もう１人が男である確率

ある雑誌のこの設問で意見が対立しています。

「あるタレントに隠し子が２人いることが発覚！
１人は女の子。もう１人は男女どちらの確率が高いか？」
A.男　
B.女　
C.確立は半々

答えはもちろん「C」と思いきや、なんと「A」だというのです。
その理由は「すでに２人いる子供の男女の組み合わせ」は１.女・女　２.女・男　３.男・女　４.男・男
となりすでに１人は女なので可能性があるのは
１.女・女　２.女・男　３.男・女　の組み合わせになる。つまりもう１人が男である確立が３分の２だから、正解はA。

最初はこの答えに納得できなかったのですが、しばらく考えて確かにそうだと思いました。
でもあくまで違う、確率は５０％と主張する方がいてそれに反論もできずにいます。

果たして真実はどちらなのでしょうか？
納得できる理由も書いてもらえるとありがたいです。

No.39 回答者： nidonen 回答日時： 2007/03/10 20:13

> 正確な問題文は「あるタレントに隠し子が発覚！１人は女の子とバレました。

もう１人は男女どちらの確率が高い？」

　この問題文が提示されたことで、答えは １/２ しかあり得ないことがハッキリしました。
「 １人は女の子とバレました、“もう１人は” 」と明示されているからです。これにより、
問題の対象は「 性別のバレていないほうの１人 」であることは明らかです。

　よって、性別のバレたほうが姉であるケースと、バレたほうが妹であるケースを、
それぞれ別々にカウントしなければなりません。よって答えは 兄・弟・姉・妹 の
うちのどれかなのだから、男：女＝１：１ となります。

　２/３ 説の方々の答えを満足させるには、問題文を以下のように書き換える必要が
あります。

　「１人は女の子とバレました。さて、２人のうち１人は男女どちらの確率が高い？」
前述の回答でも示しましたが、これは男女ペアの確率が ２/３ であることを証明する
のに等しいので、男：女 は ２：１ になります。

> #29氏は，他の回答者と同じく，
> 「特定の1人が女である」の条件のもとで考えてしまっているにすぎない

　この質問文は、あきらかにその条件を含んでいます。結局は日本語の理解の問題な
わけですが、「 １人は女の子とバレた 」という前提の時点で、「 性別がバレた側の
女 」を特定しているわけです。この「女」を「 性別がバレていない側の女 」と区別
しなければならないのは、当然のことです。

この回答へのお礼

う～ん、またわからなくなってきました。
つまり「問題が悪い！」ということですか？
問題が多少悪かろうがどうであろうが、３分の２と回答がでているわけです。
知りたいのはこの回答が正しいか正しくないか？
正しいとしたらその理由は？
ということなのです。
このままだと数学の問題なのに日本語の表現の問題を避けて通れないようですね。
であればそれをとことん論じるのもいいと思います。
何よりこのままではすっきりしません。

私は「１人は女の子とばれた」時点でどちらかを特定しているとは受け取りません。二人を年上・年下で表現するとどちらが女とこの時点ではわからないわけです。

それからこれは別カテゴリーのnidonenさんの回答でちょっと触れ間違いと指摘されたのですが
バレたほうが姉の場合と妹の場合で考えてみると
姉→Ａ姉弟：Ｂ姉妹＝１：１→もう１人が男の確率２分の１
妹→Ｃ兄妹：Ｄ姉妹＝１：１→もう１人が男の確率２分の１
よって解答は２分の１であるという考えに対し、
私は姉の場合と妹の場合を総合して、ＢとＤは同じなのだから
Ａ姉弟：ＢまたはＤ姉妹：Ｃ兄妹＝１：１：１→もう１人が男の確率３分の２
と考えたのですがこれは間違っているのでしょうか？

お礼日時：2007/03/10 21:37

No.38 回答者： Quattro99 回答日時： 2007/03/10 18:22

知りたいことはこの設問の文章の意図することではないということでしたが、望む望まないにかかわらず、1/2なのか2/3なのかは問題の文章がどういう条件を意味しているのかということなので、やはり、そこを考えるしかないと思います。

また、そこを誤解されているのではないかと思います。
「男男ではないことがわかった」という意味だとお考えのようですが、そうであれば2/3です。
しかし、そう考えているようにおっしゃっていますが、#15のお礼欄で「最初に判明した女が」とおっしゃっています。その考え方だと1/2になります。どちらの子どもがわかったのかが判明していなくても1/2になります。「最初に判明した女」という特定の一人がわかったことになるのだと思います。

この回答への補足

休日を利用してまとめて回答を読みました。
４１件の回答を頂くなんてはじめてのことで大変感激です。
ありがとうございました。

改めて正式な質問文をのせておきます。

「あるタレントに隠し子が２人いることが発覚！１人は女の子とバレました。もう１人は男女どちらの確率が高い？」
雑誌SPA 3/6号 「投資脳」トレーニング p40 Q13

そして解説は
男女比はほぼ１対１なので、生まれてくる子供が男か女かは半々の確率になる。しかし見落としてはいけないのが「すでに２人いる子供の男女の組み合わせ」について聞かれている点。
これは１.女・女　２.女・男　３.男・女　４.男・男
の４パターン。すでに１人は女だとわかっているので可能性があるのは１.女・女　２.女・男　３.男・女　の組み合わせになる。つまりもう１人が男である確立が３分の２だから、正解はA。
「統計の知識は投資の役に立ちます。判断を誤らせる先入観や思い込みは、統計を学べばある程度排除できます。Ｃを選んだ人は“思い込みの危険”を自覚しましょう」（林氏）

補足日時：2007/03/10 18:42

この回答へのお礼

これだけ多くの回答を頂きありがとうございます。
質問をした時点と皆さんの回答を一通り終わった今では私の認識も大きく変わりました。
「最初に判明した女」は正しくない表現ですね。
「どちらかわからないがとにかく女が１人いることが判明した」という表現に訂正します。
質問の文章の意味合いを知りたいわけではなくても、それを論じないと説明がつかないことも今となってはわかります。
数学の問題なのに日本語の表現の難しさが改めてわかりました。

再度の回答ありがとうございます。

お礼日時：2007/03/10 18:41

No.37 回答者： suzup 回答日時： 2007/03/10 14:22

2/3説です。

38さんへ
ア「少なくとも一方が女」
　という表現は
イ「少なくとも１人不特定の女がいる」
　という意味ではなく
ウ「不特定の１人（＝一方）は女である」
　という意味です。
　イとウの違い、お分かりですよね？

39さんへ
質問文で質問者は「組み合わせ」ということばを使っていますが、これは「歳の順を意識した組み合わせ」の意味でしょう。
「それは順列だ」ということは可能ですが、順列と組み合わせが混じってはいません。
いずれにせよ重要なのは、「同様に確からしい」か「そうではないか」です。「そうではない」場合、組み合わせであろうが順列であろうが、確率計算は意味がないですから。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2007/03/10 18:24

No.36 回答者： 180915 回答日時： 2007/03/10 13:52

１.女・女　２.女・男　３.男・女　４.男・男

は明らかに順列と組み合わせが混じっていますよね。
(女・女と男・男は
それぞれを区別することで逆もあるはずである。）
だから、3/6=1/2である。
こうなるんじゃないのかな?

この回答へのお礼

ちがうよ。
最初が年上の子、次が年下の子と考えればわかると思います。
各々の確率はすべて４分の１ですよ。
回答ありがとうございます。

お礼日時：2007/03/10 18:23

No.35 回答者： stomachman 回答日時： 2007/03/10 12:32

　ANo.19　stomachmanです。

　「特定」「不特定」という言葉を使った議論が沢山出ていますね。
　「少なくとも一方が女」という表現を、「少なくとも一人不特定の女がいる」という意味に解釈しろ、って主張がなされている。ただし、「不特定の」とはどういうことかというと、「たまたま記者が見た方（姉か妹かは分からない)」「たまたま応対に出て来た方（姉か妹かは分からない)」であっても「特定の女」に該当し「不特定の女」ではない、と解釈する。

　ならば、男-女の組み合わせの場合に、単に「女がいる」と言ったらどうなるでしょうか。
　この場合、「女がいる」と言うときの「女」という単語が指すその女は、姉か妹かは分からないけれど明らかにひとりしかいないその「特定の」女じゃありませんか。
　となると、「少なくとも一人不特定の女がいる」が真になるのは女・女の組み合わせのときだけであり、従って「少なくとも一人不特定の女がいる」のが確かであれば、もう一人は100%女である！と結論できましょう。

　この議論に対して、もし「こんな変な結論になるのは、もちろん『特定の』という言葉の解釈が間違っているからだ。男-女の組み合わせの場合に『女がいる』と言ったって、それは『特定の』ではない」なんて主張したら、そりゃどこぞの宗教のような循環論法（オレの答が正しくなるように解釈するのを正しい解釈と言う。で、正しい解釈をすれば、オレの答はほら正しい）だと批判できるでしょう。
　一方、同じ議論に対して「『少なくとも一人不特定の女がいる』のが確かであるとき、『もう一人は100%女である！』とは言えない。なぜなら、そう言った途端に『もう一人』の女は『不特定の女ではない方』として確かに特定されているではないか。すると、初めの『不特定の女』も『その【もう一人】ではない方』として特定される。だから、『不特定の女』など居なくなるじゃないか！」という（スコラ哲学風？）反論をして、混乱に拍車を掛けることもできるでしょう。（様相論理の問題だと思って、この線も発展させてみたいところですが。）

　結局、「少なくとも一人不特定の女がいる」という表現は（少なくとも一階述語論理の）命題にはなっていない、「特定」「不特定」という言葉は恣意的に（都合に合わせて）解釈できてしまうので避けるべきだ、と考えるのが安全だろうと思います。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
　「特定の」「不特定の」なんて混乱を招く言葉を使わなくたって、正解が「A.男」だと仰る皆さんの主張は：

　「隠し子が二人いて、少なくとも一方が女」という表現を【数学の問題として】解釈するなら、隠し子の集合をXとして、
|X| = 2 ∧ ∃x(x∈X ∧ 女(x))
と、単にそれだけである、ってことでしょう。
　さらに、男女が同確率で生じ、第一子と第二子の性別は独立だ、という確率モデルを考える。その上で、「少なくとも一方が女」という条件下で「女と女の組み合わせ」の確率pを求める。すると、p = 1/3。
ってことですね。尤もだと思います。確かにフツーに考えればこうなるでしょう。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
　ところが同じ問題を、【(科学のような）観測の問題として】捉えて、すなわち「少なくとも一方が女」という情報が天下りに与えられたものではなく、観測によって偶然得られたものだと考えると、話は違ってきます。で、ご質問の場合、「タレントに隠し子が発覚」したスクープの話であるのなら、そりゃ観測によって得られた情報だと思うのが普通かなと思いましたんで、その事も明示した上でstomachmanはANo.19を書いたんです。

　さて、「記者が見たのは女」という観測結果を「少なくとも一方が女」と抽象化し、さらに観測のことを忘れて（ってことは、これによって幾分か情報を捨てた訳です）「少なくとも一方が女」という情報が天下りに得られたものだと思うことにすると、上記の【数学の問題として】の推論によって、他方が女である確率は1/3になります。四つの部屋があるアパートの問題でも同じ事です。

　つまり、

偶然の観測結果として得られた情報と、天下りで与えられた情報との間には大きな違いがある。その違いは「偶然の観測結果として得られた」という情報にある。

この認識が、この場での（ご質問の直接の回答ではないけれども）最も重要なポイントだろうと思います。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
　ですから、これは「問題文（日本語）の解釈談義」そのものが本質的なんです。早い段階から何人もの方が指摘なさっているように、「問題文に『少なくとも一方が女だという情報がどのようにして得られたのか』が明示されていたのかどうかも、はっきりしない」というのがご質問の悩ましい点ですね。なので、ご質問の内容だけからAとCどっちが正解と言い切るのは、フェアじゃないと思います。

　もし、元の雑誌の問題文に「少なくとも一方が女だという情報がどのようにして得られたのか」が一切書いてなかったのだとすると、おそらく雑誌の出題者は「おれは『少なくとも一方が女』としか言ってないぞ。だから天下り情報だ。従って、正解はA.男である」と主張するだろうと思います。しかし、それでもスクープの話にするのは迂闊でしょう。昔からあるような、トランプの話だとかドアの後ろにあるものを当てる話にしておけば曖昧さはないだろうに。
　出題者は「いくら雑誌のパズル欄であっても、問題文は【数学の問題として】解釈されるに決まってる」というような思い込みに注意すべきだったかも知れません。

　ま、おかげでおもろい話になって楽しめてるわけで～

この回答へのお礼

あらら、哲学までひろがっちゃった。
回答ありがとうございます。

お礼日時：2007/03/10 18:20

No.34 回答者： Quattro99 回答日時： 2007/03/10 12:14

#35さん

失礼しました。
「少なくとも1人は女の子であることがわかったという条件である場合に、もう一人が（どうにもこの表現に違和感が残りますが）男の子である確率は2/3で正しいのか？」ということであれば、正しいと思います。

ただ、元のご質問の
> 確率は５０％と主張する方がいて
これは条件のとらえ方の問題で起きていることなのではないかと思います。そうではなく、「少なくとも1人は女の子であることがわかった」という条件であることは認めながら50％と主張する人がいるのであれば、その主張がどういうものであるのかを書いていただかないと、どこがおかしいのかを指摘できないのではないかと思います（おそらくは、「少なくとも．．．」の条件で考えているにもかかわらず「片方がわかった」という条件の場合の計算をしているだけなのではないかと思いますが）。

この回答へのお礼

そう。「特定の１人ではない」のに「もう１人」という表現が変なんです。
これ以上は日本語の問題になってしまいますね。

回答ありがとうございます。

お礼日時：2007/03/10 18:18

No.33 回答者： Quattro99 回答日時： 2007/03/10 11:12

#25です。

最後のところが間違っていました。訂正します。
×「1枚だけ表であることを知っても」
○「1枚だけの結果を知っても」
です。
片方の結果を見たら表だったという場合、DEは分母から除かれなければならないのに、2/3とする場合はこれが含まれてしまっているところがおかしいということです。ただこれは、ご質問の問題が「片方の結果を見たら表だったという場合」と同じ条件である場合に言えることで、結局、条件がどうなのかがはっきりしないところが問題なのだと思います。

わかりやすいつもりでコインの場合で説明しましたが、#26さんの
> 2人の隠し子を持つタレントが，子連れでテレビ局のスタジオに現れた。
以下のご説明が私のいいたかったことにぴったりです。

どんな場合に「少なくとも一人は女の子であることがわかった」という状況が起きるか考えてみました。
もっともわかりやすいのは、両方を知っている人（例えば、そのタレント自身）が「少なくとも一人は女の子」と言ったというような場合。他には、そのタレントが女の子用の衣服等を買い求めているところを目撃されそこから推測され、それを真実であると仮定したような場合。
しかし、いずれにしろ、そういう場合に「1人は女の子」と表現するだろうかという疑問があります。私にはどうしても「一人は女の子」という表現からは「片方の性別がわかり、それは女の子であった」という意味にしか読めません。前述の例のような「少なくとも1人は女の子であることがわかった」場合に「少なくとも」を省略することはないのではないだろうかと思うのです。
省略があり得ないとは言えないかも知れませんが、「片方の性別がわかり、それは女の子であった。」の意味ではないと確定できる表現ではないことは間違いないと思います。「少なくとも1人は女の子であることがわかった」の意味で「1人は女の子」と表現したのであれば、それは別の意味にもとらえられる可能性のあるよくない表現だと思います。

なので、私はこの問題の解答としては1/2が正しく、正解が2/3なら「問題文がおかしい」と主張することになるだろうと思います。

この回答へのお礼

問題文をはしょった私に責任があります。
正確な問題文は「あるタレントに隠し子が発覚！１人は女の子とバレました。もう１人は男女どちらの確率が高い？」です。

回答ありがとうございます。

お礼日時：2007/03/10 18:06

No.32 回答者： staratras 回答日時： 2007/03/10 11:09

これだけ議論が沸騰するということは皆さまご指摘のように問題文が舌足らずだからで、純粋な数学の問題だけでなく国語の問題があるようです。

そそっかしい人は「１人は女の子」じゃあ「もう１人は男の子にきまってる」とさえ早合点してしまうかも知れません。もちろん「１人は女の子」は「１人だけが女の子」の意味ではなく、「少なくとも１人は女の子」の意味でなくては数学の問題になりませんが。「少なくとも１人は女の子であることがわかった」でもまだ不十分で特定のというか、ある１人が女の子だという理解（誤解と言い切れるかどうか）をする人もいるでしょう。国語の文章としてはこのような理解をされても１００％誤りとまではいえないと思います。さらに「もう１人は」という表現にもわかりにくさがあります。女の子２人の場合、どちらから見て「もう１人」なのか、わかりにくいです。このような理解の違いや難しさを避けるためにはもっと具体的に書く必要があると思います。ましてこの問題は数学の問題集に掲載されているのではなく「投資適性診断テスト」という週刊誌の記事だそうですから、一般の読者に出題意図が明確に伝わらなくては意味がないので、次のような設問はいかがでしょう。

あるタレントに隠し子が２人いることがわかりました。クリスマスに２人ともタレントの家に来てパーティーをするという情報があったのでカメラマンが張り込みをしていると

ケース１：最初に来たのは女の子でした。次に来る子は男女どちらの確率が高いでしょうか？

ケース２：親しくしているタレントの関係者がやってきて「女の子が少なくとも１人はいるそうだよ」とそっと教えてくれました。そうだとすると女の子２人である確率と、男女１人ずつである確率はどちらが高いでしょうか？
　
このケース２の場合を「１人は女の子」「もう１人は男女どちらの確率が高いか」と表現するのは一般の週刊誌の記事としてはいささか省略しすぎではないかと考えますがいかがでしょうか。

この回答へのお礼

そうなんです。
これだけ反響があるとは思わず問題文をはしょった私に責任があります。
正確な問題文は「あるタレントに隠し子が発覚！１人は女の子とバレました。もう１人は男女どちらの確率が高い？」です。

回答ありがとうございます。

お礼日時：2007/03/10 18:04

No.31 回答者： fool_ish 回答日時： 2007/03/10 10:07

> 少なくとも1人が女である，は，

> 「2人とも男，ではない」の意味であり，
> 「片方が男とわかった」の意味でない．
これは誤解を招く表現だから，以下のように訂正しよう．


少なくとも1人が女である，は，
「2人とも男，ではない」と同値で，
「男であると判明したほうと，そうでないほうが区別できる」と同値でない．

> 「 １人は女の子。もう１人は 兄・弟・姉・妹 のどれの確率が高いか？」
は，後者のように区別可能であることを仮定しなければ，意味をなさない．
しかしそれは，前者の条件と同値でない．
ゆえに，#29氏は，「雑誌の問題文の条件は，後者の条件であると解釈すべきだ」とは主張しているが，
「前者のように仮定すると，条件付確率はそれぞれ2/3と1/3だ」をなんら反証していない．

No.30 回答者： fool_ish 回答日時： 2007/03/10 08:32

失礼．#30の私の書き込みに，

> Pr(A') = 3/4, Pr(Q∩A') = Pr(Q) = 2/4, Pr(R|A') = Pr(R) = 1/4
とあるが，これは誤りで，正しくは
Pr(A') = 3/4, Pr(Q∩A') = Pr(Q) = 2/4, Pr(R∩A') = Pr(R) = 1/4
である．