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二次関数f(x)=-x^2-2x+3のt≦x≦t+1における最小値をm(t)とする。
(1) m(0)を求めよ。
(2) f(t)=f(t+1)を満たすtの値を求めよ。
(3) m(t)を求めよ。
という問題を解いてみました。
(1) f(x)=-x^2-2x+3
=-(x+1)^2+4
m(t)=-t^2-2t+3
m(0)=3
(2) -t^2-2t+3=-(t+1)^2-2(t+1)+3
t=-3/2
(3) t<-3/2の時のmの値15/4
m(t)<15/4
これであっているでしょうか?
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
(1)
>m(t)=-t^2-2t+3
は明らかに変ですね。
f(x)=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4
y=f(x)は、(-1,4)を頂点とする上に凸な放物線
よって、t=0すなわち 0≦x≦1でのf(x)の最小値はx=1のときである。
∴m(0)=f(1)=-1-2+3=0
となります。
(2)
合ってます。でも、途中式もちゃんと書いた方がいいですよ。
(3)
これじゃ不十分ですね。
(1)で解説したようにy=f(x)は、(-1,4)を頂点とする上に凸な放物線です。よって、最小値m(t)を考える場合、軸を中心に場合分けが必要です。
範囲はt≦x≦t+1、軸の方程式はx=-1ですから
まず、t≦-2,-2<t<1,-1≦tの3つに分けます。
(範囲の端であるtとt+1が軸に対してどういう位置関係になるか考えてください。)
(a)t≦-2のとき
常に軸の左側を考えることになるので、最小値m(t)は、x=tのときです。
m(t)=f(t)= -t^2-2t+3
(b)-2<t<-1のとき
グラフは軸をまたぐことになります。よって最小値m(t)は端点である
x=tまたはx=t+1のときです。
どちらになるかは、(2)の答えがヒントになります。
(b)-1. -2<t≦-3/2のとき
f(t)≦f(t+1)なので、最小値m(t)=f(t)です。
(b)-2. -3/2<t<-1のとき
f(t)>f(t+1)なので、最小値m(t)=f(t+1)です。
(c)-1≦tのとき
常に軸の右側を考えることになるので、最小値m(t)は、x=t+1のときです。
m(t)=f(t+1)=-(t+1)^2-2(t+1)+3= -t^2 -4t
以上から答えとしては
t≦-3/2のとき m(t)=f(t)=-t^2-2t+3
-3/2<tのとき m(t)=f(t+1)= -t^2 -4t
です。
途中式はここでは省略させてもらったので、実際にはきちんと書いています。
(3)の考え方、大変よくわかりました。
詳しく解説していただきありがとうございました。
No.3
- 回答日時:
(1) m(0)を求めるという事はt=0の時の最小値を求めるという事ですよね?
ということは、
t=0 → 0≦x≦1の範囲の最小値
x=0の時はf(x)=3
x=1の時はf(x)=0
なのでm(0)=0となると思うのですが・・・。
違ってたらすみません。
No.1
- 回答日時:
まず、
f(x)=-x^2-2x+3
=-(x+1)^2+4
をグラフ描画してください。
tの値によっては最小値はx=tの場合もあればx=t+1の場合も考えられます。
よって、
(1) tを場合分けする(t=-1.5が分岐点となります。図を描いてみれば分かります)。
(2) 最小値はx=tか、x=t+1かを見る。
(3) f(x)に(2)の結果からxへ代入しそれをm(t)とする。
ということをやってみてください。
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