ステップ応答の周波数特性による解析方法について

制御工学において、伝達関数のsにjωを代入して得られる周波数特性からステップ応答波形を予測するときに疑問があります。
　例えば、周波数特性でω＝ω１のときに、ゲインが1/5になり、位相遅れが40°であるような伝達関数があるとします。そこに、sin(ω１ｔ)という信号を入れたら定常状態では出力が1/5×sin(ωt-40°)になりますよね。でもそれは定常状態での話であって、当然過渡状態では違う出力が出ると思うんです。
　で、ステップ応答っていうのは、別に時刻０秒に立ち上がってもいいじゃないですか？つまり、ステップ応答を正弦波の重ね合わせで捕らえた場合、その一つ一つの波は０秒付近では過渡状態にあると思うんです。なのに、定常状態でのゲイン利得や位相特性をつかって、オーバーシュートやリンキングの解析をするところに納得ができません。
　確かに、十分時間がたった後の方形波において、周波数特性から解析するのは納得です。十分時間が立てば、一つ一つの波は定常状態なので、位相特性やゲイン利得をそのまま適用できるからです。なのに、なんで普通のステップ応答にも適用できるのでしょうか？
　すいません。文章が下手なもので、質問の意図を理解してもらえないかもしれませんが、どなたかお願いします。

No.2 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/07/01 16:28

>.... ステップ応答を制限波の合成として考えた場合、ひとつひとつの波はまだ定常状態になってないので、「入出力間の位相対周波数特性が直線（リニア）な関係から外れると、振幅の周波数特性が平坦だとしても、波形は大きく変わってしまうことがある」という理論が適用できないと思うんです。

.....

ベテランなら、定常状態の周波数特性(振幅 & 位相)からステップ応答をある程度予測できるそうです。
しかし、細かなハナシになるとそればかりをあてにするのはリスキーですね。

「まだ定常状態になってない」というのは、そのとおりです。
わざわざ(初期条件を与え)逆変換し、ステップ応答などの時間域シミュレーションで確認するわけです。

この回答への補足

たとえば「群遅延特性」というのも、システムにステップ（正弦波の重ね合わせ）を入れて十分時間がたった定常状態で意味のあるものだと思うんです。「位相遅れがリニアだったら、入力信号の形が変わらずに、時間が遅れて出力が出てくる」、というのも、入力した正弦波の形が周波数特性に示されるような波形になる前の状態（過渡状態）では、意味をなさないと思うんです。そこらへんの数学的根拠が知りたいのですが…。

補足日時：2007/07/01 18:43

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2007/07/01 15:16

まず、原理から考えると、

・系のインパルス応答f(t)が分かってれば、任意の入力波形に対する応答がわかります。
・f(t)をラプラス変換したF(s)やF(jω)は、f(t)と同じ情報を持っています。実際、逆変換してf(t)に戻せますから。
・ということで、F(jω)が分かってれば、任意の入力波形に対する応答が計算できることになります。

で、問題の疑問ですが、
ラプラス変換って、もともと定義から、t<0で0で、t=0で立ち上がる波形入力に対する系の（過渡状態の）応答を考えてるものです。
なんで、ステップ波形を計算できるのは当たり前なんですが。
逆に、定常的な応答を知りたければ、t→∞の極限をとらなければなりません。ただ、正弦波入力に対しては「たまたま」t→∞の操作をとった結果と、F(s)でs=jωとした結果が一致して、定常状態の応答が簡単に計算できるってだけです。

この回答への補足

例えば、
http://www.orixrentec.co.jp/tmsite/know/know_fil …
のページの中盤あたりに
「つまり、アンプやフィルタでは、入出力間の位相対周波数特性が直線（リニア）な関係から外れると、振幅の周波数特性が平坦だとしても、波形は大きく変わってしまうことがある、というわけです。」
とかかれているのですが、これはどう考えても定常状態での
正弦波の合成ですよね？しかし、例えば、1/(s^2+s+1)という
伝達関数にsin波を入れると、定常状態になるまで、時間がかかり、
それまでは、波形がどうなるかはわからないと思うんです。
で、例えば、時刻０秒付近のステップ応答を制限波の合成として考えた場合、ひとつひとつの波はまだ定常状態になってないので、「入出力間の位相対周波数特性が直線（リニア）な関係から外れると、振幅の周波数特性が平坦だとしても、波形は大きく変わってしまうことがある」という理論が適用できないと思うんです。どのように考えればよいので
しょうか？

補足日時：2007/07/01 15:33