フィボナッチ数列とルーカス数列(リュカ数列)使った証明です。

L(n)をルーカス数列のn番目の数字、F(n)をフィボナッチ数列のn番目の数字として、

L(0) = 2, L(1) = 1
F(0) = 0, F(1) = 1 の場合、

L(n) = F(n-1) + F(n+1)

になることを証明しようと思ってます。

ビネの公式を使って証明しようと思ったんですが、うまく行きませんでした。それに、もっと簡単な方法があると思うんですが、どなたかわかりませんか?

A 回答 (4件)

フィボナッチ数列は知っていましたが、リュカ数列というのは初耳でした。

Wikipedia に載っていたので分かりました。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%A5% …

F(n+1)=F(n)+F(n-1) .....[1]
F(0)=0, F(1)=1, F(2)=1, F(3)=2, ...
L(n+1)=L(n)+L(n-1) .....[2]
L(0)=2, L(1)=1, L(2)=3, ...

L(n)=F(n-1)+F(n+1) .....[3]
L(n+1)=F(n)+F(n+2) .....[4]
n=1 のとき、[3], [4]は、
L(1)=1, F(0)+F(2)=0+1=1,
L(2)=3, F(1)+F(3)=1+2=3,
で成立する。
[1]~[4]より、
L(n+2)=L(n+1)+L(n)
=F(n)+F(n+2)+F(n-1)+F(n+1)
=F(n+1)+F(n+3).
よって、数学的帰納法により n>0 について[3]が成立する。

又、[1], [2]式は、nが負の場合も定義されます。
例えば、
F(-1)=1, F(-2)=-1, F(-3)=2, F(-4)=-3, ...
L(-1)=-1, L(-2)=3, L(-3)=-4, L(-4)=7, ...
この場合の証明は...
[1]~[4]より、
L(n-1)=L(n+1)-L(n)
=F(n)+F(n+2)-F(n-1)-F(n+1)
=F(n-2)+F(n).
よって、数学的帰納法により n<1 についても[3]が成立する。


別の方法として、[1], [2]の漸化式からF(n), L(n)の一般項を求めて証明する方法もあります。

[1]より、a=(1+√5)/2 として、
F(n+1)+1/a*F(n)
=a{F(n)+1/a*F(n-1)}
=a^n*{F(1)+1/a*F(0)}
=a^n.
F(n+1)-1/√5*a^(n+1)
=-1/a*(F(n)-1/√5*a^n)
=(-1/a)^(n+1)*{F(0)-1/√5}
=-1/√5*(-1/a)^(n+1).
F(n)=1/√5*{a^n-(-1/a)^n} .....[5]

同様にして[2]より、
L(n)=a^n+(-1/a)^n .....[6]

[5]より、
F(n-1)+F(n+1)
=1/√5*{a^(n-1)-(-1/a)^(n-1)+a^(n+1)-(-1/a)^(n+1)}
=1/√5*{a^n*(a+1/a)-(-1/a)^n*(-a-1/a)}
=a^n+(-1/a)^n.
よって、[6]より、
L(n)=F(n-1)+F(n+1).
    • good
    • 0

加法定理


2F(m+n)=F(m)L(n)+L(m)F(n)
は公式なので、それを使えばほぼ当然の結果です。

証明も、L(n) = F(n-1) + F(n+1)という特別なものを特殊な方法で示すよりも、
加法定理を示すほうが、より一般的です。
    • good
    • 0

帰納法だと簡単ですよ。


(前の二つを仮定する)
    • good
    • 1

リュカの定義を明確にすべきですが・・・


ビネの公式なんてのも知りませんが。。。

ヒントだけ
(0)x^2-x-1=0の解をa,bとおく
(1)一般項を求める
(2)a^{n+1}-b^{n+1}の因数分解をよくみる

Wikipediaも参照
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q数学の数列の問題について質問です。 問題 :a1=3,a n+1=2a n/3 + 5・2^n+1(

数学の数列の問題について質問です。

問題
:a1=3,a n+1=2a n/3 +
5・2^n+1(n=1,2,3・・・)
により定められる数列{a n}について考える。

(1)a2=22

(2)b n=a n/2^nとおくと、b n+1=b n/3 +5がア成り立つ。そこで、b n+1-α=1/3 (b n-α)
となる定数αを求めると,α=15/2となる。よって,数列{bn}の一般項はbn=(オ)となる。

解答
:(オ)
b n+1 - (15/2)=1/3(b1-15/2)

⇔bn-15/2=(1/3)^n-1(b1-15/2)

ここで質問です。
どうして
b n+1 - (15/2)=1/3(bn-15/2)
から
bn-15/2=(1/3)^n-1(b1-15/2)
になるのでしょうか?
どこに着目すれば良いでしょうか?
解説よろしくお願いします。

一応問題画像添付します。

Aベストアンサー

>:(オ)
>b n+1 - (15/2)=1/3(b1-15/2)

>⇔bn-15/2=(1/3)^n-1(b1-15/2)

2行目、b_{n+1}-(15/2)=(1/3)(b_n-(15/2))
の間違いでは?これと4行目が同値であるのは,
明らかだと思います.

Q行列の証明です Aが正則の時 n←Nに対して(A^-1)^n=(A^-n)^-1の証明出来る方がいた

行列の証明です
Aが正則の時 n←Nに対して(A^-1)^n=(A^-n)^-1の証明出来る方がいたらお願いします!

Aベストアンサー

左辺がA^nの逆行列で有ることを示せば良い。

正則行列Bに対して異なる逆行列C, Dが存在すると
C=CE=CBD=ED=D で矛盾。従ってある正則行列に対して
その逆行列は1つしかない。

A^n(A^(-1))^n=A^(n-1)AA^(-1)(A^(-1))^(n-1)=
A^(n-1)(A^(-1))^(n-1)=・・・=A^2A^(-2)=AA^(-1)=E

なので (A^(-1))^nはA^nの逆行列 つまり (A^n)^(-1)

Q平均変化率がわかりません。 関数f(x)=-3x+1のx=0からx=3までの平均変化率 関数f(x)

平均変化率がわかりません。
関数f(x)=-3x+1のx=0からx=3までの平均変化率

関数f(x)=x^3+xのx=1からx=2までの平均変化率
です。

Aベストアンサー

1) f(x)=-3x+1
f(0)=1, f(3)=-9+1=-8
平均変化率=(f(3)-f(0))/(3-0)=(-8-1)/3=-9

2)f(x)=x^3+x
f(1)=1+1=2
f(2)=2^3+2=8+2=10
平均変化率=(f(2)-f(1))/(2-1)=10-2=8

Qf(a+√b)=c+√b f(a-√b)=c-√b f(a+bi)=c+dif(a-bi)=c-di

f(a+√b)=c+√b
ならば
f(a-√b)=c-√b
は成り立ちますか。
√の中は変わらないので計算後も√bのままでいいでしょうか。

f(a+bi)=c+di
ならば
f(a-bi)=c-di
は成り立ちますか。
前回の質問が締め切られてしまいました。
前回回答いただきましたTacosanさま、かなり考えましたがヒントに最後まで答えることが出来ず、申し訳ありませんでした。一定の条件がわかりませんでした。こちらにも是非回答お願いいたします。詳しい回答本当にありがとうございました。

Aベストアンサー

反例:
xの一次式
f(x) = x ・(1-√2) + √2

f(1+√2) = (1+√2)・(1-√2) + √2
=1-2 + √2
=-1+ √2

f(1-√2) = (1-√2)・(1-√2) + √2
= 1 -2√2 + 2 + √2
= 3 - √2 ≠ - 1 - √2

---
f(x) = g(a,|x-a|) + (x - a)
と表せるなら
 f(a+√b) = g(a,|√b|) + √b = g(a,√b) + √b
 f(a-√b) = g(a,|-√b|) + (-√b) = g(a,√b) - √b
c = g(a,√b) とすれば
 f(a+√b) = c + √b
 f(a-√b) = c - √b
です。
ですが、 c + √b という形を見ただけでは、√b が「 + (x-a) 」に由来するものなのか、g(a,|x-a|)の|x-a|に由来するものなのか、g()に由来する xに依存しない定数√b なのか、判断できません。

Qこの問題の(6)対偶の問題の答えは a=0またはb=0でないならばab=0ではない で合ってるでしょ

この問題の(6)対偶の問題の答えは

a=0またはb=0でないならばab=0ではない

で合ってるでしょうか。
回答お願いします。

Aベストアンサー

満点の答えだと思いますよ!

Q数学の質問です。 f(1-x)=f(x)のとき、y=f(x)のグラフがx=1/2に関して対称らしいの

数学の質問です。

f(1-x)=f(x)のとき、y=f(x)のグラフがx=1/2に関して対称らしいのですが、どうしてこのように言えるのか教えてください。

Aベストアンサー

x=aに対して対象というのは、f(a+b)=f(a-b)ということです。(a=対称軸のx座標、b=任意の実数)

この場合f(1-x)=f(x)なので、x=1/2+b(bは任意の実数)の時、
f(1-x)=f(1-(1/2+b))=f(1/2-b)
f(x)=f(1/2+b)
よってf(1/2-b)=f(1/2+b)
となり、1/2を軸にしてf(1/2-b)とf(1/2+b)が等しくなっている。
よってf(1-x)=f(x)の時、任意のxにおけるf(1-x)とf(x)はx=1/2を軸として対象である。

Q2Σ(n=1~∞)(-1)^n+1 / n ∫[0→x]sinntdt の解き方について

2Σ(n=1~∞)(-1)^n+1 / n ∫[0→x]sinntdtの解き方がわかりませんorz

2Σ(n=1~∞)(-1)^n+1 / n ∫[0→x]sinntdt
=2Σ(n=1~∞)(-1)^n+1 / n [-1/n cosnt][0→x]

ここまではわかるのですが

=2Σ(n=1~∞)(-1)^n+1 / n^2 (-cosnx+1)

になる理由がわかりません。

私は(-cosnx+1)ではなく
(-cosnx+1/n)になるものだと思っていました。
自分が変な間違いをしているのだと思いますが、わからないままを放置したくないので
教えていただけると幸いです。><
(高校生でもわかる説明でよろしくお願いしますorz)

初めて積分について質問したので、表記が間違ってたらすみません。

Aベストアンサー

No.2です。手書きの式と問題文の式は、ふつうに読めば一致しませんよ。

問題文の式は、演算順序からして

2Σ(n=1~∞)(-1)^n+1 / n ∫[0→x]sinntdt
= [ 2Σ(n=1~∞)(-1)^n ] + (1/n)∫[0→x]sin(nt)dt

としか読めません。
No.2 はこの解釈での回答です。
結果的に、疑問には答えていると思いますが。

手書きのように読んでほしければ

2Σ(n=1~∞){ [ (-1)^(n+1) ] / n } ∫[0→x]sin(nt)dt

と書くべきでしょうね。

こういうところの「センス」をないがしろにすると、正しい理解に至らないことがあり得ますから、注意した方がよいです。「正確さ」「厳密さ」はけっこう大事です。

Qフィボナッチ数列で「0から開始する場合」と「1から開始する場合」がある理由は?

フィボナッチ数列をネットで検索してみたのですが、「0から開始する場合」と「1から開始する場合」がありました。
・どうして異なるのでしょうか?
・1から開始した方が説明しやすいのでしょうか?
・読んだ限りでは「0から開始する」方が分かりやすいと思うのですが…

Aベストアンサー

0、1ではじめても、1、1ではじめても、3つ目以降は直前の2項の和で定義されるので
数列としては同じものです。(それはわかってるって?はい、すいません。)
ただ、数列の番号をa₁、a₂、...と1からはじめる場合
a₁=1、a₂=1
a₀、a₁、...、と0からはじめる場合
a₀=0、a₁=1
とすれば、一般項anはまったく同じ形になる。

ということではないでしょうか?

Qlimx→∞ x^n/e^x=0を高校数学の中で証明してください。回答よろしくお願いします。

limx→∞ x^n/e^x=0を高校数学の中で証明してください。
回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

e^x > 1 + x + x^2/2 から e^(x/n) > 1 + (x/n) + (x/n)^2/2 なので.

Q高校数学 lim(n→∞)x/n=0

xが全実数のとき
lim(n→∞)x/n=0
が成立することを説明してください。

数学の問題の解説中で証明なく使われていたのですが、いまいち理解できません。

xが全実数ならば、例えばx=nとすれば1になり、x=n^2とすれば∞になる気がするのですがどうでしょうか。

Aベストアンサー

>xが全実数のとき
>lim(n→∞)x/n=0
>が成立することを説明してください。

こういう問題ではxはnとは独立した変数で、nに対しては定数として扱います。
したがって、

>xが全実数ならば、例えばx=nとすれば1になり、x=n^2とすれば∞になる気がするのですがどうでしょうか。
とxはnと関係づけて、変化する変数(つまり従属変数)として扱うのは間違いです。
xは「xが全実数のとき」ですが、極限をとる変数nとは独立した変数、つまりn→∞に対して変化しない有限な実数定数として扱うべきです。
したがってn→∞に対してxは変化しない実数定数と考えるべきなので,xはlimの外に出せて

 lim(n→∞)x/n=x*lim(n→∞) (1/n)=x*0=0

と「実数*0」という計算をします。

「例えばx=nとすれば1になり、x=n^2とすれば∞になる気がする」のような場合は
「xはnに依存する実数関数(つまりx=x(n))のとき」と問題に書かれている場合です。


人気Q&Aランキング

おすすめ情報