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No.1
- 回答日時:
核,核空間という概念は、線形代数に限らず、代数を扱うときにはいつでも出てきます(群とかでも)。
それは、核と準同型写像を組にして使うと、その代数系の基本構造が明らかになるからです。線形代数の場合、準同型写像とはじつは、線形写像(行列)の事であり、写像として見た行列(線形写像)は、ベクトル空間からベクトル空間への準同型写像になっています。
参考までに以下の定理は、線形写像の基本構造とか、標準分解とか勝手に呼んでいるものです。
定理.
VとWを有限次元ベクトル空間,f:V→Wかつ線形,S=Ker(f),(+)を直和として、V=S (+) T,TはSの直和補空間,f | Tを、fのTへの制限とする。以下が成り立つ。
(1) f(V)=f(S(+)T)=f(S)+f(T)={0} (+) f(T)=f(T).f(T)⊂Wは、Wの部分空間.
(2) f | T:T→f(T)は、同型写像で全単射.
(3) 従って、線形なf^(-1):f(T)→Tがある.
(4) 従って、a,b,c,・・・∈Tが独立なら、f(a),f(b),f(c),・・・∈f(T)は独立(逆も真).
(5) 従って、dim(T)=dim(f(T))=rank(f).
上記定理は、次元定理(と勝手に呼んでいる)dim(Ker(f))+dim(f(V))=dim(V)と同値になります。また上記定理を、行列式論の支援のもとに、行列の言葉で書き直したものが、対角化可能定理です。
さらに上記定理で、Ker(f)による同値類を考えると、線形空間の準同型定理と同値である事もわかり、商ベクトル空間の価値がわかって、テンソルの構成につなげる事もできると思います。
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