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f(x)=x(π-x) (0<x<π)のフーリエ余弦級数を求めよ。さらにパーセバルの等式を用いてΣ(1/n^4)[n=1..∞]の値を求めよ。

という問題なのですがフーリエ余弦級数はf(x)=(π^2/6)-Σcos2nx/(n^2) [n=1..∞]と出ました(これも合っているか分からないのですが)。この後はどのようにしてΣ(1/n^4)[n=1..∞]の値を求めればいいのでしょうか。

どなたかよろしくお願いいたします。

A 回答 (4件)

ごめんなさい。


2∫(0→π) f(x)^2 = π^5/15
でした。

もともとf(x)は(0<x<π)で定義していたので
(-π<x<π)に拡張するためにy軸で反転してコピーした図形を積分するのです。

フーリエ余弦級数は左右対称な図形でなければ使えないのです。
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∫(-π→π) f(x)^2 = π^5/15


は普通の高校生でやった多項式の積分でいいよ。
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この回答へのお礼

∫(-π→π) f(x)^2dx=∫(-π→π)(π^2*x^2-2πx^3+x^4)dx
=[π^2*x^3/3-πx^4/2+x^5/5] (-π→π)
を計算するということでしょうか。
どうしてもπ^5/15になってくれないのですが。。。
16π^5/15になってしまいます。。。何度もすみません。

お礼日時:2007/07/25 00:56

ごめんタイプミス




f(x)=a0*e0 + a1*e1 + a2*e2 + .....+ ak*ek +.....
a0=(π^2/6)*/√2π
ak=-(cos2kx/(k^2)) * √π
と書ける。
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余弦級数は正解。



e0=1/√2π
e1=cosx /√π
e2=cos2x /√π
.......
ek=coskx /√π
.......
と置く。

∫em*en=1 (m=n)
∫em*en=0 (m≠n) である

f(x)=a0*e0 + a1*e1 + a2*e2 + .....+ ak*ek +.....
a0=(π^2/6)*/√2π
ak=(cos2kx/(k^2)) * √π
と書ける。

↓パーセバル等式
∫f(x)^2 = a0^2 + a1^2 + a2^2 + ...... ak^2 + ....
(左辺) = π^5/15


答えはπ^4/90
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

(左辺) = π^5/15
というところの計算ができなくて困っています。。

お礼日時:2007/07/24 23:34

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Qパーセバルの等式(Σ1/n^2)

こんばんは。

xのフーリエ級数
 Σ(n=1,∞)(((-1)^(n+1))/n)
を利用して
 Σ(n=1,∞)(1/n^2)
の値を求める問題をやっています。

パーセバルの等式から
 (1/π)∫(-π~π)(x^2)dx = Σ(n=1,∞)(((-1)^(n+1))/n)^2
について
 (左辺)
  = (1/π)*((π^3)/3+(π^3)/3)
  = (2/3)*π^2
 (右辺)
  = Σ(n=1,∞)(1/n^2)
から、
 Σ(n=1,∞)(1/n^2) = (2/3)*π^2
と計算したのですが、答えは (π^2)/6 のようです。

何が間違っているのかまったく分からない状態です。分かる方いらっしゃいましたら是非教えてください。
よろしくお願いします。

数式見づらくてごめんなさい。。

Aベストアンサー

理由は簡単です。
xの(-π,π)のフーリエ級数展開が間違っているのです。

x=Σ(n=0~∞)(-2cos(nπ)/n)sin(nx)
です。
2が抜けています。

Qベクトル場の面積分に関してです

1.半球面S:x^2+y^2+z^2=9, z≧0上でのベクトル場f = (-2x, 2y, z)において、
  ∬s f・dS を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。
    (条件:面積分と極座標を用いなければならない)

2.半球面S:x^2+y^2+z^2=9, z≧0上でのベクトル場f = (2x, 2y, z)において、
  ∬s f・dS を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。
    (条件:ガウスの発散定理を用いなければならない)

この2問がどうしても解けないので教えていただけないでしょうか?
特に、1.に関しては「式変形の流れ」、2.に関しては、閉局面として扱って計算した後に底辺を除く必要があるので「底辺の計算方法」だけでも教えていただけると有難いです。

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

ベクトルを表すために
r↑ = (x,y,z)
みたいな表記を使います.

1.
極座標(r,θ,φ)を用いると
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ
であり,S上でrは一定値 r = 3 です.

∫[S] f↑・dS↑ = ∫[S] f↑・n↑ dS

なのですが,S上で
f↑・n↑
= f↑・r↑/r
= (-2x^2 + 2y^2 + z^2)/r
= (-2r^2 sin^2 θ cos^2 φ + 2r^2 sin^2 θ sin^2 φ + r^2 cos^2 θ)/r
= (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)r.

また,
dS = r^2 sin θ dθ dφ.
積分範囲はz ≧ 0なので,θは0からπ/2の値をとりうる.

以上より
∫[S] f↑・dS↑
= ∫[S] f↑・n↑ dS
= r^3 ∫[0,π/2] dθ ∫[0,2π] dφ (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)
= 2π r^3 /3
= 18π.

2.
Sに底面を合わせたものをEとし,Eを表面とする体積領域をVとすると,
ガウスの発散定理より

∫[E] f↑・dS↑
= ∫[V] div f↑ dV
= ∫[V] 5 dV
= 18π×5
= 90π.

で,求める積分は
∫[S] f↑・dS↑ = ∫[E] f↑・dS↑ - ∫[底面] f↑・dS↑
なのですが,底面での単位法線ベクトルは明らかにz軸に平行であるのに対し,
底面においてz = 0ですから,f↑は底面において f↑ = (2x,2y,0)となり
z軸に対して垂直です.
すなわち,底面においてf↑とn↑とは垂直なのです:
f↑・n↑ = 0.

したがって
∫[底面] f↑・dS↑ = ∫[底面] f↑・n↑ dS = 0
であり,求める積分は
∫[S] f↑・dS↑ = ∫[E] f↑・dS↑ = 90π.

ベクトルを表すために
r↑ = (x,y,z)
みたいな表記を使います.

1.
極座標(r,θ,φ)を用いると
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ
であり,S上でrは一定値 r = 3 です.

∫[S] f↑・dS↑ = ∫[S] f↑・n↑ dS

なのですが,S上で
f↑・n↑
= f↑・r↑/r
= (-2x^2 + 2y^2 + z^2)/r
= (-2r^2 sin^2 θ cos^2 φ + 2r^2 sin^2 θ sin^2 φ + r^2 cos^2 θ)/r
= (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)r.

また,
dS = r^2 sin θ dθ dφ.
積分範囲はz ≧ 0なので,θは0からπ/2の値をとりうる.

以上より
∫[S] f↑・dS↑
= ∫[S] f↑...続きを読む

QΣ[n=1..∞]1/n^4=π^4/90を求める際,どの正規直交関数系を使えばいいのかの選択基準は?

こんにちは。

[問]f(x)=x^2(x∈[-π,π])のフーリエ級数を求め,それを使ってΣ[n=1..∞]1/n^4=π^4/90を示せ。
[解]
f(x)(=x^2)π^2/3+4Σ[k=1..∞](-1)^kcos(kx)/k^2=π^2/3-4cosx+cos(2x)-4/9cos(3x)+…
これを正規直交関数{u_k(x)}={1/√2,cosx/√π,sinx/√π,cos(2x)/√π,sin(2x)/√π,…}を使って書き直すと
1/√(2π)・√(2π)・π^2/3+cosx/√π(-4√π)+sinx/√x・0+cos(2x)/√π・1+sin(2x)/√π・0+cos(3x)/√π・(-4√π/9)+… …(1)
従って,a_0=√(2π)/3,a_1=-4√π,a_4=0,a_5=-4√π/9,…
従って(1)は
Σ[k=0..∞]a_k^2=a_0^2+a_1^2+a_3^2+a_5^2+…=2π^5/9+16π+π+16π/81+…=2π^5/9+16Σ[k=1..∞]1/k^4 …(2)
一方,∥f(x)∥^2=∫[π..-π](f(x))^2dx=∫[-π..π]x^4dx=2π^5/5 …(3)
(2)と(3)をParsevalの等式「∥f(x)∥^2=Σ[k=0..∞]a_k^2」に代入して2π^5/5=2π^5/9+16πΣ[k=1..∞]1/k^4
∴Σ[n=1..∞]1/n^4=π^4/90

の問題についてですが正規直交関数は色々あると思いますがこの問題では特に
{u_k(x)}={1/√2,cosx/√π,sinx/√π,cos(2x)/√π,sin(2x)/√π,…}
を使えばいい事とどのようにして知る得るのでしょうか?

こんにちは。

[問]f(x)=x^2(x∈[-π,π])のフーリエ級数を求め,それを使ってΣ[n=1..∞]1/n^4=π^4/90を示せ。
[解]
f(x)(=x^2)π^2/3+4Σ[k=1..∞](-1)^kcos(kx)/k^2=π^2/3-4cosx+cos(2x)-4/9cos(3x)+…
これを正規直交関数{u_k(x)}={1/√2,cosx/√π,sinx/√π,cos(2x)/√π,sin(2x)/√π,…}を使って書き直すと
1/√(2π)・√(2π)・π^2/3+cosx/√π(-4√π)+sinx/√x・0+cos(2x)/√π・1+sin(2x)/√π・0+cos(3x)/√π・(-4√π/9)+… …(1)
従って,a_0=√(2π)/3,a_1=-4√π,a_4=0,a_5=-4√π/9,…
従って(1)は
Σ[k=0..∞]a_k^2=a_0^2+a_1^2+a_3^2+...続きを読む

Aベストアンサー

 どうやら、話の筋がこんぐらがってるように思います。

 この[問]全体の構造を見れば、これは「x^2の直交展開からΣ[n=1..∞]1/n^4を計算するにはどんな直交関数系を使えば良いか」という話ではない。「x^2の直交展開から何が言えるか」という話ですらない。そもそも「x^2」なんざ脇役です。

 もし[問]が「Σ[n=1..∞]1/n^4を計算せよ」というのだったら、アプローチはいろいろある。
 公式集で探すとか、とりあえず検索掛けてみるとか、知ってる公式が使えないかとか、部分和を作ってみるとか、項の順序をいじってみるとか、漸化式にならないかとか、余分な項を入れてみるとか、変数変換してみるとか、もっと一般化してみるとか、何か旨い母関数のテイラー展開とか、その微分とか積分とか、何か変な関数の積分に出て来る漸化式の応用、いや案外発散するんじゃないかとか、…
 それじゃ、アプローチの仕方が絞れなくて大変でしょう。どこから手を着ければいいのか分からなくて、多くの人は諦めちゃうだろう。たとえ見込みのあるアプローチを見つけても、その計算に公式集が要るようじゃ何やってんだか分からない。ってんで、「x^2のフーリエ級数を考えてみなさい」というスペシャルヒントが書いてある。そういう問題だと捉えることができます。

 ですが、この[問]は解いて終わりというだけのものじゃない。そのエッセンスはむしろ、こういうことではないでしょうかね:
 「Σ[n=1..∞]1/n^4は幾らか。という話はちょっと置いといてですね、全然関係なさそうな、x^2のフーリエ級数展開をやってごらんなさい。いーからやんなさい。ともかくやるんです。…するとどーです、Σ[n=1..∞]1/n^4の値が旨い具合に現れる。まーちょっと、この結果を味わってみませんか。総和を計算するために一見迂遠なフーリエ級数を使うなんて、面白いでしょ。しかも、πですよ、π。この級数からπが出て来るなんて予想できました?ナント、πの値を計算する公式が得られちゃった訳です。楽しいね」。

 たとえば「じゃあ、もっと他の関数のフーリエ級数展開を使うと、このやり方でどんな無限級数が計算できるかな?」という風にでも、興味が発展すると良いのですけどね。

 どうやら、話の筋がこんぐらがってるように思います。

 この[問]全体の構造を見れば、これは「x^2の直交展開からΣ[n=1..∞]1/n^4を計算するにはどんな直交関数系を使えば良いか」という話ではない。「x^2の直交展開から何が言えるか」という話ですらない。そもそも「x^2」なんざ脇役です。

 もし[問]が「Σ[n=1..∞]1/n^4を計算せよ」というのだったら、アプローチはいろいろある。
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Qフーリエ変換の問題について

f(x)=e^(-ax^2)  (-∞≦x≦∞,a>0)
のフーリエ変換が分かる方いましたら是非教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

搦め手からの別解です

F(ω)=∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx

とします。これをωで微分すると

dF/dω = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*(-ix)e^(-i*ω*x) dx

ここで d/dx(e^(-a*x^2)) = -2ax e^(-a*x^2)なので

dF/dω = (i/2a)∫[-∞≦x≦∞] d/dx(e^(-a*x^2))e^(-i*ω*x) dx

部分積分して

dF/dω = (i/2a){ [e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) ]_{-∞}^∞ - ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) d/dx(e^(-i*ω*x)) dx }

第1項めはe^(-a*x^2)のために±∞で0なので

dF/dω = (i/2a) {-∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) (-iω)e^(-i*ω*x) dx }
= -(ω/2a)∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) dx = -(ω/2a)F(ω)

これは簡単な微分方程式なのですぐに解けて

ln F(ω) = -(1/4a) ω^2 + C

F(ω) = A e^{-ω^2/4a} (A = e^C)

積分定数Aは、

F(0) = A = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) dx = √(π/a)

によって決まり、最終的に

F(ω) = √(π/a) e^{-ω^2/4a}

搦め手からの別解です

F(ω)=∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx

とします。これをωで微分すると

dF/dω = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*(-ix)e^(-i*ω*x) dx

ここで d/dx(e^(-a*x^2)) = -2ax e^(-a*x^2)なので

dF/dω = (i/2a)∫[-∞≦x≦∞] d/dx(e^(-a*x^2))e^(-i*ω*x) dx

部分積分して

dF/dω = (i/2a){ [e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) ]_{-∞}^∞ - ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) d/dx(e^(-i*ω*x)) dx }

第1項めはe^(-a*x^2)のために±∞で0なので

dF/dω = (i/2a) {-∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) (-iω)e^(-i*ω*x) dx }
= ...続きを読む

Q単位法線ベクトルの問題なんですが。。。

曲面 4x^2y+z^3 = 4 上の点P(1, -1, 2)における単位法線ベクトルnを求めよ.

という問題です.

他の質問を見てf = (x,y,z) = 4x^2y+z^3-4
とするのはわかったのですがgradfがわからないです。。。

Aベストアンサー

未消化のgrad fを使わなくても以下のように出来ます。
いずれにしてもただ丸写しするのではなく教科書や講義ノートや参考書など
を復習して基礎的なことを勉強して、理解するだけの自助努力が大切です。

f(x,y,z)=4(x^2)y+z^3-4=0

全微分して
 8xydx+4(x^2)dy+3(z^2)dz=0

点P(1,-1,2)の座標を代入
 -8dx+4dy+12dz=0
 4(-2,1,3)・(dx,dy,dz)=0
法線ベクトル:±(-2,1,3)
 |(-2,1,3)|=√(4+1+9)=√14
単位法線ベクトルn=±(-2,1,3)/√14

Q初期値問題と境界値問題について

 初期値問題と境界値問題の違いについて知りたいのですが、教えていただけないでしょうか。つまり、初期条件と境界条件の違いです・・・。
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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

初期値問題と境界値問題はどちらも微分方程式に関する分類です。

例として常微分方程式をとります。
関数Yi、i=1, 2, 3, ・・・・,nに対して
 dYi
-----=f'i(X,Y1,Y2,・・・・・,Yn)  i=1,2,・・・・,n
dX
の一般形をしたn元連立微分方程式がある。
このとき、関数Yiを完全に求める(ただ1つに定める)には、n個の数値条件が
必要となります。
その数値条件を、すべてのYiについて出発点Xsでの値を与える。
これが初期値問題です。
そして、2転移上のXでYiの値を定める。
一般的には、条件のいくつかを出発点Xsで、残りを終点Xfで与える。
これが境界値問題です。

つまり、出発点からその後の様子を調べるのが初期値問題で、一般的には出発点と
到着点からその間の様子を調べるのが境界値問題です。

わかりましたでしょうか?

Q速度ポテンシャルと流れ関数

二次元非圧縮性流れでx,y方向の速度成分が

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v=x^2-y^2+1

であるとき、速度ポテンシャルφ、流れ関数ψの
求めからが分かりません。

ぜひ、教えてください。

Aベストアンサー

W(z)=φ+iψ とおくと、

dW/dz = u-iv
   = 2xy-i(x^2-y^2+1)
   = -i(z^2+1)

より、両辺をzで積分して

W(z) = ∫(-i(z^2+1))dz
   = -i(z^3/3 + z) + const.
   = -i((x+iy)^3/3 + (x+iy) + C0+iC1
   = x^2y-y^3/3+y+C0 + i(xy^2-x^3/3-x+C1)

よって

φ = x^2y-y^3/3+y+C0
ψ = xy^2-x^3/3-x+C1

となります。

Qe^-2xの積分

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いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

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Q開放電圧って?

電気回路を勉強しているのですが、参考書を読んでいると、「開放電圧」という言葉が説明なしに使われているのですが、これはどういう電圧のことなのでしょうか?

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こんばんは。

出力端子に何もつないでいないときの、出力端子の電圧のことです。

出力端子の電圧は、理想的に、何を接続しても同じ電圧であればよいのですが、
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内部抵抗が非常に高い、理想的な電圧計で測ったときの電圧が開放電圧である、という考え方でもよいです。

Q畳み込み積分定理の証明について

2つの関数g(x)、w(x)のフーリエ変換をそれぞれG(f)、W(f)とする時、次の関係の証明をせよ
∫[-∞,∞]G(f)・W(f)exp(i2πfx)df=∫[-∞,∞]g(τ)w(x-τ)dτ

この証明が課題として出されたのですがどのように証明すればいいのか全然わかりません……
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G(f),W(f)の部分にフーリエ変換の定義式をそのままはめ込みます。
その際、積分の変数はそれぞれ別にしておかないといけません。

すると与式の左辺が3重積分の形になります。
こうすると、fはg().w()には含まれず、exp()の部分のみに現れるようになります。
この3重積分をfの積分から行います。
すると、そこからδ関数があらわれて...

まずは、補足にフーリエ変換の定義式を当てはめた与式の左辺を書いてみてください。


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