
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>関数f:R→Rが凸関数 .... x1<x2<x3であるx1,x2,x3∈Rに対して、
>{f(x2)-f(x1)}/(x2-x1)≦{f(x3)-f(x1)}/(x3-x1)≦{f(x3)-f(x2)}/(x3-x2) となることを示しなさい。
文字表示がまぎらわしいので、凸関数の定義式を
∀x1,x3∈[a,b],∀λ∈[0,1],f(λx1+(1-λ)x3)≦λf(x1)+(1-λ)f(x3)
と書き直しておきます。
x1<x2<x3 について
λx1+(1-λ)x3 = x2 とおけば、
λ= (x3-x2)/(x3-x1)
1-λ= (x2-x1)/(x3-x1)
f が凸関数ゆえ、
f(x2)≦λ*f(x1)+(1-λ)*f(x3)
f(x2)-f(x1)≦(λ-1)*f(x1)+(1-λ)*f(x3) = (1-λ)*{f(x3)-f(x1)}
これに、1-λ= (x1-x2)/(x1-x3) を代入して
{f(x2)-f(x1)}/(x2-x1)≦{f(x3)-f(x1)}/(x3-x1)
同様に、
0≦λ*{f(x1)-f(x3)} + f(x3)-f(x2)
λ*{f(x3)-f(x1)}≦f(x3)-f(x2)
これに、λ= (x3-x2)/(x3-x1) を代入して、
{f(x3)-f(x1)}/(x3-x1)≦{f(x3)-f(x2)}/(x3-x2)
あとは、二つの不等式を連結して..... 。
詳しく途中計算を入れてくださり、ありがとうございます。
済みませんが、もう少し教えてください。
今既に上のほうで、詰まってしまいました。
>x1<x2<x3 について
>λx1+(1-λ)x3 = x2 とおけば、
>λ= (x3-x2)/(x3-x1)
>1-λ= (x2-x1)/(x3-x1)
こちらを私が計算すると
λx1+(1-λ)x3=x2
λx1+x3-λx3=x2
λx1-λx3=x2-x3
λ(x1-x3)=x2-x3
λ=(x2-x3)/(x1-x3)
となってしまいます。どこがおかしいのでしょうか?
それとこちらは
>1-λ= (x2-x1)/(x3-x1)
λx1+(1-λ)x3=x2
λx1+(1-λ)=x2/x3
この次なのですが
λx1+(1-λ)=x2/x3これのx1をマイナスを付けて右辺の分母分子に持っていくと
>1-λ= (x2-x1)/(x3-x1)
となる計算なのでしょうか?そうすると一番前に残ったλはどこへいったことになるのでしょうか?
問題以前に基礎過ぎて済みません。
No.7
- 回答日時:
>1>0≦λ*{f(x1)-f(x3)} + f(x3)-f(x2)
> 2>λ*{f(x3)-f(x1)}≦f(x3)-f(x2)
>1>はどこから出てきたのでしょうか?
f(x2)≦λ*f(x1)+(1-λ)*f(x3)
の左辺 f(x2) を右辺へ移項しただけ。
ですから、
>また左側の0は
>∀x1,x3∈[a,b],∀λ∈[0,1],f(λx1+(1-λ)x3)≦λf(x1)+(1-λ)f(x3)
>このなかの∀λ∈[0,1]←この0から来ているのでしょうか?
は「いいえ」ですね。
No.6
- 回答日時:
>3>の (λ-1)*f(x1)+(1-λ)*f(x3) = (1-λ)*{f(x3)-f(x1)}
>ここの計算の場合は (1-λ)でくくって、残りのf(x3)とf(x1)を引く(足すではないのですよね)という公式?で覚えたらいいのでしょうか.
(λ-1)と(1-λ)は符号が反対です。どちらかを残して、他方にマイナスつけて中身を反転する、というふつうの演算です。
>4>5>ですが 私が代入すると
>f(x2)-f(x1)≦(x3-x2)*{f(x3)-f(x1)}
>f(x2)-f(x1)≦{f(x3)-f(x1)}/(x3-x1)となり
>左側に分母の(x2-x1)が付かなくなってしまうのですがどこがおかしいのでしょうか?
f(x2)-f(x1)≦(1-λ)*{f(x3)-f(x1)} へ 1-λ= (x2-x1)/(x3-x1) を代入するのですから、(x2-x1) は無くなりません。
[注意] x2-x1 > 0 の場合、両辺を (x2-x1) で割っても不等号の向きは変わりませんけど、
両辺を (x1-x2) で割ると変わりますので、要注意。
>[注意] x2-x1 > 0 の場合、両辺を (x2-x1) で割っても不等号の向きは変わりませんけど、
>両辺を (x1-x2) で割ると変わりますので、要注意。
ありがとうございます。
もう少しお願いします。
1>0≦λ*{f(x1)-f(x3)} + f(x3)-f(x2)
2>λ*{f(x3)-f(x1)}≦f(x3)-f(x2)
1>はどこから出てきたのでしょうか?
また左側の0は
>∀x1,x3∈[a,b],∀λ∈[0,1],f(λx1+(1-λ)x3)≦λf(x1)+(1-λ)f(x3)
このなかの∀λ∈[0,1]←この0から来ているのでしょうか?
No.5
- 回答日時:
>λ=(x2-x3)/(x1-x3) となってしまいます。
どこがおかしいのでしょうか?間違ってはいませんよ。分母・分子とも負になるだけで、結果は同じです。
つまり、
(x2-x3)/(x1-x3) = (x3-x2)/(x3-x1)
そのあとの 1-λ は、1 から上式の λ=(x2-x3)/(x1-x3) を差し引きすれば求まります。
つまり、
1-λ = 1 - (x2-x3)/(x1-x3) = (x1-x2)/(x1-x3) = (x2-x1)/(x3-x1)
この回答への補足
>f が凸関数ゆえ、
凸関数のときは
f(x2)≦λ*f(x1)+(1-λ)*f(x3)
凹関数のときは
f(x2)≧λ*f(x1)+(1-λ)*f(x3)
で良いのでしょうか?
ありがとうございます。
確かにそうでした!
更に稚拙な質問になっていまうのですが、もう少しお願いします。
1>f が凸関数ゆえ、
2> f(x2)≦λ*f(x1)+(1-λ)*f(x3)
3> f(x2)-f(x1)≦(λ-1)*f(x1)+(1-λ)*f(x3) = (1-λ)*{f(x3)-f(x1)}
4>これに、1-λ= (x1-x2)/(x1-x3) を代入して
5> {f(x2)-f(x1)}/(x2-x1)≦{f(x3)-f(x1)}/(x3-x1)
3>の
(λ-1)*f(x1)+(1-λ)*f(x3) = (1-λ)*{f(x3)-f(x1)}
ここの計算の場合は
(1-λ)でくくって、残りのf(x3)とf(x1)を引く(足すではないのですよね)という公式?で覚えたらいいのでしょうか.
それから
3> f(x2)-f(x1)≦(λ-1)*f(x1)+(1-λ)*f(x3) = (1-λ)*{f(x3)-f(x1)}
この = (1-λ)*{f(x3)-f(x1)}は
λ-1)*f(x1)+(1-λ)*f(x3)に対するイコールですよね?
すると
4>5>ですが
私が代入すると
f(x2)-f(x1)≦(x3-x2)*{f(x3)-f(x1)}
f(x2)-f(x1)≦{f(x3)-f(x1)}/(x3-x1)となり
左側に分母の(x2-x1)が付かなくなってしまうのですが
どこがおかしいのでしょうか?
No.4
- 回答日時:
あ~, やっぱりそんな定義ね....
図形的に考えるのが簡単だと思う.
つまり, その定義は「x1 < x2 < x3 のとき, 点 (x2, f(x2)) は 2点 (x1, f(x1)), (x3, f(x3)) を通る直線より下にある」ということを意味します. これで全ての点対に対して直線の傾きを考えれば終了.
アドバイスありがとうございまいした。
解くときに、図形を考えてみたのですが、ちょっと私の能力では、まだ無理でした^^;
その後、アドバイス通り図形で考えてみると、おっしゃる意味がわかりました。参考になりました。
No.2
- 回答日時:
凸関数の定義はいくつかあると思いますが、aを固定するとき、
{f(x)-f(a)}/(x-a)
が増加関数であるとして良いと思います。
2点(x,f(x)),(a,f(a))を結ぶ直線の傾きが増加するということです。
こうすると、左側の不等式はa=x1を固定点と考え、x2<x3より成り立つ
ことが分かり、右側の不等式はa=x3を固定点と考え、x1<x2より成り立
つことが分かります。
(分子・分母の項の順番を変えて
{f(x1)-f(x3)}/(x1-x3)≦{f(x2)-f(x3)}/(x2-x3)
を考えます。)
他にも、書かれた、
∀x1,x2∈[a,b],∀λ∈[0,1],f(λx1+(1-λ)x2)≦λf(x1)+(1-λ)f(x2)
という定義もありますが、これは任意の2点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))を
結ぶ線分よりも関数のグラフが下にあるということです。
これはλx1+(1-λ)x2=x3としてλ=(x3-x2)/(x1-x2)とし、これを上の
不等式に代入すると、前の定義と同じになります。
結局どちらの定義でも同じです。
他にもf(x)が微分可能ならばf’’(x)≧0ならば凸などもあります。
いずれの定義でも、下に凸な関数のグラフを描いて算式の意味すること
を描いてみると直感的には分かると思います。
色んな解き方をとても丁寧に説明をしてくださり、ありがとうございました。
今はまだ歯が立たない感じではありますが
慣れだしたら、固定点をとるやり方も解けるようにしたいと思います。
おかげで、何となくこの問題の趣旨が後で、わかってきました。
参考になりました。
No.1
- 回答日時:
ちなみに「凸関数」はどのように定義されているんでしょうか?
定義によってはほぼ一瞬で証明できたりします.
この問題が書いているレジュメには、他に何も書いていませんでした。
学校でこれと一緒に並行して使っている教科書の解説の
凸の定義は
a,b∈R,a<bとする
関数f:[a,b]→Rが凸関数である iff
∀x1,x2∈[a,b],∀λ∈[0,1],f(λx1+(1-λ)x2)≦λf(x1)+(1-λ)f(x2)
ですが、何のことやらさっぱりわかりません。
他のページの証明の解説のところでは、
テーラー展開定理も載っているのですが、これを使えば良いのかどうかもわかりません。
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