である時、２回目に出た目が３である確率は、
> １回目に出た目が何であろうと、２回目にサイコロを振っても目の出方は変わらないので、もちろん1／６です。
これは確かに正しいが，雑誌の問題で問われているのは，例えるならば
「サイコロを2回振った．そのうち少なくとも1回は1の目が出たと分かっているとき，
もう一方の目が3である確率を求めよ．」
のような形式の問題である．こちらの確率は1/6でない．

2-2. 場合分けと確率の混同による誤答
#5氏のもうひとつの誤りは，
> よって、この条件下では、(女、男）、（女、女）の２つのケースのうちの
> (女、男）の１つしかないので、確率は１／２としか考えられません。
にある．この主張
「残る1人が男であるか女であるかの2通りであり，
ゆえに確率はそれぞれ1/2である．」
は，前半は正しいが，後半は正しくない．これは
「1枚の宝くじがある．これは当たるか外れるかの2通りであり，
ゆえに当たる確率は1/2である．」
と同様の誤りであり，下で述べたように#3氏と同様の誤りである．
場合分けをしたとき，必ずしも等確率であるとは限らない．
正しくは，男女1人ずつの確率は1/2，女2人の確率は1/4であるから，条件付確率の定義から
(1/2)/(1/2 + 1/4) = (1/2)/(3/4) = 2/3
である．


3. 留意すべき点
繰り返しになるが，問題文にあるように，
また，回答#1への補足で質問者自身が書いているように，
条件は「少なくとも一方は女」である．このことにくれぐれも注意されたい．

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2007/03/10 16:43

No.7 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/03/09 04:03

smith84様

この問題　最近どこかでみましたよ。
雑誌の解答がA.男で　回答が　”どのようにして（１人は女の子）と判明したのか”
なんらかの条件が抜けているのではないか。
でピリオド。

私は最初、雑誌の解答と同じで　１：２で　A.男　と思いました。
しかるに、再思考していると、何か変だと思い始め、いろいろ条件を変えているうちに、わけが分からなくなり、この問題から離れました。

せっかく、忘れかけていたのに！

この回答へのお礼

時間的な問題によりこちらの回答のお礼を優先させていただきます。
雑誌には「１人は女の子であることがわかった」としかかいていません。
この意味の取り方によって回答はかわってきますのでこの質問の仕方自体多少の問題があると思います。
前提を詳しく述べれば「知りえた情報はとにかく２人のうちのどちらかはわからないが『１人は女の子』である」ということです。

お礼日時：2007/03/09 09:11

No.6 回答者： Segenswind 回答日時： 2007/03/09 03:24

暗黙の前提となっていますが、とりあえず、

イ．男女の出生比は五分五分、
ロ．男女どのような組み合わせでも、どちらが先にバレるかは五分五分
であることを確認します。

結論からいうと、答えはＣです。
雑誌の解説は間違っています。
というのも、
１.女・女　２.女・男　３.男・女　４.男・男
が同確率だという主張がそもそも、「一方の子供の性別は、他方の性別に関わりなく男女五分五分」という前提のもとに成り立っているからです。
つまり上記の分け方は、知る順番を考慮に入れた分け方で、１人が女だった場合に可能性があるのは、
１.女・女　２.女・男　の組み合わせしかないということになります。

例えば、１人女の子が生まれて、２人目を身ごもったとします。
この時に２人目の性別がどちらになるか考えるのと、質問文の問題を考えるのとは同じだということに注意してください。
さて、もし雑誌の解説が正しいのなら、２人目が男の子になる確率が２倍にならなければなりません。
そして、もし先に男の子が生まれた場合も考慮に入れますと、確率の比は、
女女：女男：男女：男男　＝　１：２：２：１
となるはずです。
しかしながら、こうしてしまうと、「すでに２人いる子供の男女の組み合わせ」の確率と合わなくなり、矛盾が生じてしまいます。

したがって、Ａは正しくありません。

雑誌解説の矛盾は、「男女１人ずつ」となる確率を1/2としながら、
「そのとき先にバレる（生まれる）のが女となる場合」の確率1/2をかけていない
（つまり先にバレるのを女の子と、勝手に決め付けてしまっている）ことに起因します。
正しくは、
　（女女の確率）：（男女１人ずつの確率）×（その時女の子が先に知られる確率）
＝1/4：（1/2）×（1/2）＝1/4：1/4＝１：１
となり、Ｃ.確率は半々　が正解となります。

この回答へのお礼

半々ですか。
回答ありがとうございます。

お礼日時：2007/03/10 16:42

No.5 回答者： y_akkie 回答日時： 2007/03/09 02:50

例えば、サイコロを２回振って１回目に出た目が１である時、２回目に出た目が３である確率は、１回目に出た目が何であろうと、２回目にサイコロを振っても目の出方は変わらないので、もちろん1／６です。

本題についても、同様の考え方ができると思います。

今度は、隠し子のうち１人が女である場合、もう一人が男である確率は、隠し子が男であろうが女であろうがその可能性には何ら影響を及ぼさないので、当然１／２になり、正解はCです。（ただし、男女の出生確率は五分五分という前提での話です）

＞１.女・女　２.女・男　３.男・女　の組み合わせになる
数え上げの方法が間違っています。

隠し子のうち、性別が判明した方をA,性別が判明していない方をBとおくと、
起こりうる可能性は、(A,B) =(女,男),(女、女)の２通りしかありません。この場合は、一方の隠し子の性別が判明したときの条件付き確率であって、雑誌側では事前・事後をごっちゃにして数え上げているように伺えます。よって、この条件下では、(女、男）、（女、女）の２つのケースのうちの(女、男）の１つしかないので、確率は１／２としか考えられません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2007/03/10 16:41

No.4 回答者： fool_ish 回答日時： 2007/03/09 02:47

これは「条件付確率」とよばれる確率の問題．

説明は，検索すればいくらでも出てくるため避けるが，
「1人の子供の性別が男である確率（クイズだから1/2なのであろう）」と，問題で問われている
「あらかじめ子供を2人選んでおき，そのうちの1人が女であると分かった上でもう1人が男である確率」とは違う，ということを納得する必要がある．
このことを理解するために，たとえば，以下のような例を考える．

1枚だけジョーカーを含む3枚のカードを，裏向きにして横1列にならべる．
このとき，左端のカードがジョーカーである確率は，もちろん1/3である．
しかし，「右端のカードをめくったらジョーカーではなかった」という情報を知れば，左端がジョーカーである確率は1/3ではなくなる．
直感的にも明らかなように，これは1/2である．

「裏向きに並べたときに左端がジョーカーである確率」を，
「ある子供が男である確率」に，
「右がジョーカーでないと分かった上で，左がジョーカーである確率」を，
「2人の子供のうち1人が女であると分かった上で，もう1人が男である確率」に対応させれば，
問題の確率を単純に1/2などとしてはいけないことが分かるだろう．

雑誌の解答でもよいが，条件付確率の定義からは，
2人の子供のうち少なくとも一方が女である確率3/4と，
2人の子供のうち少なくとも一方が女かつもう一方が男である確率1/2から，
2人の子供のうち一方が女であると分かったもとで，もう一方が男である条件付確率は，
(1/2)/(3/4) = 2/3
である．したがってAが正解である．
この計算は，ご自分で条件付確率の定義を検索して納得されたい．


ちなみに#3氏の回答は，#3氏が分けた4つの場合の確率がそれぞれ等しい，とした点が誤りである．
雑誌の解答の場合分けではそれぞれ確率が等しいが，#3氏の場合分けでは等しくない．

この回答へのお礼

条件付確率ですか。
回答ありがとうございます。

お礼日時：2007/03/10 16:41

No.3 回答者： gun-dam 回答日時： 2007/03/09 01:13

すでに判明している女の子を「女Ａ」(先に生まれたかどうかは不明)とすると、

「２人いる子供のうち片方が女だと判明している場合の男女組み合わせ」は

1.女Ａ・女
2.女・女Ａ
3.女Ａ・男
4.男・女Ａ
(書いた順番は生まれた順)

上記の４通りで女Ａ以外の字は男：女＝1：1です。
よってC.確立は半々(ただし、統計上での実際の男女の出生比は考慮しない)



質問文にある文章で
１人は女の子。と判明しているのに４.男・男を想定すること自体が間違い。
問題文をよく読みましょう。

この回答へのお礼

４.男・男は想定していませんよ。これ以外の３パターンを想定しています。
それからこの部分の文章は雑誌の設問の解答欄にかいていた文です。

結論をいうとこの雑誌が間違っているということですね。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2007/03/09 02:07

No.2 回答者： kiwiwalk 回答日時： 2007/03/09 01:00

　回答じゃないんですが・・・

　組み合わせの２、女、男３、男、女って同じことですよね？
　違うというのであれば生まれた順番を考えた場合だと思うのですが、それだとすでにいる女が長女だとすれば３の組み合わせが消えて５０％になるような気もするのですがどうなんでしょうか？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2007/03/10 16:40

No.1 回答者： sat_o 回答日時： 2007/03/09 00:53

数学的な見地では雑誌が正解ですが、

科学的な見地では確率は五分五分だと思います。

この回答への補足

ポイントは「１人は女」の意味です。
この設問は特定の人（例えば年上の子が女）といっているのではなく、どちらかはわからないがとにかく１人は女という意味なんです。
これを前提に考えてもらえるとありがたいです。

補足日時：2007/03/09 01:05

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
できれば数学的な理由を教えてください。

お礼日時：2007/03/09 02:08