No.2ベストアンサー
- 回答日時:
まず準備として与えられた2次関数を平方完成の形にしておきます。
y=-4x^2+4(a-1)x-a^2 =-4{x-(a-1)/2}^2-2a+1
ここで a>1 がありますので 与えられた2次関数の軸 x=(a-1)/2 は正です。
このことから「xが-1≦x≦1の範囲にあるとき、この二次関数の最大値と最小値を調べる」には次のように場合分けします。
(1) 軸が-1≦x≦1の範囲外のとき (つまり (a-1)/2>1 ∴a>3 のとき)
与えられた2次関数は上に凸の放物線なので、軸に近い方が最大値で 遠い方が最小値になり、次のようになります。
最大値:f(1)=-a^2+4a-8
最小値:f(-1)=-a^2-4a
(2) 軸が0<x≦1の範囲内のとき (つまり 0<(a-1)/2≦1 ∴1<a≦3 のとき)
与えられた2次関数は上に凸の放物線なので、頂点で最大値をとり 最も軸から離れた点で最小値をとります。
最大値:f((a-1)/2)=-2a+1
最小値:f(-1)=-a^2-4a
また「最大値と最小値の差が12になる」ことを調べるために差をとる。
(1) a>3 のとき
-a^2+4a-8-(-a^2-4a)=12
∴a=5/2
この解はa>3を満たさないので不適。
(2) 1<a≦3 のとき
-2a+1-(-a^2-4a)=12
⇔a^2+2a-11=0
∴a=-1±2√3
ここで1<a≦3を満たす解は a=-1+2√3 (≒2.46)
以上から最大値と最小値の差が12になるのは a=-1+2√3 のとき。
No.1
- 回答日時:
y=-4x^2 +4(a-1)x-a^2
=-4{x+(1-a)/2}^2 +1-2a
これは上に凸の放物線で対称軸は x=(a-1)/2 (>0 ∵a>1)、頂点のy座標は (1-2a)
です。
-1≦x≦1における最小値はx=-1とx=1におけるyの値の小さい方の値になります。
対称軸x=(a-1)/2>0なので最小値はx=-1のときのyの値になりますから
最小値=-4+4(1-a)-a^2=-a(a+4)
最大値は対称軸の位置により変わりますのでa(>1)による場合分けが必要になります。
対称軸x=(a-1)/2≦1の時(1<a≦3の時)x=(a-1)/2の時 最大値=1-2a
対称軸x=(a-1)/2>1の時(a>3の時) x=1の時 最大値=-4+4(a-1)-a^2=-a^2+4a-8
後半は
1<a≦3の時 最大値-最小値=(1-2a)-{-a(a+4)}=1+2a+a^2=(a+1)^2=12
a+1>0なので a+1=√12=2√3
∴a=2√3-1(≒2.464…) これは場合分けの条件を満たす。
a>3の時 最大値-最小値=(-a^2+4a-8)-(-a^2-4a)=8a-8=12, 8a=20
∴a=5/2(<3) これは場合の条件を満たさない。
したがって aは前者の場合の 「a=2√3」 が答えになります。
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