3直線の方程式からそれらの交点を通る円の式を求める方法

3直線
　　L：f(x,y)=0
　　M：g(x,y)=0
　　N：h(x,y)=0
があり，LとMの交点をA，MとNの交点をB，NとLの交点をCとすると，3点A,B,Cを通る円の式は
　f(x,y)g(x,y)+αg(x,y)h(x,y)+βh(x,y)f(x,y)=0
と表される．

上記の事実において、
　f(x,y)g(x,y)+αg(x,y)h(x,y)+βh(x,y)f(x,y)=0
という式を考えれば、それが２次曲線であること、x^2とy^2の係数を等しくし、xyの係数を0にするようにα,βを選ぶことが出来ること、A,B,Cを通ること、を示せばいいと思います。

しかし、
　f(x,y)g(x,y)+αg(x,y)h(x,y)+βh(x,y)f(x,y)=0
という式がどうしても天下り的で、どうしてそんな式を考えるのかがいまいち納得できません。

つまり、問題を解くことはできるかもしれないが、問題を作った人の心理を推し量ることができないのです。

その式の背景にあるものはなんなのでしょうか？

そのことが分かれば、たとえば、
3直線の方程式からそれらでできる三角形の内接円の式を求める方法
3点の座標からそれらでできる三角形の外接円の式を求める方法
3点の座標からそれらでできる三角形の内接円の式を求める方法
3円の方程式からそれらの共通弦の交点（１点になる）の座標を求める方法
http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/teacher/iijim …
を参照

を推し量ることができると思うのですが。

No.2 ベストアンサー 回答者： daikaisan 回答日時： 2007/10/06 05:52

追加です。

高校数学以上になると、ささいな公式の導きにはさほど力点が置かれてません。

質問者の回答へつながるよう、もういちどしっかり？とかいてみます。なにぶん二次曲線は深くはやってませんので。

まず、平面上での直線・曲線の領域を拡張し、そこに恒等式の考え方を援用するということで説明にはなるかもしれないと思います。

１．直線と点

直線の一般式・・・aX+bY+C=0 ですね、XとYの一次の項と定数でできています。

(a,b)を通る直線の式では、X-a=0,Y-b=0を常に満たしている、aX+bY+C=0でなければなりません。

そうすると、m(X-a)+n(Y-b)=0 が恒等的になりたてばよいわけで、

n(Y-b)=-m(X-a) →　Y-b=-m/n(X-a) → Y-b =k(X-a) という公式が導き出されるわけです。

２．直線と２直線の交点

aX+bY+c=0 dX+eY+f=0の二直線の交点を通る式

aX+bY=0 cX+dY=0を恒等的に満たせばよいわけで、

m(aX+bY+c)+n(dX+eY+f)=0 が恒等的成立します。

３．二次曲線と２直線の交点

二次曲線の一般式・・・aX^2+2hXY+bY^2+2gX+2fY+c=0 ですね、XとYの二次式と定数でできています。

補足　ab-h^2>0 楕円および円　　ab-h^2=0 放物線　　ab-h^2<0 双曲線

aX+bY+c=0 dX+eY+f=0の二直線 かくのがしんどいので、aX+bY+cをl dX+eY+fをmと書きます。

二直線の交点を通る二次曲線の式は　l=0, m=0 を恒等的に満たせばよいわけで、

さらに、二次曲線はXとYの二次式だから

α(aX+bY+c)(dX+eY+f)=0　を恒等的に満たせばよいわけで、これが２直線の交点を通る二次曲線の一般式ですね。

４．二次曲線と３直線の交点

あなたの表記をつかうと、

αf(x,y)g(x,y)+βg(x,y)h(x,y)=0・・・２直線αとβの交点を通る二次曲線
βg(x,y)h(x,y)+γh(x,y)f(x,y)=0・・・２直線βとγの交点を通る二次曲線
γf(x,y)g(x,y)αh(x,y)f(x,y)=0・・・２直線γとαの交点を通る二次曲線

この３式を同時に満たす、恒等式を作るには、３式を加えればよいわけで、
２αf(x,y)g(x,y)+２βg(x,y)h(x,y)+２γh(x,y)f(x,y)=0

両辺を２αでわって整理をすると

f(x,y)g(x,y)+β/α・g(x,y)h(x,y)+γ/α・h(x,y)f(x,y)=0


β/α=A γ/α=Bにおきかえると

f(x,y)g(x,y)+Ag(x,y)h(x,y)+Bh(x,y)f(x,y)=0　となり導き出せました。

といったぐあいです。


ここから先はちよっと着き合いきれませんが、少しふれると

例えば、3直線の方程式からそれらでできる三角形の内接円の式を求める方法

二直線の作る角を二等分する直線・・・二直線から等距離にある点の軌跡

から、3直線の方程式からそれらの交点を通る円の式を求める方法にあてはめればよいかと。

No.1 回答者： daikaisan 回答日時： 2007/10/05 23:49

>どうしてそんな式を考えるのかがいまいち納得できません。

天下りではなく、
暇がないので、簡単に述べると、「拡張・援用」と考えます、私は。

(b,c)を通る直線・・・Y-c =a(X-b)
　　↓拡張すると
(b,c)を通る二次曲線・・・Y-c =a(X-b)~2
これの裏にあるのは、図形的には平行移動、代数的には恒等式でしょう。
　　↓新しいテクニック・アイデア・公理をつぎこんで
　　↓どんどんと・・・時間がないのでとちゅう省略
　　↓拡張
　f(x,y)g(x,y)+αg(x,y)h(x,y)+βh(x,y)f(x,y)=0
円は２点では決定しません。３点で１つの円に決定します。

時間があれば、詳しくかきます。あしからず。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
よく理解できたようでもあり、まだ理解不足のようでもあります。
よろしければ詳しくお願いいたします。

お礼日時：2007/10/06 02:26