No.1ベストアンサー
- 回答日時:
少し修正を加えるだけで問題はありません。
(少しとは言ったものの、気合を入れないと式を間違いそうです。)
ibm_111 さんの他の質問への解答を拝見しましたところ物理学に精通しておられるようなので、
どの文字がベクトルを表すのかあたりの判断はお任せします。
また、見にくくなるかもしれませんが光速度 c=1 とはしないでおきます。
まず、モノポールがあった場合の Maxwell 方程式を
あらわに書いておきます。
∇・E = (ρ_e)/ε
∇・B = μ(ρ_m)
∇×E = -(∂/∂t)B - μJm
∇×B = μ{Je + ε(∂/∂t)E}
というように、第2式右辺に磁荷、第3式右辺第2項に磁流が加わることになります。
あとで見にくくなるためアンダーバーは省略しましたが Je の e 、Jm の m は添え字です。
一方、
□ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z,1/(ic)∂/∂t)
Je = (Je_x,Je_y,Je_z,icρ_e)
Jm = (Jm_x,Jm_y,Jm_z,icρ_m)
F_(μν):電磁場テンソル
ε_(αβμν):反対称テンソル
などとしてモノポールがない場合の Maxwell 方程式を共変形で書くと、
(□_ν)F_(μν) = μ(Je_μ)
(1/2)ε_(αβμν)(□_β)F_(μν) = 0
です。(透磁率μと添え字μがダブってしまいました。)
ここで、共変形の第1式において
μ= 1,2,3 が ∇×B の式、μ= 4 が ∇・E の式を意味するので第1式は変更はありません。
第2式の変更点は結論だけ書けば、
(1/2)ε_(αβμν)(□_β)F_(μν) = (iμ/c)(Jm_α)
のように右辺に4元磁流の項が出てくることになります。
この式において、α= 1,2,3 が ∇×E の式、α= 4 が ∇・B の式を表します。
次に、ベクトルポテンシャルです。
通常の(モノポールのない)電磁気の場合、
E = -∇Φ - (∂/∂t)A
B = ∇×A
のように書けます。
以下では、磁荷などによるポテンシャルと区別するため
Ae = (Ae_x,Ae_y,Ae_z,(i/c)Φe)
Am = (Am_x,Am_y,Am_z,(i/c)Φm)
と添え字をつけます。
ここで、∇・∇×A は恒等的に0ですから
B = ∇×(Ae)
のままではモノポールが存在する場合の Maxwell 方程式を満たしません。
どのように変更するかは電場の式を参考にすれば容易にわかります。
例えば、静電ポテンシャル Φe の勾配 ∇(Φe) が電場を生み出すのと同様に
磁場の式にも静磁ポテンシャル Φm の勾配 ∇(Φm) があるはずです。
こちらも結果を示すと、
E = -∇×(Am) -∇(Φe) - (∂/∂t)Ae
B = ∇×(Ae) -(1/c^2)∇(Φm) - (1/c^2)(∂/∂t)Am
のようにモノポールが存在した方が対称的になります。
また、今は Lorentz gauge
∇・(Ae) + (1/c^2)(∂/∂t)Φe = 0
∇・(Am) + (1/c^2)(∂/∂t)Φm = 0
(共変形では (□_μ)A_μ = 0 )
を採用して、先ほどの E, B の式を Maxwell 方程式に代入すると、
ポテンシャルが満足する波動方程式として
(∇^2)Φe - (1/c^2)(∂^2/∂t^2)Φe = -(ρ_e)/ε
(∇^2)Ae - (1/c^2)(∂^2/∂t^2)Ae = -μJe
(∇^2)Φm - (1/c^2)(∂^2/∂t^2)Φm = -(ρ_m)/ε
(∇^2)Am - (1/c^2)(∂^2/∂t^2)Am = -μJm
が得られます。
共変形では
(□^2)Ae_μ = -μ(Je_μ)
(□^2)Am_μ = -μ(Jm_μ)
です。
さらに、このとき電磁場テンソル F_(μν) は
F_(μν) = (□_μ)Ae_ν - (□_ν)Ae_μ + (i/c)ε_(αβμν)(□_α)Am_β
のように通常の電磁気と異なり第3項が表れます。
数式中に間違いがあれば適当に正してください。
この回答へのお礼
お礼日時:2002/06/20 01:20
なるほど!確かに
E = -∇Φ - (∂/∂t)A
にも修正項がつくと考えればOKですね。
これは思いつきませんでした。
ありがとうございました。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 工学 電磁気学の質問です。 電流による電磁束密度ベクトルポテンシャルの計算ですが、ベクトルポテンシャルのポ 1 2022/04/19 17:23
- 物理学 難しい質問 3 2022/09/12 14:48
- 数学 写真の左上の連立方程式を同値変形するときに 右にある連立方程式と同値なのは何となくわかります そこで 4 2022/08/12 10:14
- 物理学 同軸ケーブル 伝送の仕組み TEMモード Maxwell方程式 円柱座標 ポアソン方程式 3 2022/08/16 20:40
- 高校 比例式につきまして 3 2022/05/19 17:30
- 数学 数Ⅲ、無限等比数列の問題についてです。 極限を調べる問題で、 場合分けのうちの |r|>1 の時、 3 2022/11/12 10:19
- 物理学 アインシュタインの質量とエネルギーの等価性(E=mc²)って間違ってますよね? 4 2023/01/14 13:29
- 高校 対数方程式につきまして 4 2022/05/05 07:55
- 数学 (x-1)(x-2)=0のような因数分解された形でも二次方程式であることには変わりないのでしょうか? 6 2022/08/25 20:11
- 数学 連立方程式についての疑問 7 2022/06/19 19:48
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
合成抵抗の問題で
-
振り子の周期T[s]を振り子の長...
-
両辺を違う文字で積分すること...
-
実在気体のジュールトムソン係...
-
放物運動:2物体が空中で衝突す...
-
ベルヌーイの定理
-
熱伝導方程式の直交座標→極座標...
-
CR回路の回路方程式
-
物理の公式の導出につきまして
-
次の等式を満たす整数x,yの組を...
-
eのlog2乗がなんで2になるので...
-
logの問題でルートが出てきたと...
-
eのマイナス無限大乗
-
「割る」と「割りかえす」の違い
-
ベクトル解析の質問です。ベク...
-
数学 分母にルートの分数がある...
-
1/2x を積分すると、(1/2)log|2...
-
「分母を大きく」の意味
-
30パーセントオフで371円だった...
-
インテグラルlog(x+3)dxの計...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
両辺を違う文字で積分すること...
-
大学理数科目の式変形、ゼロ除...
-
ベルヌーイの定理
-
振り子の周期T[s]を振り子の長...
-
速度ポテンシャルと流れ関数
-
電磁場中の荷電粒子の確率密度...
-
物理学の質問です。 2台の車Aと...
-
不確定性原理の右辺は h? h/2π?...
-
次の等式を満たす整数x,yの組を...
-
過渡解は回路方程式の左辺 = 0...
-
大学物理
-
物理の少し複雑な計算をお願い...
-
モノポールとベクトルポテンシャル
-
光伝搬の波動方程式の導出方法...
-
第二量子化の計算
-
フィックの第2法則のラプラス変...
-
気体の状態方程式と熱力学第一...
-
物理の公式の導出につきまして
-
熱伝導方程式の直交座標→極座標...
-
[0,1]区間上の関数f(x)=x^2に対...
おすすめ情報