もう１人が男である確率

ある雑誌のこの設問で意見が対立しています。

「あるタレントに隠し子が２人いることが発覚！
１人は女の子。もう１人は男女どちらの確率が高いか？」
A.男　
B.女　
C.確立は半々

答えはもちろん「C」と思いきや、なんと「A」だというのです。
その理由は「すでに２人いる子供の男女の組み合わせ」は１.女・女　２.女・男　３.男・女　４.男・男
となりすでに１人は女なので可能性があるのは
１.女・女　２.女・男　３.男・女　の組み合わせになる。つまりもう１人が男である確立が３分の２だから、正解はA。

最初はこの答えに納得できなかったのですが、しばらく考えて確かにそうだと思いました。
でもあくまで違う、確率は５０％と主張する方がいてそれに反論もできずにいます。

果たして真実はどちらなのでしょうか？
納得できる理由も書いてもらえるとありがたいです。

No.69 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/03/13 09:22

smith84様　　(ANo.7=ANo.49)です。

　　やっと自分の結論がでました。重複は覚悟の上で、”自分自身を納得”させる為に書かせて頂きます。”彼”が”言語は世界の写像である”と書いた時の”深み”は不明です。
ーーーー

本論
　○解答がふたつに割れる理由は”曖昧性”と言うより、言語の”両義性”もしくは”両価性”に起因する。
　○換言すると、＜言明：１人は女の子＞は”両価性”を内包している。

　＜この言明＞は以下の２つの意味を所有し、数学的命題とは成りえず、数学の対象とならない。
　各々の意味に従い２通りの解答が出るのは、極めて自然な結果である。

（１）＜言明＞が”ふたりを観測”してならば　2/3
（２）＜言明＞が”ひとりだけを観測”してならば　1/2

ーーーーーーーーーーーーーーー
冗談（日付けも４月０１日とします）
　 ”ファジー確率”を適用
観測確率 0≦p≦1 　　
(減る)(揶揄)(無理)不等式1/2≦2/(3+p)≦2/3
２＊冗談半分＝２＊本気半分
ーーーーーーーーーーーーーーー
不本意ながら無礼を承知で、幾つかの誤謬/錯誤を指摘させて頂きます。

＃６１様の比喩は一見まともに見えて実際には”両義性”を脱していません。＜コックリとうなづいた＞は、＜この父親の観測ＤＡＴＡが（１）（２）不明です＞。換言すれば＜この父親は子供に出会った事がなく、単に母親からの（１）（２）不明のＤＡＴＡを所有している可能性を否定していない＞。逆に明晰なる＃６１様でさえ、このような陥穽に落ちいる事を知って、当方聊かホットしております。

＃５６様の冒頭の記述＜円に一本・・・＞は、確率の基本的な誤解の例であって、今回の問題とは無関係の議論です。蛇足ながら、この議論を敷衍すると、あらゆる数値が導出されるはずです。このことは無意識ながら、ご本人も気が付かれていて＜・・・気がしますね＞と、お茶を濁しておいでです。

その他ＰＣ/エクセルを使用した議論は、ＰＣが思考する分けではなく入力者の思考が反映するだけで、書くまでもなく無意味な議論です。
ーーーー
最後に＜認識の限界＞について当方が陥った罠の事を記述して今回の原稿を締めます。どこかのスレッドで＜思考の限界＞について書きましたが、それとは別の話です。

心理学/認知科学の範疇のＴＥＸＴのなかで出会った記述です。
（Ａ）人間は認識困難な対象を見ると、過去の経験を参照に認識可能な対象へと変換する。
（Ｂ）しかるに一旦変換してしまうと、そのようしか認識出来なくなる。

見事に（Ｂ）に嵌りました。＜観測の概念＞に遭遇した瞬間から、どの議論を読んでも（２）にしか・・・
ーーーー

この回答へのお礼

＜コックリとうなづいた＞例えは父親が２人の子供を知っている前提でしょう。ペアで認識することになり既に出た解答が導かれます。
人間は過去の経験からしか解答を導くことはできませんが他人の意見や考え方でそれを修正・参考にすることはできます。ただ自分に自信があればあるほどそれは困難になりますね。

長い道程を経てkkkk2222さんなりの結論が出てよかったと思います。
回答ありがとうございます。

お礼日時：2007/03/13 22:38

No.68 回答者： momochu 回答日時： 2007/03/13 08:56

#67です。

#69さんのコインの説明で、2/3が正解と思っている人の考えを理解することができました。
「コックリとうなづいた。」問題の解答は2/3で正解だと思います。
私の間違いでした。素直に認めます。

「もう一人は男女どちらの確率が高いか。」という最初の問題はやはり半々と思っております。

5人きょうだいで4人女が判明した場合の残る最後の子供の性別の考え方をだれか示してもらえませんか。（#67参照）

いろいろと乱してしまい申し訳ありませんでした。
これで退かせていただきます。

No.67 回答者： moby2002 回答日時： 2007/03/13 08:20

＃６１さんが書いた

『ある有名人に子供が二人いることが発覚。記者の”せめて娘さんがいるかどうかだけでも
返答してください”という問いにその有名人はコックリとうなづいた。では、息子もいる確率は？』

がいいですね。もし、コッソリその有名人の家に出向いて、ピンポンを押して、
出てきたのが女の子だったら、この問題の答えは1/2でしょう。
上記のように、とにかく片方は女であるという情報をうまく引き出せたなら
答えは2/3でしょう。

「１人は女の子とバレました。」という文が二通りに取れるところが面白いですね。
数学的には結論は出ていますから、そろそろ締め切ってはどうですか？

あと、SPAに抗議も・・・

No.66 回答者： puni2 回答日時： 2007/03/13 01:47

#52：

>最初に分かった女の子に対して、可能性として
>・兄がいる
>・弟がいる
>・姉がいる
>・妹がいる
>の4種類あるので、男女の確率は1/2だと思います。

これに直接答えるのは難しいですが，次の例で考えてみましょう。
（まあ，#57や#63を初めとする既出の説明の焼き直しなんですが）

#57さんにならって，全国から，「隠し子を2人持つタレント」400人を，その2人の子どもと共に，イベント会場（どんなイベントだ？！）に連れてきたとします。
「生まれてくる子供の性別の確率は，男女とも等しい，つまり1/2」
「1人目と2人目の性別は独立」
と仮定します。
また，一々「隠し子」というのはわずらわしいので，以下では単に「子ども」とか「子」などと呼びます。
また，「タレント本人＋その2人の子ども」という3人組を，「世帯」と呼ぶことにします。

次に，400世帯を，子どもの性別によって，100世帯ずつ次の4組に分けます。
（本当は「約」100世帯ですが，説明の便宜上「約」は省略します）
（というか，全部確率だけを使って統一して説明すればいいのですが，やはり具体的に人数などを出して，無作為抽出の例で説明した方がイメージしやすいと思うので，そうしています）

A組　子どもが兄と弟である100世帯
B組　子どもが兄と妹である100世帯
C組　子どもが姉と弟である100世帯
D組　子どもが姉と妹である100世帯

さて，ここからが問題です。
問1。
会場に集まった400人の親の中から1人を無作為抽出して，「2人のお子さんの中に，娘さんはいらっしゃいますか」と聞いたら「はい」と答えたとき，次の確率を求めよ。
(1) その人の子どもが2人とも女の子である確率
(2) その人の子どもが男子・女子1人ずつである確率

問2。
会場に集まった800人の子どもの中から女の子1人を無作為抽出して，「あなたのごきょうだいは男ですか」と聞いたとき，次の確率を求めよ。
(1)「はい」と答える確率
(2)「いいえ」と答える確率

解答1。
400人の親から1人を無作為抽出したとき，A～Dの4組のどの組の人が選ばれるかは，同様に確からしい。
そして，「2人のお子さんの中に，娘さんはいらっしゃいますか」という問に「はい」と答える親は，B組，C組，D組に属する300人であり，そのどれが選ばれるかは，同様に確からしい。
いま，「はい」と答えたという条件の下で，子どもが2人とも女の子であるのは，D組の100人（すなわち100世帯）であり，その100人のどの世帯が選ばれるかは同様に確からしい。
また，男子・女子1人ずつであるのは，B・C組の200人（200世帯）であり，その200人のどの世帯が選ばれるかは同様に確からしい。
したがって，
(1) 3分の1。
(2) 3分の2。

解答2。
女の子として選ばれるのは，「B組の妹100人」「C組の姉100人」「D組の姉妹200人」計400人であり，その400人の誰が選ばれるかは，同様に確からしい。
そのうち，「きょうだいは男」と答えるのは，B組とC組合わせて200人であり，その200人の誰が選ばれるかは，同様に確からしい。
また，「男ではない（つまり姉妹である）」と答えるのは，D組全員の200人であり，その200人の誰が選ばれるかは，同様に確からしい。
したがって，(1) (2)とも2分の1.

つまり，ある特定の子どもを基準に考えると，「その子が女きょうだいを持つか」「男きょうだいを持つか」は同確率で，1/2です。これは「その子」が男であっても女であっても変わりません。
しかし，世帯単位で考えると，「娘のいる世帯」（300世帯）の中では，「息子もいる世帯」（200世帯）のほうが，「娘しかいない世帯」（100世帯）の倍あるという勘定になります。

ポイントは，「娘のいる世帯」です。
一人いるか二人いるかは問いません。

これは，男女をひっくり返しても同じです。
つまり，「息子のいる世帯」は300世帯。
そのうち，「娘もいる世帯」（200世帯）のほうが，「息子しかいない世帯」（100世帯）の倍になります。

子どもの数がもっと増えれば，このアンバランスはさらに拡大します。
たとえば，子どもが3人いる世帯を400集めたとしましょう。
すると，「娘のいる世帯」は350世帯。
そのうち，「息子もいる世帯」は300世帯。「娘だけ」は50世帯。
したがって，「息子もいる」確率は6/7（＝約86％）になります。

元の問題のように，子どもが2人というケースだと，つい「特定の子ども」をまず考えてしまい，「あと一方は」という発想になりがちです。これだと確かに1/2です。
しかし，兄弟姉妹，全員の男女バランスの問題と考えれば，全員同じ性別で揃う方がレアケースで，男女混合の確率の方が高いということになります。

質問者さんがNo.67へのお礼欄で
>繰り返しますが２人をペアとして考えることによって2/3という解答が出てくるのです。
と書かれている，これがこの問題のポイントだと思います。

No.65 回答者： puni2 回答日時： 2007/03/13 00:58

#62：

>女・女か女・男の2通りしかないですよ。

#68：
>姉妹→姉が最初に判明した場合と妹が最初に判明した場合の２種類あることを忘れないでください。

確率の問題で，場合の数が何通りあるかを数えるのは構いませんが，その何通りかの出方が，すべて同様に確からしいかどうかを吟味しなければ意味がありません。
単に「何通りあるから」というだけでは，「1等に当たる確率は1/2」という論理と同じです。

#65：
>一番最初にまだ数人しか解答を出されていないとき、僕は即座に2/3と思いました。たぶん確率論を少しでもまじめに習ったことのある人（ただし統計はまじめにやったことがない）なら同様の答えを出した人が多いのではないかと思います。

「まじめ」かどうか怪しいですが，一応大学レベルの確率論はかじったことがありますので，私も「1人は女の子」ときいたら「少なくとも1人女の子がいる」と頭の中で変換して，2/3だと考えたのですが，素朴に（数学語としてでなく）読めば，「1人に会って見たら女の子だった」ともとれますよね。
（後ほど投稿された「1人は女の子とばれました」であっても，両方の解釈は可能かと思われます）

というわけで，
#45へのお礼：
>もし入試に出されたりしたら言葉の取り方によって回答が複数あるため「この問題自体が無効」になるのでしょうか。
という点については，少なくとも，数学の試験として出題するには不適格だろうと思います。

#61さんの
『ある有名人に子供が二人いることが発覚。記者の”せめて娘さんがいるかどうかだけでも
返答してください”という問いにその有名人はコックリとうなづいた。では、息子もいる確率は？』
これは上手い表現ですね。試験にも使えると思います。

この回答へのお礼

なるほど、私は高校レベルの確率しか知らないのでそういう考え方ができなかったのかもしれません。

＞「1人は女の子」ときいたら「少なくとも1人女の子がいる」と頭の中で変換して，2/3だと考えた

直感でそう思う人もいるんですね。
勉強になりました。

お礼日時：2007/03/13 20:30

No.64 回答者： kumoringo 回答日時： 2007/03/13 00:27

すでに質問者が十分納得していらっしゃるので不必要な回答かもしれませんが……。

#67様、

> 私の言っている女・女か女・男の2通りというのは
> 性別が判明した順番に書いているのです。

と書いていらっしゃいますが、#61様の書かれた次の問題（文章表現が最も配慮された問題）では、二人のどちらの性別も判明していません。

>『ある有名人に子供が二人いることが発覚。記者の”せめて娘さんがいるかどうかだけでも返答してください”という問いにその有名人はコックリとうなづいた。では、息子もいる確率は？』

二人の子供をA、Bと名付けると、AとBのどちらの性別が判明しましたか。どちらも確定していません。ただ、AかBのどちらかが女ということが分かっただけです。

この回答へのお礼

いいえ、どんどん回答してもらって構いませんよ^^
私は最初に比べかなり理解が深まりました。
皆さんのおかげです。

お礼日時：2007/03/13 20:24

No.63 回答者： puni2 回答日時： 2007/03/13 00:25

#67:

＞たとえば2つのコインを同時に投げ、左右の手でそれぞれを隠します。
＞（表を男、裏を女と考えてください。）
＞どちらか片方の手を開け、表ならもう一度最初からやり直し、最初に開けた方が裏になるまでやってみてください。
＞最初に開けた方が裏であった時点が、一人が女と判明した時と同じです。
＞もう片方のコインは表と裏の確率は半々じゃないですか？

それは例が違います。
確かに，上に書いた例であれば，表も裏も確率は1/2です。
3分の2になるのは，次のような例です（#26の例1）。

登場人物は，コインを投げる人と，その状態を当てる人です。当てる人は目隠しをしています。
2枚のコインを投げる。
次に，投げた人は，（どちらか片方ではなく）★両方の手を開けて★　2枚の表裏がどうなっているかを確認する。
ただし，解答者は目隠しをしているので，その状態は見えない。
いま，投げた人が「表になっているコインがあります」と宣言したとき，解答者は「それなら，2枚とも表です」と答えるのと，「1枚だけ表です」と答えるのと，どちらが当たりやすいか。

これですと，「1枚だけ表」となる確率が3分の2，「2枚とも表」となる確率が3分の1です。
すでにさんざん計算の仕方が出ているので，求め方は省きます。

>なぜ２人目の性別が１人目の性別に左右されなければならないんですか？

3分の2説を唱える人の誰一人として，そんなこと言っていませんよ。
最初から，2人目の性別と1人目の性別は独立だという条件でみなさん解いているはずです。
「1人目が女だと，2人目は男が生まれやすい」なんていう主張が，今までの回答の中にありますか？

この回答へのお礼

大変失礼な言い方かもしれませんが「2/3派」は「1/2派」の考え方を理解している一方、「1/2派」はあまり「2/3派」の考え方を理解していないような印象があります。
お互いの論理の違いを理解して楽しんでもらえれば嬉しいです。

お礼日時：2007/03/13 20:20

No.62 回答者： momochu 回答日時： 2007/03/13 00:11

何度もしつこくてすみません。

#62さんへのお礼欄で
＞私もそう思います。
＞兄妹・姉弟・姉妹の３通りですね。
とありますが、
兄妹→妹が最初に判明した場合ですね。
姉弟→姉が最初に判明した場合ですね。

姉妹→姉が最初に判明した場合と妹が最初に判明した場合の２種類あることを忘れないでください。

以前にも姉妹の場合について何名かの方が述べられていたはずです。

この回答へのお礼

1/2を正解する方の考え方は理解しています。
ただ考え方を変えると答えは2/3になりその論理も理解できます。
お互いが理解できるよう説明をしました。
2/3を正解とする方はそもそも「最初に判明した一人」という考え方をしないんです。

お礼日時：2007/03/13 20:14

No.61 回答者： momochu 回答日時： 2007/03/12 23:43

#64様

#62です。

くじについてはちゃんと了解しています。
隕石にあたるかあたらないかの2通りしかありませんが、隕石にあたる確率も1/2とは思っておりません。

私の説明不足でしたが、
私の言っている女・女か女・男の2通りというのは
性別が判明した順番に書いているのです。
ですから、男・女と男・男はありえないということです。

たとえば2つのコインを同時に投げ、左右の手でそれぞれを隠します。
（表を男、裏を女と考えてください。）
どちらか片方の手を開け、表ならもう一度最初からやり直し、最初に開けた方が裏になるまでやってみてください。
最初に開けた方が裏であった時点が、一人が女と判明した時と同じです。
もう片方のコインは表と裏の確率は半々じゃないですか？

2/3が正解と考える方に質問です。
隠し子が２人より多くいた場合はどのように考えますか？
たとえば
「隠し子が５人いました。一人は女でした。もう一人の性別も女でした。３人めも女でした。４人めも女でした。では５人めが男の確率はいくつですか」
私は1/2だと思います。
100人女が続いても101人目は半々です。
100人男女交互に判明しても101人目は半々です。

なぜ２人目の性別が１人目の性別に左右されなければならないんですか？

この回答へのお礼

2/3が正解と考えている人は「１人目」「２人目」という考え方をしないんです。
各々の順番で考える限り回答は2/1しか出てきません。
繰り返しますが２人をペアとして考えることによって2/3という解答が出てくるのです。
双方の考え方が違うから答えが違うことを理解してほしいと思います。
私も最初は数学だから答えはひとつではないといけないと思いましたが、こういう問題もあるんだなとわかりました。

回答ありがとうございます。

お礼日時：2007/03/12 23:57

No.60 回答者： age_momo 回答日時： 2007/03/12 21:38

#61です。

>この隠し子が発覚したタレントの知り合いは２人の子供の性別を知っている、
>その知り合いがある記者に囁いた「ヒントを教えてやるよ。２人のうち１人は女の子だよ」
>こうなると答えは３分の２にならないでしょうか？

んー人の作為が入ってしまうと最早、数学ではなくて心理学、人間科学になってしまうと
思うのですが。。。だからなるべく作為が入らないような例を作ったんですけどね。

今、二つの論の最大の分かれ目はいわゆるA,B,C,の状態において女であることが
分かる確率に差が有るかと言うことだと思います。
A(女、女)とBorC（女、男一人ずつ)がそれぞれ発生確率1/4であるということに関しては
皆さん異論はないと思います。
折角ですのでベイズで書いていくと違いがでるのはその次で、Aから女がいると分かる確率をa,
B,Cからはそれぞれb,cであるとして、ベイズの定理は

1/4*(b+c)÷{1/4*(a+b+c)}=(b+c)/(a+b+c)

となります。どちらか片方の性別が女と分かる確率はAの場合、a=1,B,Cの場合、b=c=1/2
なのでその場合、確率は

(1/2+1/2)/(1+1/2+1/2)=1/2　です。

一方、私が書いた例のような場合はA,B,Cとも同じく有名人はうなづきますのでa=b=c=1です。
そうすると確率は

(1+1)/(1+1+1)=2/3　です。

その続きで考えると質問者さんが書かれた例の場合、A,B,Cで確率が変わってくるか、
AとB,Cでこのような行動を起こす確率が変わってくるかと言うことに帰結します。
人の心理までは分かりませんが、AがBやCの2倍そのようなことを言い出すとは
思えませんので(姉妹なら男女の時よりそんな発言をし易いとは思えませんね)
全て等しい⇒確率2/3と考えていいのではないでしょうか。

この回答へのお礼

そうですね。
皆さんの考え方がひとつひとつ的を射ていて感心しています。
こういう風にして「１人が女であることがばれた」のならこれら３パターンの確率は同じですね。
回答ありがとうございます。

お礼日時：2007/03/12 22:11