もう１人が男である確率

ある雑誌のこの設問で意見が対立しています。

「あるタレントに隠し子が２人いることが発覚！
１人は女の子。もう１人は男女どちらの確率が高いか？」
A.男　
B.女　
C.確立は半々

答えはもちろん「C」と思いきや、なんと「A」だというのです。
その理由は「すでに２人いる子供の男女の組み合わせ」は１.女・女　２.女・男　３.男・女　４.男・男
となりすでに１人は女なので可能性があるのは
１.女・女　２.女・男　３.男・女　の組み合わせになる。つまりもう１人が男である確立が３分の２だから、正解はA。

最初はこの答えに納得できなかったのですが、しばらく考えて確かにそうだと思いました。
でもあくまで違う、確率は５０％と主張する方がいてそれに反論もできずにいます。

果たして真実はどちらなのでしょうか？
納得できる理由も書いてもらえるとありがたいです。

No.89 回答者： tenntennsevengoo 回答日時： 2007/03/19 17:56

たとえばこの問題文が「隠し子で２人いる事が発覚」「隠し子で一人は姉とわかった場合もう一人が男である確率は」と聞かれてもやはり１/２です。

姉の次は妹か弟しかありえないからです。兄が居ることはありえないからです。
どのように言葉を変えても「隠し子が２人」「その中一人は女」が事実ならば確実に１/２です。

No.88 回答者： tenntennsevengoo 回答日時： 2007/03/19 17:25

すみませんでした。

ＮＯ．９８でかいた
＞この兄弟姉妹の選び方は全部で６通りです(４P２より１２通り)。
・は間違えました、以下のように訂正します。
「この兄弟姉妹の並び方は全部で１２通りです（４P２より１２通り)。
」でした。
お詫びします。

No.87 回答者： tenntennsevengoo 回答日時： 2007/03/19 16:20

95件の回答をざーと見ました。

引っかかるのが一つ見つかったのでそれを交えて質問者さんの質問にお答えします。
どうも兄弟姉妹の問題で混乱しているみたいですね。
ですがこのパラドックスを解くのは簡単です、この兄弟姉妹の選び方は全部で６通りです(４P２より１２通り)。その並べ方で考えれば確かに２/３の確率ですが現実の話「姉,兄」「妹,弟」はありえませんね。ですからそのパターを省く必要があります。もしそれを省けば全部で８通りです。それをすべて書けば
１・姉,妹
２・姉,弟
３・妹,姉
４・妹,兄
５・兄,妹
６・兄,弟
７・弟,姉
８・弟,兄
です。ここで「４・５」「６・８」「２・７」は同じだから一緒にしなければいけないのではないかと心理的わなを仕掛けていますが問題文は「一人は女の子」と判っているので一人が判る場合は「姉→弟」「弟→姉」と逆の場合も含めなければいけないので４通りではなく８通りで考えなければいけません。そして今回の質問の場合初めに女と判ったわけですから５～８は省かれます。よって１～４しか残りませんから次に判るのが男である確率は１/２ということになります。

No.86 回答者： tenntennsevengoo 回答日時： 2007/03/17 19:10

質問者さん騙されてますねーｗ

答えはＣですね。
これは順列か組み合わせの問題でしょうね。
もし順列なら答えはＡですが質問の場合並び方は関係在りませんから
１女・女　２女・男　３男・男の３つになります。
それですでに一人は女と判っているわけですから
男は確率５０％です。答えはＣになります。ｗ

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2007/03/18 23:16

No.85 回答者： y_akkie 回答日時： 2007/03/14 23:25

今回、確率値が1／２、２／３であるかといった議論に分かれた理由を個人的に検討してみました。

１／２であるとする場合は最も直感的に抱く確率値でになり、２／３であるとする場合はいまいちピンとこなく、直感とはかなり乖離した理論値であるような感も否めないからだと思います。例えば、もうすこし分かりやすい例として、０．７の確率で当たるクジA、０．３の確率で当たるクジBがあったとします。そして、次の（１）～（３）の事柄が事前に分かっているときのそれぞれの確率値について考えてみる事にします。

（１）Aが外れであると判明した時の当たりクジを含む確率
（２）Bが外れであると判明した時の当たりクジを含む確率
（３）一方が外れであると判明したときの当たりクジを含む確率

（１）の場合については、Aが外れだと分かった結果、後はBが当たる確率が０．３なので、もちろん０．３になります。
（２）の場合についても、Bが外れだと分かった場合で、後はAが当たる確率が０．７なので、もちろん０．７になります。
ところが、（３）の場合、A、Bともに５分５分で当たり外れになる場合は、A、Bのどちらが外れであるかはそれほど重要ではなく、Aが外れれば、Bが５０％の確率で当たり、Bが外れれば、Aが５０％の確率で当たるといった考えから、直感的に５０％であると考えがちになると思います。これはA、Bのどちらが外れであっても当たる確率には全く影響がないものだという思い込みがあるからではないでしょうか。しかし、今回の場合は、Aが外れか、Bが外れかでその確率が大きく変わる事になり、それらのうちのどちらが外れかであるのかという事実は、重要事項になると思います。そうした事から、A、Bのどちらのケースも十分に考慮した上で確率値を算出しなければならない事に気付くかと思います。ここで、

（A、Bのうちどちらか一方が当たる確率）／（A、Bのうち少なくとも一方が外れる確率）として計算すると、
(0.3×0.3+0.7×0.7)／(1-(0.7×0.3))=0.73..になります。

本題に戻りますと、「二人の隠し子のうち一人が女です。では、男兄弟がいる確率は？」といった問題として考えた場合、二人のうちどちらか一方が女であり、この場合はどちらが女であるかは全く重要性がなく、上の子が女である場合は、下の子が男である確率は１／２で、下の子が女である場合は、上の子が男である確率は１／２なので、どちらのケースであろうとも1／２であると考えてしまい、結局は１／２であるという錯覚を抱いてしまうところに罠があると思われます。では、先ほどの例と同様に、上の子が女である確率が０．９、下の子が女である確率を０．１とした場合はどうでしょうか。今度は、判明したのは上の子の方か下の子の方かによってその確率が大きく左右されてしまいます。この場合は、先ほどとは異なり、「どっちに転がってもその確率値が同じであり、上の子、下の子は全くどうでも良い話」というわけにはいかなくなってきます。

すなわち、
A「上の子が女であると判明した場合、男兄弟が含まれる確率」
B「下の子が女であると判明した場合、男兄弟が含まれる確率」
C「上の子、下の子のうちいずれか一方が女であると判明した場合、男兄弟が含まれる確率」

について、A、B、Cは全て同値であると思い込んでいるところや、
CならばAまたはBであり、AもBもその確率が１／２になるので、結局は１／２として良いと思い込むところに問題があると思います。ここで、上の子、下の子がそれぞれ性別が決定する確率を仮想的に変えてみて考えると、その解釈では不十分な事に自分自身は築きました。それが先ほどのクジの例になります。

この回答へのお礼

みなさんこの問題と回答についていろんな感想をお持ちだと思います。
回答が進むにしたがって自分の考え方が多少なり変化したり、自分の考えとは違う考えに対し理解が深まった方も多いのではないでしょうか。
私自信、納得したり逆に混乱したりを繰り返し今ではかなりクリアになってきました。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2007/03/18 21:27

No.84 回答者： moby2002 回答日時： 2007/03/14 07:45

＃８６さん

小異を捨て大同につくという表現は適切でしょうか・・・
正解があるわけですから。

単に１個の洗濯ものを見た、というだけなら「男男」を除外したにすぎない、とありますが
違うと思います。見た時点でどちらかの洗濯物と特定されるので、この場合もやはり
後者となるはずです。

あと＃８８さんの回答ですが、この問題は出題文がよろしくないということであり、
解く側の理解不足は関係ないと思います。

この回答へのお礼

洗濯物の例えは議論が分かれるかもしれませんね。
というかこれだけ別の例えを考えないと理解できない問題もなかなかないですね。
回答ありがとうございます。

お礼日時：2007/03/18 21:21

No.83 回答者： puni2 回答日時： 2007/03/13 23:37

議論もだいたい収束してきましたかね。

前回（#72）の回答を少し補足しておきます。
そもそもは，

>最初に分かった女の子に対して、可能性として
>・兄がいる
>・弟がいる
>・姉がいる
>・妹がいる
>の4種類あるので、男女の確率は1/2だと思います。

という直感をどう考えるか，という話でした。長い文章を書いているうちに，かんじんの最初の目的を忘れてしまって(^^;

この「直感」の考え方は，「最初に分かった女の子」に着目した上で，彼女のきょうだいはどうか，というわけですから，問2のパターンになり，答えが1/2となって正解ということになります。

…という一言を書き忘れましたので，付け足しておきます。
（展開が速くて，元の回答と離れてしまって見にくいですが…）

この回答へのお礼

＞議論もだいたい収束してきましたかね。
そうですね。
そろそろ締め切りにしなきゃいけませんね。
長々とお付き合いありがとうございました。

お礼日時：2007/03/18 21:18

No.82 回答者： hdfreaks 回答日時： 2007/03/13 23:19

１／２が正しいと思う人は数学の理解が足りない

２／３が正しいと思う人は国語の理解が足りない
ということではないでしょうか。

この回答へのお礼

ちょっと極端な気もしますがそういう例えもできるでしょうか。
確かに大学の確率論を習ったら直感的に2/3と答えが出るというような話もありましたが、私はこの問題の日本語表現を見る限り1/2の結論を出す数学の専門家がいてもおかしくないと思います。
そして一方で国語の表現の幅を頭の中で広げられる人が2/3という結論を出す場合もあるのではないでしょうか。
いずれにしてもこれは「数学」だけの問題でないですね。
こういう問題ほかにもたくさんありそうですね。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2007/03/13 23:41

No.81 回答者： nidonen 回答日時： 2007/03/13 22:58

　久々に書き込ませていただきます。

これほどスレが長くなって感激です！

　ここでは「 １人は女の子だとバレた 」という表現について議論されて
いる人が多いのですが、私が １/２ と信じている根拠はそこではありません。
後半の「 もう１人は男女どちらの確率が高い？」の解釈に懸かっています。

　要するに、「 もう１人 」という表現だから、そこには特定の意思があり、
１/２ が導き出されるということです。次の２つの文で説明します。微妙に
後半を変えていますが、もちろん意味は変わりません。

●Ａ ： 元の命題、１/２ が答え

「 １人は女の子であることがバレた、“もう１人”が男である確率は？ 」

●Ｂ ： ２/３ が答えになる命題

「 １人は女の子であることがバレた、“どちらか１人”が男である確率は？ 」

　結局、“もう１人”という言葉の解釈次第なのですが、これについては
「 性別がバレていないほうの１人 」という、特定された人物と解釈するのが、
＜現実世界＞ でのごく一般的な解釈でしょう。

※ kkkk2222 さんが ＃４９ で示された表現をお借りしました m(_ _)m

　日本語の解釈として「 もう１人 」という表現は、最初の１人がいないと
成り立ちません。たとえば命題の前文でいきなり
「 もう１人は女の子であることがバレた 」とは書けないですよね。

　でも「 どちらか１人は女の子であることがバレた 」ならおかしくないです。
よって、２/３ にするためには「 もう１人 」ではなく、「 どちらか１人 」と
いう表現を使わざると得ないと思います。

　よって、もし命題が Ｂ であれば、＜現実世界＞ においても １/２ という
答えはありえませんし、質問者さんが感じている「 姉・妹 と 妹・姉 は同じ
ことでは？」という疑問も解決します。“どちら”でもいいのですから。

　これまた ＃４９ での表現を借りますが、＜数学世界＞の方がこの命題を
“もう１人”＝“どちらか１人”と考えるのは、無理もないと納得しています。
たしかに数学の問題ならそれが正解かもしれません。しかし、＜現実世界＞ の
立場でこの文章を見た場合は、１/２ が答えになるべきだと確信しています。

※これは、＜数学世界＞ の方が非現実だと言っているわけではないことを、
　ご理解ください。あくまで思考パターンの違いで、自分の立場を離れれば
　両方正解と言っても差し支えないと思います。

この回答へのお礼

私自信忘れかけていたのですがこの質問のタイトルが「もう１人が男である確率」でしたね。
あまりいいタイトルではなかったですね(^^;
＜現実世界＞だと明らかに1/2という正解が出ても＜数学世界＞で2/3が正解であるのならば、このカテゴリーが「数学」である以上2/3が本来の正解と言えるのかも知れません。
でもそれを＜現実世界＞の言葉で表現するのに日本語の翻訳や多くの例え話を用いなければならないこと自体、かなりの無理があると思います。

nidonenさんが納得して頂いたこと嬉しく思います。
最初の状態だとずっと平行線のままお互い不満を感じていたまま終わったかもしれません。
多くの回答を頂いた皆様に感謝します。

お礼日時：2007/03/13 23:33

No.80 回答者： Ishiwara 回答日時： 2007/03/13 20:15

＃８３です。

洗濯ものに関し、＃８５さんに同意します（小異を捨て大同につくためです）。
単に１個の洗濯ものを見た、というだけなら「男男」を除外したにすぎないので、私が述べたとおりです。
しかし、仮に、同じ日に２人分のものを干さないとか、よく「量子化」されていて「女性の数に比例して、女性ものがレポーターの目に触れる機会が多い」という前提に立てば、それだけ（ベイズの）事前確率が増すので、あなたの言われたとおりです。