単振動

こんばんは。高校物理の単振動に関する問題です。
[問題]
振幅A、振動数ｆの単振動をしている物体の、振動の中心を原点としたとき、時刻ｔにおける物体の変位ｘを表す式を記せ。ただし、時刻ｔ＝０における変位はAであったとする。

[解答]
この解答として、単振動の変位はｘ＝Ａsin（ωt+Φ）で与えられる。ω＝２πｆであり、周期ｔ＝０における変位はＡであるから、Φ＝π/２となり、ｘ＝Ａcos２πｆt　

とありました。ここで質問ですが、どうして単振動の変位は
ｘ＝Ａsin（ωt+Φ）という式が導き出されるのでしょうか？具体的に、Φとはどういうものですか?

　よろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： noname#37606 回答日時： 2007/08/21 02:25

[少し難しい解説]

もし高三で数学IIIを理解しているのなら、ｘ＝Ａsin（ωt+Φ)をtで二回微分してみてください。ωをうまく定めれば（具体的にはω=sqrt(k/m))、xが単振動の運動法方程式mx''=-k xを満たす解となっていることが分かるはずです。二階の微分方程式を解くには積分が二階必要で、数IIで習ったように二階積分すると一般をあらわすには二個の積分定数が必要です。（ＡとΦ）
(これが分かれば最高ですが、もしこれが分からなくても気にしないでください。勉強を続ければそのうち分かります）

[簡単な解説]
単振動がsinあるいはcosで表せる事を認めたとします。
振動を特徴付ける量は何でしょうか？
1.まず振幅を汁必要があります。これがAです
2.それから振動の速度の情報も必要があります。これがωです。
3.実はこれだけでは足りず、振動を完全に記述するには、振動開始の時(t=0)のときにどの位相にあったかをしる必要があります。バネの問題なら、t=0のときにバネが伸びているときに手を離す問題や、あるいは釣り合いの位置から何かではじいて振動を開始させる問題など、いろいろ考えられ、これを区別する必要があります。少し考えればΦの値を変えることで、これが式の上で再現できるのが分かるのではないでしょうか？
バネが伸びた状態から振動をはじめる、あるいは振り子が高い位置から振動をはじめるようなときは、x=Acos(ωt)になるのは参考書にも書いてあるでしょうが、実はΦ=90度 or pi/2ラジアンとすることで、同じ事が再現できます。つまりｘ＝Ａsin（ωt+Φ)で全ての場合が再現できるのです。（中途半端な位置から振動をはじめた場合などもうまくΦを選べば大丈夫です）

こう考えると、
> ちなみに、参考書には単振動の変位に関する公式はｘ＝Ａsin（ωt）
> となっておりますが、ｘ＝Ａsin（ωt）に対して、どのような条件付けがされるとｘ＝Ａsin（ωt+Φ）になるのでしょうか？

この参考書の記述は一般的には正確ではなく、単振動の変位の公式はｘ＝Ａsin（ωt+Φ）とするべきです。ではどの条件のもとでｘ＝Ａsin（ωt）になるかが問題になります。それはΦ=0の時です。これは物理的にはバネが釣り合いの位置から振動をはじめたり、振り子が最下点から上昇することで振動をはじめたりしたときです。サイン関数のグラフを思い浮かべてみてください。

参考になれば幸いです。

この回答への補足

大変わかり易い解説ですね。だいぶんすっきりと整理できました。
ありがとうございます。

補足日時：2007/08/21 06:42

この回答へのお礼

ありがとうございます。
さんこうにさせていただきます。

お礼日時：2007/08/21 05:10

No.4 回答者： edw-19 回答日時： 2007/08/21 00:52

ちゃんと計算なさって下さい。

これはラジアン化せずに度数で計算していますね。

Φ＝π/２
９０度、スタート位置ですね。
９０度は最初に加えねばなりません。

ここからは計算です。

０度から開始します。

なら、０～９０度、９１～１８０度へと角度は変わります。
この間は１８０度、弧度法ではπです。
そのπ/２は９０度を意味します。

ω＝２πｆ
２π＝３６０度
ｆ＝回転数（ｆは１/８で４５度を意味する）
ｘ＝Ａcos２πｆt　→X=RCOS（度数）（９０度＋４５度）

サイン３０度＝コサイン６０度は分かるよね。

９０度から９１度への計算は、８９度で行うか、１度でサインコサインを入れ替えねば計算が合いません。

どう言う連続計算法を用いるのか？
先生に良く聞いてみて。（ラジアンで計算やっちゃってるんで）

まじに専門家こねーかなー。＾＾；

この回答へのお礼

ありがとうございます。
参考にします。

お礼日時：2007/08/21 06:45

No.3 回答者： noname#40706 回答日時： 2007/08/20 23:47

Ａ２です

すみません　Ｆ＝ｋｘ　ではなくて、

Ｆ＝－ｋｘ　　です。

以下　全部　－ｋｘ　としてください。



　

No.2 回答者： noname#40706 回答日時： 2007/08/20 23:44

Ａ１さんの回答にもありますが、

こういう式であらわされる運動が単振動です・・・・・・・・・

とはいってもなかなか納得できないかも知れませんね。

単振り子やばね振り子が往復運動するのは、つりあいの位置（中心）に戻ろうとする力（復元力）がはたらくからです。

Ｆ＝ｋｘ　というおなじみの式です。　これと、運動方程式　Ｆ＝ｍａ　とから、

ｋｘ＝ｍａ　となります。

高校物理では、微分積分の計算は使いませんので、これ以上は苦しいですが、　加速度ａは変位ｘを２回微分したものですので、上の式を微分方程式として解くと、
ｘ＝Ａｓｉｎ（・・・）という式を求めることができるのです。

この式のφは、初期位相といいます。

　http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~masako/exp/kichu/ …


このサイトで、右のグラフが単振動の上下動と考えてください。　このグラフでは、変位０から、よーいドンとスタートしてますが、３０°の位置からスタート（つまり、ｔ＝０のとき３０°の位置にいる）したとしたら、初期位相が３０°、つまり、上の式でφ＝３０°ということです。

変位０からスタートしたら、φ＝０　つまり、φなしの式でいい。センター試験程度の範囲では大体これでいけます。中途半端なところからスタートしたら、φを式の中に入れないといけない。大学受験の難しい問題ではこういうケースもある、という感じです。

あんまりうまく説明できませんので、　単振動　方程式　などで検索したり、参考書などで確認してみて下さい。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
参考にします。

お礼日時：2007/08/21 05:07

No.1 回答者： Denkigishi 回答日時： 2007/08/20 23:06

こういう質問が回答者を一番悩ます質問ですが、高校生だから何とか回答してあげないといけませんね。

単振動とは時間の経過につれて、ｘ＝Ａsin（ωt+Φ）の式に従うものを言います。別に導きだされたのではなく、この式で示される動きを単振動と呼ぶことにしたのです。誰が？なんて聞かないで下さいよ。
この式におけるΦは時間がｔ＝０の時の位相です。言い換えると、振動の開始位置を決めるための定数です。
直線の一般式は、ｙ＝ａＸ＋ｂ　ですね。　この式のｂに代わるものです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。なんとなくわかってきました。
　つまり、X-Y平面においてsinカーブを考えた時に、本来原点を通るべきsinカーブが、ｔ＝０の時振幅Aという条件に従い、原点がX方向にπ/２進んだため、ｘ＝Ａsin（ωt+Φ）という式になったということですね。ということは、もし仮に、ｔ＝０の時に振幅が０ならΦ＝ｎπ　（ｎは整数）ということですね。
　ちなみに、参考書には単振動の変位に関する公式はｘ＝Ａsin（ωt）
となっておりますが、ｘ＝Ａsin（ωt）に対して、どのような条件付けがされるとｘ＝Ａsin（ωt+Φ）になるのでしょうか？
　素朴な疑問です。よろしくお願いします。

お礼日時：2007/08/20 23:43