絶対値を二つ含む不等式

絶対値を二つ含む不等式の質問です。
｜X－３｜＜｜２X＋１｜という問題です。

他の絶対値に関する質問を見てみましたが、絶対値が二つ含まれているのはなく、よく分かりませんでした。中身を＋と－に分けてしようとしても、絶対値が両辺にあるのでうまくできませんでした。どのように解けはいいんでしょうか？

No.5 回答者： kumipapa 回答日時： 2007/09/26 13:52

「絶対値が両辺にあるのでうまくできませんでした」では困りましたね。

で、質問は、絶対値の外し方だと思っていいんですよね。

その前に、#3さんがおっしゃられている

|A|＜|B| ならば、Ａ^2 ＜　B^2　が成立。
なおかつ、A^2 ＜ B^2 ならば |A|＜|B|が成立
ということで、A^2 ＜ B^2 は |A|＜|B|の必要十分条件なので、|A|＜|B|を解くのはA^2 ＜ B^2 を解くのと同値。だから両辺を２乗して絶対値はそのまま外して良い。

というのもきちんと理解しておいたら良いでしょう。

絶対値の外し方と解き方ということで、#1(, #4)さんの回答に従って丁寧に解いてみると、

|x - 3| ＜ |2x + 1|
で、
＞　x-3=0 になる x = 3
＞　2x+1=0 になる x= -1/2
＞　から
＞　x＜-1/2　　　・・・　x - 3 ＜0 かつ 2x+1 ＜ 0 　　(1)
＞　-1/2≦x＜3 　・・・　x - 3 ＜0 かつ 2x+1 ≧ 0　　 (2)
＞　3≦ x 　　　・・・　x - 3 ≧ 0 かつ 2x+1 ≧ 0　　 (3)
＞　の３パターンで場合分けします。

（１） x＜-1/2 のとき　x - 3 ＜ 0,　2x + 1＜0 なので、
|x - 3| ＜ |2x + 1 | →　- x + 3 ＜ -2x - 1 を解いて、x ＜ - 4
（絶対値を外した変域を考慮して）
x＜-1/2 かつ x ＜ - 4 　→ 　x ＜ -4　　　・・・　（１）の解

（２）　-1/2 ≦ x ＜ 3 のとき、　x - 3 ＜ 0,　2x + 1 ≧ 0 なので、
|x - 3| ＜ |2x + 1 | →　- x + 3 ＜ 2x + 1 を解いて、2/3 ＜ x
（絶対値を外した変域を考慮して）
-1/2 ≦ x ＜ 3 かつ 2/3 ＜ x → 2/3 ＜ x ＜ 3　・・・　（２）の解

（３） 3 ≦ xのとき、　x - 3 ≧ 0,　2x + 1 ≧ 0 なので、
|x - 3| ＜ |2x + 1 | →　x - 3 ＜ 2x + 1 を解いて、- 4 ＜ x
（絶対値を外した変域を考慮して）
3 ≦ x かつ - 4 ＜ x　→　3 ≦ x 　　　　・・・　（３）の解

（１）、（２）、（３）の解の和をとって、
x ＜ -4 , 2/3 ＜ x

こうやって解いてみると、やはり (x-3)^2 ＜ (2x + 1)^2 を解く方がぜんぜん楽ですけどね、この問題の場合は。

場合分けをして絶対値を外した場合、その絶対値を外した変域でしか解が認められないことに注意。
慣れないとごちゃごちゃして分りにくいかもしれません。数直線や表を書いて、自分なりに分るように工夫してみるのが良いと思います。絶対値の問題は、慣れればちょっと面倒なだけで、難しいことはありません。

No.4 回答者： wind-sky-wind 回答日時： 2007/09/26 10:04

この問題に関しては他の解き方もあるでしょうが，

｜X－３｜－｜２X＋１｜＜１
のような問題では場合分けしかありません。

３パターンに場合分けするときの手法は知っておいた方がいいでしょう。

No.3 回答者： take_5 回答日時： 2007/09/26 09:38

0≦｜X－３｜＜｜２X＋１｜ですから、両辺を2乗しても同値。

従って、（x-3）＾2＜（2x+1）＾2ですから、（2x+1+x-3）*（2x+1-x+3）＞0、即ち（3x-2）*（x+4）＞0です。

絶対値≧0である事に注意！

No.2 回答者： tent-m8 回答日時： 2007/09/26 09:13

グラフを描いてみたら、いかがでしょうか。

y=左辺　のグラフとy=右辺　のグラフを描き、右辺が上側に来る部分のxの変域を求めればいいと思います。

No.1 回答者： wind-sky-wind 回答日時： 2007/09/26 09:05

おっしゃる通り，絶対値がでてきたら場合分けです。

２つある場合は，
x-3=0 になる 3
2x+1=0 になる -1/2
から
x＜-1/2　(1)
-1/2≦x＜3 (2)
3≦x (3)
の３パターンで場合分けします。

すなわち，(1) なら，x-3, 2x+1 ともに負，
(2) なら 2x+1 は正，x-3 は負，
(3) ならともに正
として絶対値をはずしていきます。