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2x^2-2xy+y^2=2のグラフのグラフでどんな感じになりますか?
2x^2+y^2=2なら楕円になりますが、
-2xyをどう処理すればよいのでしょうか?

A 回答 (3件)

 x=x'cosθ-y'sinθ


 y=x'sinθ+y'cosθ
とおいて、元の方程式を原点軸周りでθだけ回転させたグラフを作ってください。

 そのとき、方程式が
  Ax'^2+By'^2+Cx'y'=2
の形になります。
 ここで、θをうまくとってCが0になるようにします。(つまりxyの項を消す。)
 そのようなθをC=0の式から求めて、AとBを求めます。
 こうして得られたものが、Ax'^2+By'^2=2のグラフを原点を中心にして-θだけ回転させたものが、元のグラフになっているということが分かります。

 あとは、Ax'^2+By'^2=2のグラフを-θ回転させれば描画ができます。
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二次曲線の基本なので教科書にありませんか?



ネット上には結構たくさんの解説があります。

ハナシを長引かせたくないので一例だけ。
----------------------
 http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwaN/taiwa3/q …
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>2x^2-2xy+y^2=2のグラフのグラフでどんな感じになりますか?



yについての2次方程式だと思って解いてみたらどうでしょう。
今、エクセルで描いてみましたが、「感じ」は分かりますよ。
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Q2次曲線のグラフ

微積の授業中に2x^2+4xy+5y^2=6のグラフを書けという小テストがあったのですが、解法がほとんど分かりませんでした。
最近偏微分を学んだことから、x,y,xx,xy,yx,yyでの偏微分を求めて、それらを用いて解くのだと思うのですが、単に極値などが分かるだけで、これだけではグラフをどう描いていのか分かりませんでした。
また、グラフは式を平方完成してみた感じから、楕円になるのではないかと想像しています。

解法をご存知の方、解法の手順を教えていただけないでしょうか?
グラフを書くためにはまず、何をして次にはこうしてというように教えていただけるとありがたいです。
宜しくお願いします。

Aベストアンサー

#1-#3です。

座標系の回転で
長軸、短軸がy=2xとy=-x/2の楕円(1/6)X^2+Y^2=1またはX^2+(1/6)Y^2=1になることを示しましたが、折角辺微分を習われたことなので、
これを使って、斜めの楕円のxの範囲(xの最大値と最小値)やyの範囲(yの最大値と最小値)を求めることが出来ます。
2x^2+4xy+5y^2=6 …(1)
xで偏微分して
4x+4y=0 ⇒ y=-x …(2)
(1)と(2)を連立にして解けば、(x,y)=(√2,-√2),(-√2,√2)
これから x=√2のときyの最小値-√2, x=-√2のときyの最大値√2 であることが分かります。
また(1)をyで偏微分して
 4x+10y=0 ⇒ 2x+5y=0 …(3)
(1)と(3)を連立にして解けば (x,y)=(-√5,2/√5),(√5,-2/√5)
これから y=-2√5のときxの最大値√5, y=2/√5のときxの最小値-√5 であることが分かります。

#なせこのようにxやyの最大値、最小値(極大値、極小値)が出るかを考えて見てください。
楕円のグラフに(2)と(3)のグラフ(水色の直線)を描き込んでおきますのでグラフ的な意味を考えて見ると良いでしょう。

#1-#3です。

座標系の回転で
長軸、短軸がy=2xとy=-x/2の楕円(1/6)X^2+Y^2=1またはX^2+(1/6)Y^2=1になることを示しましたが、折角辺微分を習われたことなので、
これを使って、斜めの楕円のxの範囲(xの最大値と最小値)やyの範囲(yの最大値と最小値)を求めることが出来ます。
2x^2+4xy+5y^2=6 …(1)
xで偏微分して
4x+4y=0 ⇒ y=-x …(2)
(1)と(2)を連立にして解けば、(x,y)=(√2,-√2),(-√2,√2)
これから x=√2のときyの最小値-√2, x=-√2のときyの最大値√2 であることが分かります。
また(1)をyで偏微分して
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Qこれはなぜ楕円なんですか?

x^2+xy+y^2-1=0
これはなぜ楕円になるんですか?

(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1の形にならないんですけど、なぜ楕円なんですか?

Aベストアンサー

>なぜこの形(x^2+xy+y^2-1=0)を見て45°回転していると分かるんでしょ>うか?

元の式がx,yの対称式、つまりxとyを入れ替えたときもとの式と同じ式になること。
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なお1次変換についてはたとえば

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/linear_image3.html

あたりを参照のこと。

Qx/(x^4 +1)の積分

自分の回答では置換積分法を使う事で log|x^8 +1| /2 と出たのですが、回答には arctanx^2/2 と記されていました。
頭の悪い私には「なんで急にarctanが出てて来たの!?」という感じで非常に混乱しています。
誰か教えて頂けませんでしょうか?

Aベストアンサー

x^2=tとおくと
2xdx=dt

∫xdx/(x^4+1)dx
=(1/2)∫du/(u^2+1) (公式使用)
=(1/2)tan^-1(u)+C
=(1/2)tan^-1(x^2) +C

Q∫1/x√(x^2+1) の積分について。

∫1/x√x^2+1を積分しろ
という問題があるのですが、解答をみると
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と、置き換えて積分していくのですが、僕は
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とおいて積分したのですが、これでは出来ないのでしょうか?
一応これでも計算はできた(つもり?)のですが、解答と答えが違っていたのでどこかで、ミス(思い違い?してはいけないことをした?)があったのかと思うのですが…。

答えは
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|
です。
僕の置換の方法でやると、
1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1|
です。

Aベストアンサー

ふつうに書き始めましたが、多重括弧で目が回り、全角になってしまいました。御検証ください。
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|

     |x-1+√(x^2+1)|
 Log ――――――――――――
     |x+1+√(x^2+1)|


     |[x-1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
      |[x+1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|


     |[x-(1-√(x^2+1))][x+(1ー√(x^2+1))]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
              |(x+1)^2-(x^2+1)|


     |x^2-(1-√(x^2+1))^2|
=Log―――――――――――――――
              |2x|


     |x^2-1+2√(x^2+1)-x^2-1|
=Log――――――――――――――――――
              |2x|


     -1+2√(x^2+1)-1
=Log――――――――――――
              |2x|


     √(x^2+1)-1
=Log―――――――――
        |x|


     [√(x^2+1)-1][√(x^2+1)+1]
=Log―――――――――――――――――
        |x[√(x^2+1)+1]|


         |x^2|
=Log――――――――――――
     |x[√(x^2+1)+1]|


           |x|
=Log――――――――――――
      √(x^2+1)+1


=Log|x|-Log[1+√(x^2+1)]
------------------------------------------------------------

1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1|

   1        √(x^2+1)-1
 ――― ・ Log――――――――――――
   2        √(x^2+1)+1


   1        [√(x^2+1)-1][√(x^2+1)+1]
=――― ・ Log―――――――――――――――――
   2        [√(x^2+1)+1][√(x^2+1)+1]


   1            |x^2|
=――― ・ Log――――――――――――
   2        [√(x^2+1)+1]^2


            |x|
= Log――――――――――――
       √(x^2+1)+1


=Log|x|-Log[1+√(x^2+1)]
-----------------------------------------------------------

ふつうに書き始めましたが、多重括弧で目が回り、全角になってしまいました。御検証ください。
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|

     |x-1+√(x^2+1)|
 Log ――――――――――――
     |x+1+√(x^2+1)|


     |[x-1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
      |[x+1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|


     |[x-(1-√(x^2+1))][x+(1ー√(x^...続きを読む


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