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・Xの3次式「X3乗+2X2乗-X-2」とXの2次式「3X2乗+a2乗X-2a」の最大公約数が「X+1」であるとき、aの値を求めよ。
こちらの問題の答えは「1」とあるのですが、答えだけで解き方が載っていないので、求め方がわかりません。どなたか分かる方はいますでしょうか。
そもそも、「式と式の最大公約数」というものがどういうものなのかがつかめていません。最近、参考書で「式と式は割ることができる」ということを学習したばかりなのですが、最大公約数というとどういうことなのかが良くわかりません。それと、最大公約数があるということは、式と式にも最小公倍数もあるということでしょうか。
また、「式と式の最大公約数」というのはどの範囲(例えば数I、数Bなど)で出てくるものなのでしょうか。
質問の数が多くなってしまいましたが、分かる方がいましたら教えていただきたいです。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
P(X)=(X^3)+2(X^2)-X-2
=(X^2)(X+2)-(X+2)
=[(X^2)-1](X+2)
=(X+1)(X-1)(X+2)
Q(X)=3(X^2)+(a^2)X-2a
最大公約(式)が、(X+1) → 共通因数は、(X+1)のみ。
Q(-1)=0
3-(a^2)-2a=0
0=(a^2)+2a-3
(a+3)(a-1)=0
a=-3,1
Q(1)≠0
3+(a^2)-2a=0
(a^2)-2a+3=0
aは実数解を持たないので、OK。
Q(-2)≠0
12-2(a^2)-2a=0
0=2(a^2)+2a-12
(a^2)+a-6=0
(a+3)(a-2)=0
a≠-3,2
三者を合わせると、a=1
----------------------------
この時
Q(X)=3(X^2)+X-2=(X+1)(3X-2)
最小公倍(式)は(X+1)(X-1)(X+2)(3X-2)
>>「式と式の最大公約数」というものが・・・。
数の場合と同じ関係になります。
>>最大公約数というと・・・。
式の場合は、最大公約(式)、最小公倍(式)と言うべきですが、
慣習的に、最大公約数、最小公倍数 と呼んでいます。
>>どの範囲で出てくる・・・。
最大公約数という言葉が使用されてなくても、
因数分解の時の共通因数が、最大公約数に該当します。
最小公倍数は数学IIの分数式の計算で、出てきます。
何れにしても、<数>→<式>と変化したと思えば、良いと思います。
No.2
- 回答日時:
多項式にも最大公約数や最小公倍数が存在します。
整数の素因数分解が、多項式の因数分解にあたると考えられたらいいように思います。
さて、問題の回答ですが、先ずはaの入っていない3次式のほうから因数分解します。
x^3+2x^2-x-2
=x^2*(x+2)-(x+2)
=(x^2-1)(x+2)
=(x+1)(x-1)(x+2)
このことから、3次式に(x+1)を因数にもつことが確認でき、さらにこれが最大公約数なのですから、2次式は (x-1) や (x+2) を因数にもたないことが分かります。
一方、2次式のほうですが、これをf(x)とおきますと、(x+1)を因数にもつことから、f(-1)=0 でなければなりません。そのことからaに関する条件が得られますので、求めていきます。
f(x)=3x^2+a^2*x-2a
f(-1)=3-a^2-2a=0
⇔a^2+2a-3=0
⇔(a+3)(a-1)=0
∴a=-3, 1
ここで、aの値が2つ求まりましたが、これらは単に2次式が(x+1) を因数に持つ条件だけしか満たしていませんので、3次式に含まれている他の因数 (x-1) や (x+2) を持たないことを確認しなければなりません。
そこで、得られたaの値について確かめていきます。
1)a=-3 のとき
f(x)=3x^2+9x+6
=3(x+1)(x+2)
となり、(x+2) を因数にもってしまうので、最大公約数が (x+1) の条件を満たさず不適となります。
2)a=1 のとき
f(x)=3x^2+x-2
=(3x-2)(x+1)
となり、(x-1) や (x+2) という因数をもっていないので、条件を満たすことになります。
以上のことから、aの値は、
∴a=1
と求められます。
No.1
- 回答日時:
>「式と式の最大公約数」というものがどういうものなのかがつかめていません。
普通の自然数の場合と同じです。多項式 f, g を共に割り切る多項式 d のことを公約数と言います。
もちろん多項式 f, g 両方で割り切れる多項式 u を公倍数と言います。
最初の問題は 3x^2 + a^2 x - 2a が x + 1 で割り切れるので、a の値が求まり、あとは実際に x + 1 が「最大」公約数かを調べれば良いはず。(解いてないけど)
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