こんばんは。高校数学II、共役複素数についての質問です。
私が使っている参考書(数学公式180)に記載されている公式の解説がわかりません。
<公式>実数を係数とするn次方程式 f(x)=0 について、
複素数 α=a+bi が解ならば
共役複素数 αバー=a-bi も解である。
<解説>実数を係数とするn次方程式
f(x)=Anx^n+A(n-1)x^(n-1)+A(n-2)x^(n-2)
+…+A1X+A0=0
があるとき、f(α)=0とすると
Anα^n+A(n-1)α^(n-1)+…+A1α+A0=0
この両辺の共役複素数を考えると、実数については
Aバーk=Ak(k=0,1,2,…,n)が成り立つので
Anαバー^n+A(n-1)αバー^(n-1)+…+A1αバー+A0=0
すなわち、f(αバー)=0が得られる。
↑この解説について??です。
わかる方、もしくは他の解説がありましたら教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。
No.1
- 回答日時:
どこからが分からないのでしょうか?それを教えていただけたらもっといいんですが…。
Anα^n+A(n-1)α^(n-1)+…+A1α+A0=0
の共役複素数を取ったとき、複素数に関係あるのは、αの部分だけですね?αはα(バー)になります。
実数には共役複素数はないですね?だから
A(バー)k=Ak(k=0,1,2,…,n)
が成立します。そうすると
Anα^n+A(n-1)α^(n-1)+…+A1α+A0=0
のαが全てα(バー)になってこれが=0になるので、共役複素数も解になります。
どうでしょうか?
この回答への補足
回答ありがとうございます。
>実数には共役複素数はないですね?だから
>A(バー)k=Ak(k=0,1,2,…,n)
>が成立します。そうすると
>Anα^n+A(n-1)α^(n-1)+…+A1α+A0=0
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
>のαが全てα(バー)になってこれが=0になるので、共役複素数も解にな>ります。 ←この部分が不明です。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
↑この部分が不明です。
質問 なぜ実数部分のA(バー)k=Ak(k=0,1,2,…,n)
が成立すると、f(x)のα(バー)を代入したときに=0となるのかがわかりません。
よろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
><解説>実数を係数とするn次方程式
> f(x)=Anx^n+A(n-1)x^(n-1)+A(n-2)x^(n-2)
> +…+A1X+A0=0
> があるとき、f(α)=0とすると
要するにαが解だということですよね。
> Anα^n+A(n-1)α^(n-1)+…+A1α+A0=0
解なら方程式に代入して0になります。
いま、
f(α)=0
の両辺の複素共役をとり、
[f(α)]バー=0バー=0
その式から、
f(αバー)=0
を導こうとしています。
これが示せればαバーもf(x)=0の解であることが示されたことになります。
> この両辺の共役複素数を考えると、実数については
> Aバーk=Ak(k=0,1,2,…,n)が成り立つので
実数は複素共役をとっても、同じものなので、
Aバー=Aであり、当然、Aバーk = Ak になりますね。
複素共役をとっても、係数は変わらないということです。
> Anαバー^n+A(n-1)αバー^(n-1)+…+A1αバー+A0=0
> すなわち、f(αバー)=0が得られる。
予備知識として、複素数αとβを考えたとき、
(αβ)バー = αバー・βバー … (1)
になることを覚えましょう。
なぜなら、α=x+iy,β=p+iq とおくと、
αβ = (x+iy)(p+iq) = xp - yq + i(yp + xq)
であり、また、
αバー・βバー = (x-iy)(p-iq) = xp - yq - i(yp + xq)
となるので、(αβ)バー = αバー・βバー が成立ちます。
要するに、掛け算の複素共役は、複素共役をとってから掛け算したのと同じになるわけです。
これを使えば、
(α^k)バー = (αバー)^k … (2)
になることが理解できますね。
((1)式を繰り返し適用する。)
これがわかれば、
[f(α)]バー = An(α^n)バー+A(n-1)[α^(n-1)]バー+…+A1αバー+A0=0
の各項に(2)を適用して、
f(αバー) = An(αバー)^n+A(n-1)(αバー)^(n-1)+…+A1αバー+A0=0
もわかりますよね。
従って、αバーも解だということになります。
この回答への補足
回答ありがとうございます。
追加質問ですが、
>(α^k)バー = (αバー)^k … (2)
>になることが理解できますね。
>((1)式を繰り返し適用する。)
の部分が明確にわかりません。もう少し説明していただけるとありがたいです。よろしくお願いします。
詳細な回答ありがとうございます。
>f(α)=0の両辺の複素共役をとり、
>[f(α)]バー=0バー=0
>その式から、f(αバー)=0
>を導こうとしています。
解答の方針を明確にしていただけ、助かりました。
No.3
- 回答日時:
>>(α^k)バー = (αバー)^k … (2)
>>になることが理解できますね。
>>((1)式を繰り返し適用する。)
>の部分が明確にわかりません。
αβの共役=αの共役×βの共役
であることを利用します。
この式でβ=αのとき、α2乗の共役=αの共役の2乗
となります。
α3乗の共約=(α2乗×α)の共役=αの共役の2乗×αの共役
=αの共役の3乗
同様に
α(n+1)乗の共約=(αのn乗×α)の共役=αの共役のn乗×αの共役
=αの共役の(n+1)乗
となりますから、
(α^k)バー = (αバー)^k … (2)
となるわけです。
回答ありがとうございます。
共役複素数というものは概念が複雑ですね。つまり、そもそも存在しない虚数iというものを定義するわけですから、大変だと思います。(ところで、この共役複素数というもなは何にりよできるのでしょうね?素朴な疑問です。)
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