
何度も失礼します。
問題は、a,b,cはどの2つも1以外の共通な約数を持たない正の整数とする。a,b,cが、a^2+b^2=c^2を満たしているとき、次の問いに答えよ。
(cは奇数である)
(1)a,bの1つは4の倍数であることを示せ。
証明は、cは奇数であるから、,bのうちいずれか一方は偶数で、他方は奇数である。いま、偶数の方をaとしてもよい。aが4の倍数でないと仮定すると、a=4k+2,b=4m±1,c=4n±1(k,m,nは整数)とおける。
a^2+b^2=(4k+2)^2+(4m±1)^2
=8(2k^2+2k+2m^2±m)+5
c^2=(4n±1)^2=8(2n^2±n)+1
よってあまりが違い、矛盾するので正しい。
となっているのですが、{a=4k+2,b=4m±1,c=4n±1(k,m,nは整数)}ですが一つ目の疑問は(k,m,nは整数)ですが、整数では、例えばmが-3とかのとき明らかに-になるのでだめですよね?bが正の整数を大前提にということでしょうか?もうひとつは、これはb,cは奇数であることをいいたいのだからa=4k+2、b=2m-1,c=2n-1(・・・m,nは自然数)としてはいけないのでしょうか?それでもできるとおもうのですが。b=4m±1,c=4n±1である理由があるのでしょうか?
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
一つ目の疑問について
解答の「a=4k+2,b=4m±1,c=4n±1(k,m,nは整数)とおける。」の意味は
「ある整数k,m,nを用いてa,b,cはそれぞれa=4k+2,b=4m±1,c=4n±1と表記できる」
ということだと思います。
syunndaさんの「例えばmが-3とかのとき明らかに-になるのでだめですよね?」
というのは単に「-3がb=4m±1と書けるような整数mではない」ということを
言っているだけなので「ある整数k,m,nを用いてa,b,cはそれぞれa=4k+2,b=4m±1,c=4n±1と表記できる」
ということが間違っているとはあまり思えません。
□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■
例えでいうなら、
私がいま大阪にいると仮定したとき、
「私は日本にいる」という主張は間違っていないと思います。
ここで、
「私は日本にいる」では、例えば日本の東京とかのとき「私は東京にいる」
という主張が間違っているのでだめですよね?
(よって「私は日本にいる」というのはまずいのでは^^;)
という感じです。
「整数では、例えばmが-3とかのとき明らかに-になるのでだめですよね?」
(よってmが整数というのはまずいのでは^^;)という文が
ちょうど上の文と対応しています。
□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■□■
「bが正の整数を大前提にということでしょうか?」は問題文に
「a,b,cはどの2つも1以外の共通な約数を持たない正の整数とする。」
と書いてあるので大前提なんじゃないのでしょうか?
二つ目の疑問について
b=2m-1,c=2n-1として計算すると、
a^2+b^2=(4k+2)^2+(2m-1)^2
=16k^2+16k+4+4m^2-4m+1
=4(4k^2+4k+m^2-m+1)+1
=4{4k^2+4k+m(m-1)}+4+1
=4{4k^2+4k+m(m-1)}+5
ここで、m(m-1)が偶数なので上の式は(8の倍数)+5の形をしている。
c^2=(2m-1)^2
=4m^2-4m+1
=4(m^2-m)+1
=4m(m-1)+1
同様にm(m-1)が偶数なので上の式は(8の倍数)+1の形をしている。
よってa^2+b^2=c^2に矛盾。
だから、a=4k+2、b=2m-1,c=2n-1(・・・m,nは自然数)としても
問題ないと思います。
b=4m±1,c=4n±1である理由は「そのように表記したほうが式が見やすい」
からです。

No.2
- 回答日時:
>となっているのですが、{a=4k+2,b=4m±1,c=4n±1(k,m,nは整数)}ですが一つ目の疑問は(k,m,nは整数)ですが、整数では、例えばmが-3とかのとき明らかに-になるのでだめですよね?bが正の整数を大前提にということでしょうか?
この場合は、まず、a,b,cが整数の場合に成立する事を証明し、
a,b,cが整数の時に成立する事が証明されたわけだから、
a,b,cが正の整数であれば、とうぜん成立するという論法なのでしょうか。
>もうひとつは、これはb,cは奇数であることをいいたいのだからa=4k+2、b=2m-1,c=2n-1(・・・m,nは自然数)としてはいけないのでしょうか?それでもできるとおもうのですが。b=4m±1,c=4n±1である理由があるのでしょうか?
b = 2m-1,c=2n-1の場合も上手く証明できるのであれば結構だと思います。
証明法はいくつかあると思います..。かの有名なピタゴラスの定理の証明だって数多くありますし..。
ちなみに私は、以下のように証明してみました。
a^2 + b^2 = c^2
(4k+2)^2 + (2m-1)^2 = (2n-1)^2
(4k+2)^2 = (2n-1)^2 - (2m-1)^2
(4k+2)^2 = (2n-2m)(2n-1+2m-1)
16k^2+16k+4 = 4(n-m)(n+m-1)
2(2k^2+2k)+1 = (n-m)(n+m-1)
となりますが、(n-m)(n+(m-1))
(n+(m-1)) - (n-m) = 2m-1より、
(n-m),(n+(m-1))のうち、どちらか一方が偶数になります。
なぜなら、(n-m),(n+(m-1))ともに奇数であれば、
奇数ー奇数=偶数になるので、少なくとも一方が偶数である
事がいえるので、(n-m)(n+m-1)は2で割り切れるはずです。
だが、左辺は2で割り切れないので矛盾します。
確かに証明はできましたが、やはり解説の方がシンプルなような気がしないでもないですね..。
No.1
- 回答日時:
まず一つ目の疑問から。
確かにa,b,cが正の整数であるためには、k,m,nが整数というだけでは弱すぎるでしょう。
厳密にはk≧0、m,n>0と書く必要があります。
二番目の質問ですが、b=2m-1,c=2n-1として計算すると、
a^2+b^2=(4k+2)^2+(2m-1)^2
=16k^2+16k+4+4m^2-4m+1
=4(4k^2+4k+m^2-m+1)+1
c^2=(2m-1)^2
=4m^2-4m+1
=4(m^2-m)+1
となり、あまりが一致してしまうので矛盾が導き出せなくなってしまいます。
あまりが一致してしまったのは、両辺の計算結果を8ではなく4でくくってしまったことに起因しています。
よって、8でくくりだすためにやはりb=4m±1,c=4n±1とする必要があるでしょう。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 高校 mod 問題 2 2022/08/11 10:19
- 数学 整数問題についてですが、 「正の整数aに対してa²を4で割ったときの余りを求めよ」という問題で、答え 12 2023/08/28 15:03
- 数学 nは正の整数であり、偶数。 n(n+1)(n+2)(n+3)は素因数が3つ。 nを求めよ。 という問 8 2022/09/26 18:15
- 数学 数学の解法について こんばんは。最近数学の問題を解いています。証明問題を解いたのですが、解答とアプロ 4 2022/09/11 23:22
- 数学 写真の数学の質問です。 (1)nが整数のとき,n^2が偶数とき、奇数nも存在する でもあってますよね 6 2023/08/17 16:29
- 数学 √nが有理数ならばnが整数 証明 なぜ √nが有理数ならばnが整数の証明の解答です。わからない部分が 2 2022/08/04 09:41
- 数学 上三角行列のn乗の証明 2 2023/07/23 21:45
- 大学受験 整数問題 Nを正の整数とする。 N+18がN+2の倍数となるようなNの値の個数を求めたい。 解説に、 1 2022/08/13 12:25
- 数学 1から9の数字を書いたカードが一枚ずつある。これらの9枚のカードから同時に2枚を取り出し、数字の大き 5 2022/04/25 15:38
- 中学校 中3の数学の問題の四季と計算の利用という分野の問題がいくつか分かりません 助けてくださいm(_ _) 2 2022/05/05 21:23
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
夫が亡くなった後の義理家族と...
-
血がつながっていない父親と結...
-
直角三角形の性質
-
正解が一つとは限らない数学の...
-
正の整数a.b.cが a^2+b^2=c^2を...
-
3,4,7,8を使って10を作る
-
「この Web サイトのセキュリテ...
-
数学の証明の所が全然わかんな...
-
解説でわからないところがあります
-
再婚を考えてますが、養子縁組...
-
無理数って二乗しても有理数に...
-
グラフ理論における最長パス
-
有限個であれ、無限個であれ、 ...
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
婿養子です、妻と離婚して妻の...
-
証明終了の記号。
-
「一般性を失うことはない・・...
-
47歳、母親の再婚を子供の立場...
-
不等式 |a-b|<(1/2)|b| ならば ...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
3,4,7,8を使って10を作る
-
夫が亡くなった後の義理家族と...
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
よって・ゆえに・したがって・∴...
-
47歳、母親の再婚を子供の立場...
-
「証明証」と「証明書」はどう...
-
図形の証明は、日常で役立ちま...
-
親の再婚相手との問題です。私...
-
正の整数a.b.cが a^2+b^2=c^2を...
-
素数の積に1を加算すると素数で...
-
婿養子です、妻と離婚して妻の...
-
証明終了の記号。
-
正解が一つとは限らない数学の...
-
直角三角形の性質
-
(4^n)-1が3の倍数であることの...
-
通学証明書の契印とは
-
素数の性質
-
無理数には、任意の有限個の数...
-
無理数って二乗しても有理数に...
おすすめ情報