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こんにちは。

閉区間[-1,1]がコンパクトである事はどうやって証明すればいいのでしょうか?

RはT:={(a,b)∈2^R;a,b∈R}を位相として位相空間をなしますよね。
[-1,1]の開被覆の集合{A∈2^T;[-1,1]⊂∪[B∈A]B}:=C
∀A∈Cを採った時、どのように有限個のB1,B2,…,Bn∈Aを選べば
[-1,1]⊂∪[i=1..n]Bi
と出来るのでしょうか?

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A 回答 (4件)

No1です。



閉区間列S1、S2、…、Sn、…はいずれも空でありませんから(∵有限個の開集合で覆いきれない閉区間列と仮定しているので、もし空ならひとつの開集合で覆えてしまう)、いまSiの元をsiと記すことにします。(i=1,2,…)
m>nのときsm∈Sm⊂Snでありsn∈Snだから|sm-sn|≦(1/2)^(n-1) が成立。(Snの区間の長さは、作り方によりS0が2でS1が1でS2が1/2…となっているから)

よって、点列snはコーシー列を成すことがわかる。実数の完備性により点列snの極限が存在する。それをsとおく。(つまりlim sn = s)



このとき∩Sn={s}が成立。

証明:

(∩Sn⊃{s}について) nを任意に与えられた自然数とする。m≧nとなる任意の自然数mに対し、sm∈Sm⊂Snが成立。Snが閉区間であるのでs=lim sm ∈Sn が成立。ゆえに∩Sn⊃{s}が成立。

(∩Sn⊂{s}について) x∈∩Snとする。すると任意の自然数nに対しx∈Snである。ここで、上で示したように∩Sn⊃{s}が成立しているから、s∈Snである。よって|x-s|≦(1/2)^(n-1)が成立。nは任意であったので、|x-s|=0でなくてはならない。よって、x=s∈{s}である。
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この回答へのお礼

遅くなりましてすいません。
大変有難うございます。

お陰様で解決できました。

お礼日時:2008/04/25 06:39

No.1です。



大雑把に言うと、[-1,1]が有限個の開集合で覆いきれないと仮定すると、
[-1,0]、[0,1]の少なくとも一方は有限個の開集合で覆いきれないですね。
いま、[-1,0]が有限個の開集合で覆いきれないとしましょう。
[-1,0]が有限個の開集合で覆いきれないから、
[-1,-1/2]、[-1/2,0]の少なくとも一方は有限個の開集合で覆いきれないですね。
以下、この操作を繰り返し、
有限個の開集合で覆いきれない閉区間列S1、S2、…、Sn、…を作ります。
すると、∩Snは単集合となります。
∩Snの唯一の元をsと書くことにします。
s∈[-1,1]⊂∪Bi (Biは開集合)だから、
あるiが存在しs∈Biとなります。


Biが開集合だから、ある開近傍Gが存在しs∈G⊂Biとなります。
しかし、Snの区間列の作り方からnを十分大きくとればSn⊂Gとなります。
これは、Snがただ1つの開集合Gで覆われたことになるので
閉区間列Snの「有限個の開集合で覆いきれない」ということに反します。

以上のようなことを「もっと証明らしく」書いてやればよいかと思います。
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この回答へのお礼

ご回答有難うございます。遅くなりましてすいません。

> 有限個の開集合で覆いきれない閉区間列S1、S2、…、Sn、…を作ります。
> すると、∩Snは単集合となります。
これはどうやって単集合に成る事を示せばいいのでしょうか?


∩Snがφ集合となる場合と、∩Snが2個以上元を持つ場合とをそれぞれ仮定してみましたがそれから先に進めません。

お礼日時:2007/05/25 19:28

どうしても任意の開被覆から有限被覆を選べることを証明したいという


ことであれば、ちょっと趣旨の違う回答になってしまうかもしれません
が、コンパクト性を証明するのは区間縮小法(実数の連続性)を使って
証明することができます。つまり、[-1,1]に任意に無限点列を与えた
場合、この中から[-1,1]の点に収束する部分列が選べることを示しま
す。これは点列コンパクトの意味でのコンパクト性です。しかし、距離
空間においては、「点列コンパクト」であるということと「任意の開被
覆から有限被覆が選べる」ということは同値である、という定理があり
ます。位相幾何(たとえば、トポロジー入門(松本幸夫))の本に証明
がありますが、ここで書くと非常に長くなりますし、私も正確に理解し
ているわけではないので、要約を説明する自信もなく、とりあえずご紹
介まで。ネットでは、「ハイネ・ボレルの定理」で検索すると良いかと
思います。失礼しました…
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この回答へのお礼

遅くなりましてすいません。
大変有難うございます。

お陰様で解決できました。

お礼日時:2008/04/25 06:40

具体的にB1,B2,…,Bnを決めるのは難しいと思いますが、背理法を使って証明すればよいかと思います。



位相の教科書に、より一般的な命題の証明があると思うのでそれを参考にしながら考えてみてはどうですか?
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この回答へのお礼

ご回答有難うございます。

∀n∈N,B1,B2,…,Bn∈Aに対し、[-1,1]⊂∪[i=1..n]BiとはならないA∈Cが存在したと仮定してみるのですか。

、、、でもそれからどうするのでしょう?
すごく難しいんですね。

お礼日時:2007/05/05 16:48

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Q開集合がコンパクトでない理由

コンパクトとは、有限と無限に関するもの(有界閉集合)である
ことは何となく分かっているつもりです。

しかし、開集合がコンパクトでない理由がいまいち分かりません。
たとえば、よく教科書に掲載されている例として
開区間(-1,1)を、Xn=(-n/(n+1),n/(n+1)) (n∈N)  ※Nは自然数全体
で覆うというものがあり、これは有限部分被覆を持たないというものです。

でも、Xnの最後は(-1,1)なので、この一つをとりだせば
それだけで有限被覆となると思います。
この矛盾はどこから来るのか分かりません。

どなたか、ご教授ねがいます。

Aベストアンサー

>(-1,1)にならないといことは、やはり、Xnは(-1,1)の開被覆ではないということになってしまいます。

なりません.質問者はεδや無限に対する理解が
かなり怪しいのでしょう.

(-1,1)にならなくたって被覆です.
たとえば,εを-0.99999 にしましょう.
nをものすごーく大きくする,たとえば, n=100000にすると
n/(n+1)=0.999990000099...
となるので
(-n/(n+1),(n/(n+1))にεは含まれるのです.
(-1,1)に含まれるどんな数をもってきても
このようにその数を含む(-n/(n+1),(n/(n+1))を
必ずとることができます
#ε=n/(n+1)をnについてといて
#それ以上の整数をとればよい.

したがって,{Xn}は(-1,1)の開被覆です.

しかし,どんなにがんばっても有限個で覆うことはできません.
有限個でとめたとしたら,
n/(n+1)は1にはなれないので,n/(n+1)と1の間の数が
こぼれてしまうのです.
こういうのを「稠密性」というのでした.

ちなみに
>コンパクトとは、有限と無限に関するもの(有界閉集合)である
>ことは何となく分かっているつもりです。
この理解は明らかな誤りですので
正しく理解しましょう.
有限と無限,有界はそれほどは関係しません.
ちなみに,コンパクトと有界閉集合は別の概念であり,
ある特定の条件において同値であるということも
理解しましょう.

>(-1,1)にならないといことは、やはり、Xnは(-1,1)の開被覆ではないということになってしまいます。

なりません.質問者はεδや無限に対する理解が
かなり怪しいのでしょう.

(-1,1)にならなくたって被覆です.
たとえば,εを-0.99999 にしましょう.
nをものすごーく大きくする,たとえば, n=100000にすると
n/(n+1)=0.999990000099...
となるので
(-n/(n+1),(n/(n+1))にεは含まれるのです.
(-1,1)に含まれるどんな数をもってきても
このようにその数を含む(-n/(n+1),(n/(n+1))を
必ずとること...続きを読む

Q集積点が、まったく分かりません!!

集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。

Aベストアンサー

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のAの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈XがAの集積点であるとは
「xのどんな近くにも(x以外の)Aの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈XがAの孤立点であるとは
xがAの要素であり  …(S1)
かつxのある近傍とAの共通部分にx以外のAの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなAの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈AであることはxがAの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがAの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Aの点でないような
Aの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Aの要素に対して与えられる概念ですから、Aに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをAの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間(ユークリッド空間)での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例(1)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりAは原点中心半径1の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとAの集積点(の集合)は
{(x,y)∈X| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径1の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例(2)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Aの集積点(の集合)はA自身と集合
B={(0,y)∈X| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例(3)Xを1次元ユークリッド空間として
A= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はAの集積点です。しかしA自身の点はすべて孤立点です。

例(4)Xを1次元ユークリッド空間として
Aは開区間(0,1)の有理点。すなわち
A= { x∈(0,1)|xは有理数 }
とします。Aの集積点(の集合)は閉区間[0,1]です。

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるよう...続きを読む

Qコンパクトとは?

コンパクト、について調べると、

・Aの任意の開被覆(開集合の族で覆ったもの)から、有限個の開集合を選んで、新しい開被覆を作ることができる。

という難しい定義があるのですが、一方で

・任意の数列が収束する部分列を持つ集合

というのもあったり

・有界な閉集合

というのもあったり。

どういう関係になっているのでしょうか。全部同じでしょうか?(3番目は直感的にわかりやすいです)

Aベストアンサー

White-tigerさん。こんにちは。
>・Aの任意の開被覆(開集合の族で覆ったもの)から、有限個の開集合を選んで、新しい開被覆を作ることができる。
というのがコンパクトの一般的な定義です。
>・任意の数列が収束する部分列を持つ集合
というのは詳しく言うと点列コンパクトと言われていますが、距離空間の場合はコンパクトと点列コンパクトは同値です。ユークリッド空間の場合はコンパクトであることと有界閉集合であることは同値であることが示せます(これをHeine-Borelの定理という)。したがって
>・有界な閉集合
はユークリッド空間の場合のコンパクト集合になります。

参考URL:http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/htop4.html

Qコンパクトな集合の例

コンパクトな集合とコンパクトな集合の積集合が、コンパクトにならない例について、おしえてください

空間がハウスドルフでしたら、そのような例がないことまではわかったのですけど、具体的な例が思いつきませんでした

どうかよろしくおねがいします

Aベストアンサー

積集合って共通部分集合(intersection)で良いんですよね。
直積集合の意味ならチコノフの定理があるし。

それで、例を考えてみました。T1にもなりませんが、T0です。
区間[0,1]に一点pを加えて
X=[0,1]∪{p}
とします。位相は[0,1]の開集合とXを開集合とします。
こうするとXはコンパクトです。またpを含む任意の部分集合もコンパクトです。
# pを被覆する開集合はXだけですから

A=[0,1]
B=(0,1)∪{p}
とするとどちらもコンパクトです。
A∩B=(0,1)
はコンパクトではありません。

Q”コンパクト”の定義について。集合、位相

集合論における、”コンパクト”の定義について質問です。
言い回しの違いがあるにせよ、以下の2種類があるようですが
どちらが正しいのでしょうか?

(その1)
コンパクトであるとは、位相空間Xの任意の開被覆が、必ずXの有限被覆を部分集合として含むことである。

(その2)
ある集合Aを、有限個の開集合の和で覆えるときにコンパクトという。

個人的には、(その1)の定義が正しいとおもっています。
”位相空間”であることが、前提条件でないと
話が進まない気がしています。

Aベストアンサー

> 結局のところ、コンパクトとは何なのでしょうか?。

このあたりをご覧になるとよいかと。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa666504.html

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/qa666504.html

Q有界閉区間であることの証明

閲覧ありがとうございます。
以下の問題が分かりません。

http://i.imgur.com/NCS1q3U.jpg

恥ずかしながら、どのように解けばいいか、解答の方針すら立たない状況です。
特に、iに関しては証明するまでもなく当たり前ではないか?と思ってしまいます。

分かる方、どうか教えていただけないでしょうか。解説の方、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

定義域の端点が、値域の最大・最小に対応したりする場合は、イメージしやすいし、そうでなくてもグラフを描けば、正しいだろうという検討はつきますね。ただ、証明は別ですから、、。

定理をいくつか使ってよいなら、次のステップですぐ証明は出ます:
有界閉区間Iはコンパクトである。
コンパクト集合から実数の集合への連続関数は、最大値a、最小値bをもつ。
a=bなら、特殊な有界閉区間。そうでないとすると、
aとbとの間の任意のcに対して、中間値の定理より、f(x)=cとなるIの元xが存在する。
よって、f(I)=[a,b]となるとか、、、。


使える定理からあまりすぐ証明できると練習にならないので、例えばR^nの有界閉区間I(各座標軸で有界閉区間の直積集合)上の連続実数値関数fの像f(I)は有界閉区間になることを証明せよ、、、くらいがいいかもです。もっと一般的に定義域がコンパクトで連結の時、、、くらいにしても(結論は正しいですか?)、位相の練習問題ならいいかもです。

Q最小多項式の求めかたを教えてください

情報数学 代数数学 離散数学どれにあたるかわかりませんが、行列ではないとおもいます

教科書をよんでもわからないので

いくつか例をあげてやり方を教えてくれませんか?
お願いします

Aベストアンサー

最小(消去)多項式 ですよね。
最小多項式は、特性多項式の約数になるので、
特性多項式を因数分解して、
因数の積で ≡0 になる組み合せを探せばよいです。

Q一様連続でないの厳密な証明は?

微分積分の期末テストで次の問題が出ました。

次の命題の正誤を答えよ。ただし理由も与えること。

命題:関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続である。

この問題で自分は次のように解答しました。

(証)αを与えられた区間内の任意の要素とし、εを任意の整数とする。

あるδとしてmin.(ε/2|α|+1,1)とする。

このとき|x-α|<δ⇒|f(x)-f(α)|=|x^2-α^2|=|xーα|・|x+

α|<・・・・・(略)<δ(2|α|+1)<ε

となり、故にf(x)=x^2は区間[0,∞)で一様連続でない。(なぜなら、δがε

だけでなくαにも依存するから)

この解答で一応マルはもらえたのですが、はじめにδを上のようにしたものだけを考

えていい理由は何なんですかね?もしかしたらεだけでδを表せるかもしれないの

に。考えてはみてるんですがなかなか納得のいく答えが見つかりません。よかった

ら力になってください。よろいくお願いします。

Aベストアンサー

ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の問題(ε-δの応用問題は大体そうです)
を考える時は命題を論理式で書いておくと証明すべきことが見やすくなります。
まず「関数f(x)が区間[a,b)で連続である」を論理式で書くと
∀ε>0 ∀α∈[a,b) ∃δ>0  ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)
でしたね。つまりこの場合δはεとαの両方に依存しても構わない。
一方「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続である」を論理式で書くと
∀ε>0 ∃δ>0 ∀α∈[a,b) ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)……(1)
となります。変数δとαに関する記述の位置が入れ替わっていることに注意して下さい。
この場合δはεだけに依存します。
そして「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続でない」という命題はこれの否定命題ですから
∃ε>0 ∀δ>0 ∃α∈[a,b) ∃x(|x - α| < δ かつ |f(x) - f(α)| ≧ ε)……(2)
となります。(論理式の変形規則についてはご存知でしょうね)

つまり「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことを証明するためには,具体的なεと任意のδをとってきてそのε,δの組に
対して(2)式の括弧内の条件を満たすようなα,xがとれることを示せば良いのです。
これを示しましょう。

ε=1/2とし,任意のδを1つ固定し, α≧ 1/(2δ) とします。
x= α+(δ/2) とするとxは(1)式の前提条件
|x - α| < δ を満たします。しかし
|f(x) - f(α)|= |x^2 - α^2| = | (α+(δ/2))^2 - α^2 |= | αδ + δ^2/4 |≧ 1/2 =ε
ですから一様連続でないことがいえました。          ■

証明が間違っているにも関わらず先生が○をくれた理由は推測するしかありませんが
(1)一応「一様連続でない」という結論はあっているので、
証明も正しいものと勘違いした
(2)実は先生もわかってない(まさかね^^;)
(3)一応「一様連続でない」という結論はあっていることと
証明を読んで(間違いではあるものの)一様連続性についても
一応は理解しているものと判断して○にした。

というところが考えられますが本当のところ先生に聞いてみた方が良いでしょうね。

ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の...続きを読む

Q距離空間はハウスドルフ空間?

「すべての距離空間はハウスドルフ空間である」
の意味がわかりません。
x、yに対して必ず交わらないような開球をとることができるということなんだと思いますが、どうして必ずとることができるのかわかりません。
実数の稠密性??

よろしくおねがいいたします。

Aベストアンサー

自明です。実数の話とはなんら関係がありません。

ハウスドルフ空間とは、位相空間でハウスドルフの分離公理(T2とも呼ばれる)を満たすもののことで、任意の2点x,yに対して、x,yを含む開集合A,Bがとれて、A∩B=φとできることです。

これは理解されていると思います。では距離空間とは何か?

位相空間Xが距離dを持つ距離空間とは、任意の二点x,yに対して、距離d(x,y)≧0が定まって、三角不等式
d(x,z)≦d(x,y)+d(y,z)
および対称性
d(x,y)=d(y,x)
さらに自分との距離が0である点は自分自身しかない
d(x,y)=0⇔x=y
を満たすとき、距離空間という。

三角不等式や対称性はすぐに思い出せるでしょう。大事なのは三番目のd(x,y)=0ならば、x=yというところです。この辺りが極限の一意性や、あるいはハウスドルフ性と関わってきます。

例.R^2で、x=(x_1,x_2)、y=(y_1,y_2)に対して、d(x,y)=√{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}は距離になる(普通のユークリッド距離です)。

反例.R^2で、x=(x_1,x_2)、y=(y_1,y_2)に対して、d(x,y)=|x_1-y_1|は距離にはならない。三角不等式も対称性も満たすが、第二成分が等しければ常に距離は0になってしまう。

で、これさえ知っていればご質問のことは答えることができます。定義を使うしかないのだから、まず、異なる二点x,yを取ってきます。交わらない開集合を取ってきたらよいのです(今の場合は距離空間だから普通は開球を取る)。xとyの距離d(x,y)は定義から0ではありません。そこで、半径がd(x,y)/2の(不安ならd(x,y)/3ぐらいにしてもよい)x,y中心の開球をA,Bとします。そうすると三角不等式からA,Bは交わりません。

たとえば離散距離空間(異なる点との距離は全部1、自分との距離だけ0)というとんでもない距離空間を考えます。これもやはりハウスドルフ空間です。異なる二点、x,yをとると、その距離は1のはずです。x,yから半径1/3の開球を取ります。もちろんその開球の中にはそれぞれx,y以外の点はただの一つも含まれていないので、開球とは一点集合{x},{y}になっていますが、これはちゃんと開集合(開球)になっているので、これで分離公理が示されたことになるのです。

この辺りがご心配なら、距離空間Xにおいて、x中心、半径rの開球
{y∈X|d(x,y)<r}
がちゃんと開集合になっていることを確かめておくのが有益です。もっとも距離空間の位相をこれで定めることも多いので、そうするとこれはただの定義になってしまうのですけれど。

混乱されると困るので、分からないなら以下のことは読み飛ばしてもらって結構ですが、反例で書いたdという距離もどきからR^2に位相を導入することもできます。というのは、この距離もどきから決まる開球というものが開基の条件を満たすからで、これから決まる位相はハウスドルフにはなっていません。つまり第二成分が等しい異なる二点を、この距離もどき位相で分離することはできません。それはこの距離もどきの定義を見ても容易に納得できますよね。

自明です。実数の話とはなんら関係がありません。

ハウスドルフ空間とは、位相空間でハウスドルフの分離公理(T2とも呼ばれる)を満たすもののことで、任意の2点x,yに対して、x,yを含む開集合A,Bがとれて、A∩B=φとできることです。

これは理解されていると思います。では距離空間とは何か?

位相空間Xが距離dを持つ距離空間とは、任意の二点x,yに対して、距離d(x,y)≧0が定まって、三角不等式
d(x,z)≦d(x,y)+d(y,z)
および対称性
d(x,y)=d(y,x)
さらに自分との距離が0である点は自分自身しかない
d(x...続きを読む

Q行列の正定・半正定・負定

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか?
過去の質問の回答に

>cを列ベクトル、Aを行列とする。
>(cの転置)Ac>0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか?
また、半正定は固有値に+と-が交じっていて、
負定は固有値が-のみなのですか?

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む


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