法線を使って、ある地表の一点の高さを調べるには

Question

法線を使って、ある地表の一点の高さを調べるには

（Ｘ，Ｙ，Ｚ）座標の中のある一点（Ｘ，Ｚ）の地表の高さ（Ｙ）
を知るのに、その一点のまわりの三点（Ａ、Ｂ、Ｃ）の座標値（Ｘ，Ｙ，Ｚ）
がわかっていれば、法線を使って知りたい点の高さがわかると聞いたのですが

（Ａ，Ｂ，Ｃ）でできる平面の法線を求めて
点（Ａ）と調べたい点（Ｔ）を結んだ線（ＡＴ）を作ると、
線（ＡＴ）と法線は直行してるので
線（ＡＴ）と法線の内積＝０
という所までは、わかったのですが、

その内積を表す式と
法線の各成分、点（Ａ）の各成分、調べたい点Ｔ（Ｘ，Ｚ）成分
はすでにわかっているので、調べたい点Ｔ（Ｙ）成分を
内積の式から抽出でき、
式を展開できるということの、

その式がどうしてもわかりません。
その式がわかれば、ある地点（Ｘ，Ｚ）の（Ｙ）成分がわかるらしいのですが、

どなたかご存知の方がおりましたら
よろしくお願い致します。

inara · Accepted Answer

>三、四角形（傾きは任意）のすべての頂点位置はわかっている状態で、面の中のある一点（面に含まれる）の3次元座標のＹ位置を調べる

それでしたら、そのある１点の座標を ( Xp, Yp, Zp ) として、Xp と Zp を与えたときに、Yp はいくつになるかということを知りたいわけですね。
平面の方程式は
　　　nx*x + ny*ｙ + nz*z = d --- (1)
ですので、これが３点 A( Xa, Ya, Za )、B( Xb, Yb, Zb )、C( Xc, Yc, Zc ) を通るなら
　　　nx = d*( Za*Yc - Yc*Zb - Ya*Zc + Zc*Yb + Ya*Zb - Za*Yb )/( - Xa*Yc*Zb - Ya*Xb*Zc + Xc*Ya*Zb + Xa*Zc*Yb + Za*Xb*Yc - Za*Xc*Yb ) --- (2)
　　　ny = d*( Xb*Za - Xb*Zc + Xa*Zc - Xa*Zb - Xc*Za + Zb*Xc )/( - Xa*Yc*Zb - Ya*Xb*Zc + Xc*Ya*Zb + Xa*Zc*Yb + Za*Xb*Yc - Za*Xc*Yb ) --- (3)
　　　nz = d*( - Xa*Yc - Ya*Xb + Xc*Ya + Xa*Yb + Xb*Yc - Yb*Xc )/( - Xa*Yc*Zb - Ya*Xb*Zc + Xc*Ya*Zb + Xa*Zc*Yb + Za*Xb*Yc - Za*Xc*Yb) --- (4)
となります（ d の値は分からなくても　nx：ny：nz が分かれば平面は決まります ）。

点 ( Xp, Yp, Zp ) が平面 (1) 上にあるのなら
　　　nx*Xp + ny*Yp + nz*Zp = d --- (5)
が成り立つので、式 (2) ～ (5) から
　　　Yp = - ( - Yc*Za + Yc*Zb + Zc*Ya - Zc*Yb - Zb*Ya + Yb*Za )/( - Xb*Za + Xb*Zc - Xa*Zc + Xa*Zb + Xc*Za - Zb*Xc )*Xp - ( Xa*Yc + Ya*Xb - Xc*Ya - Xa*Yb - Xb*Yc + Yb*Xc )/( -Xb*Za + Xb*Zc - Xa*Zc + Xa*Zb + Xc*Za - Zb*Xc )*Zp - ( -Yc*Zb*Xa + Zc*Yb*Xa - Xb*Zc*Ya + Xc*Zb*Ya + Xb*Yc*Za - Xc*Yb*Za )/( - Xb*Za + Xb*Zc - Xa*Zc + Xa*Zb + Xc*Za - Zb*Xc )
となって、Yp を Xp と Zp を使って表わすことができます。このような計算は手計算ではとてもできないので、数式処理ソフトを使いました。

aquarius_hiro · Answer

ANo.3です。

何がお分かりにならないのかが、よくわからないのですが。

> Y = Y_A - [ k (X - X_A) + m (Z - Z_A)]/l 
> の形をだそうと考えていましたが（できませんでしたが）

この式の導出の仕方がわからないという意味ですか？

まず、内積の式が

k (X - X_A) + l (Y - Y_A) + m (Z - Z_A) = 0 

となることは良いですよね？

ベクトル (k,l,m) と
ベクトルTA = ( X - X_A, Y - Y_A, Z - Z_A )
の内積は、各成分どうしかけたものを足せば良いわけです。

ベクトル(A_x,A_y,A_z) とベクトル(B_x,B_y,B_z) の内積は
A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z = 0 
になります。
これを今の場合に適用すると、

k (X - X_A) + l (Y - Y_A) + m (Z - Z_A) = 0 

ですね。

この先の変形がわからないという意味ですか？

第1項と第3項を右辺に移項します。

l (Y - Y_A) = - [ k (X - X_A) + m (Z - Z_A) ]

lで両辺を割ります（lはエルです）

(Y - Y_A) = - [ k (X - X_A) + m (Z - Z_A) ]/l 

両辺にY_Aを加える

Y = Y_A - [ k (X - X_A) + m (Z - Z_A) ]/l 

右辺はすべてわかっているという仮定なので、これで Y の式が求まったことになります。


> どちらが正しいのか到底私には判断できません。

ANo.2のご回答の式はフォローしていませんが、
たぶん、同じものを違うインプットで表現したものだと思いますよ。

ANo.2のご回答の式は、おそらくABCの座標を使い表現したものだと思います。

ご質問の文面では、法線ベクトルがわかっているという前提なので、私はその情報を使った式を、提示しました。

ご質問には、

> 線（ＡＴ）と法線の内積＝０
> という所までは、わかったのですが、
> 
> その内積を表す式と
> 法線の各成分、点（Ａ）の各成分、調べたい点Ｔ（Ｘ，Ｚ）成分
> はすでにわかっているので、調べたい点Ｔ（Ｙ）成分を
> 内積の式から抽出でき、
> 式を展開できるということの、

と書かれていて、それはまさしくこの式を求めるという意味ではないのですか？


> inara様の式の方が答の精度が高そうな気はしますが（想像）

別に何も近似はしてないので、私の提示した式も、ちゃんと正確な式ですよ。



ちなみに、法線ベクトルは「外積」というのを使えば簡単に求まりますよ。

A: (Xa,Ya,Za)
B: (Xb,Yb,Zb)
C: (Xc,Yc,Zc) 

とおくと、

k = (Yb-Ya)(Zc-Za) - (Zb-Za)(Yc-Ya)
l = (Zb-Za)(Xc-Xa) - (Xb-Xa)(Zc-Za)
m = (Xb-Xa)(Yc-Ya) - (Yb-Ya)(Xc-Xa)

で座標から計算できます。

これを上の Y = … の式に代入すれば、たぶん、ANo.2のご回答の式と一致するのではないかと思います。

aquarius_hiro · Answer

こんにちは。

> 三、四角形（傾きは任意）でその図形のすべての頂点位置
> はわかっている状態で、面の中のある一点（面に含まれる）の3次元座標のＹ位置を調べるという小さい話です。

> その内積を表す式と
> 法線の各成分、点（Ａ）の各成分、調べたい点Ｔ（Ｘ，Ｚ）成分
> はすでにわかっているので、調べたい点Ｔ（Ｙ）成分を
> 内積の式から抽出でき、
> 式を展開できるということの、

法線ベクトルを (k,l,m) とします。
頂点Aの座標を (X_A, Y_A, Z_A) とします。
調べたい点T の座標を (X,Y,Z) とします。

この中でわかっていないのは、Y だけなのですよね？

ベクトルTA = ( X - X_A, Y - Y_A, Z - Z_A ) と、
法線ベクトルが直交する条件から、

k (X - X_A) + l (Y - Y_A) + m (Z - Z_A) = 0 

が成立ちますが、これを単純に解いて、

Y = Y_A - [ k (X - X_A) + m (Z - Z_A)]/l 

で求まった。

・・・というのではいけないのですか？

inara · Answer

ご質問に「地上」とあるので、地球上を想定されているのなら、xyz座標系でなく曲面座標系を使わないといけないと思います。もし地上を平面としていいのなら、3点 ABC を通る平面と、点 T との距離（物体の高さ）を知りたいということですね。

まず、法線というのは平面と直交する直線のことなので、「線（ＡＴ）と法線は直行してる」というのはおかしいです（点 T が地上にあれば別ですが）。点T （物体）から平面 ABC （地面）に直角に垂した線が、その平面と交わる点（つまり物体の真下の地上の点）を P とすれば、線分（ベクトル）PT が法線になるので、これと直交するのは平面上の任意の2点を結ぶ線分（ 例えばベクトルAB、AC、BC ）です。つまり、内積を・で表わせば
　　　AB・PT = BC・PT = CA・PT = 0
が成り立ちます。３つめの式 CA・PT = 0 は、前の2式が成り立てば自動的に成り立ちます（ CA = BC - BA なので、AB・PT = BC・PT = 0 ならば、CA・PT = ( BC - BA )・PT = BC・PT + AB・PT = 0 )。

ベクトルでなく座標で考えると以下のようになります。
まず、点 A, B, C, T, P の座標をそれぞれ ( Xa, Ya, Za )、( Xb, Yb, Zb )、( Xc, Yc, Zc )、( Xt, Yt, Zt )、( Xp, Yp, Zp ) とします。 このうち未知なのは ( Xp, Yp, Zp ) だけで、これが分かれば点 T と点 P の間の距離（物体の高さ）は √{ ( Xt - Xp )^2 + ( Yt - Yp )^2 + ( Zt - Zp )^2 }  です。

xyz 座標系での平面の方程式は一般に
　　　nx*x + ny*ｙ + nz*z = d --- (1)
で表わされます（ nx, ny, nz, d は定数）。nx はn*x でなく、x方向の成分という意味で、( nx, ny, nz ) がこの平面の法線ベクトルの成分になります。この法線ベクトルが 線分PT ならば
　　　nx = Xt - Xp、ny = Yt - Yp、nz = Zt - Zp --- (2)
です。また、4つの点 A, B, C, P はこの平面上になければならないので、それらの座標は式(1) を満足しなければなりません。つまり
　　　nx*Xa + ny*Ya + nz*Za = d --- (3)
　　　nx*Xb + ny*Yb + nz*Zb = d --- (4)
　　　nx*Xc + ny*Yc + nz*Zc = d --- (5)
　　　nx*Xp + ny*Yp + nz*Zp = d  --- (6)
となります。式(2)～(6)を解けば、未知数 ( Xp, Yp, Zp ) と d が出ますが大変複雑な式になります（ちゃんと解けます）。

これはレポートや試験問題の類ではないと思いますが、もし、ご趣味でこのような計算をしたいのであれば、計算プログラム（Excel VBA）を紹介します（字数制限が問題ですが）。Excel のソルバーで解けないことはないですが、初期値を誤ると収束しないので、確実に解の出る方法が良いかと思います。

法線を使って、ある地表の一点の高さを調べるには

ANo.3です。

こんにちは。

>三、四角形（傾きは任意）のすべての頂点位置はわかっている状態で、面の中のある一点（面に含まれる）の3次元座標のＹ位置を調べる

ご質問に「地上」とあるので、地球上を想定されているのなら、xyz座標系でなく曲面座標系を使わないといけないと思います。

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