Arctanの2編導関数

Arctan(x+y)の２次偏導関数の求め方がわかりません。
わかる方がいましたら助言をお願いします。

No.1 回答者： proto 回答日時： 2007/10/18 22:02

具体的にどの部分がわからないのでしょうか？

ただ計算するだけに思います。

偏微分の概念？
arctanの微分？
(arctanを一階微分した後に出る)有理関数の微分？
合成関数の微分？

補足お願いします。

No.2 回答者： joggingman 回答日時： 2007/10/18 22:09

d/dx{arctan(x)}=1/(1+x^2)

なので、
d/dx{arctan(x+y)}=1/{1+(x+y)^2}
d^2/dx^2{arctan(x+y)}=-2(x+y)/{1+(x+y)^2}^2
d^2/dy^2{arctan(x+y)}=-2(x+y)/{1+(x+y)^2}^2
d^2/dxdy{arctan(x+y)}=-2(x+y)/{1+(x+y)^2}^2
全部同じになりますね。

No.3 回答者： info22 回答日時： 2007/10/18 22:12

公式：(Arctan(t))'=1/(1+t^2)を使います

t=x+y,f(t)=Arctan(t)とおけば
∂t/∂x=∂t/∂y=1であるから
fx=f'(t)*1=1/(1+t^2)=1/{1+(x+y)^2}=fy
fxx=fyx=f''(t)*1=-2t/(1+t^2)^2=-2(x+y)/{1+(x+y)^2}^2
fxy=fyy=f''(t)*1=fxx=fyx
となります。