教えてください。
白球5個、赤球2個、黒球1個がある。8個の球を1列に並べるとき次の並べ方は何通りあるか。
(1)すべて異なる並べ方
解)8!/5!・2!=168通り
(2)両端が白球となる並べ方
解)W WWWRRB W と考えて,白5個から2個選んで残りの
白3個,赤2個,黒1個を並べることで,
5C2×6!/3!・2!で考えたら600通りとなり,(1)を超えてしまい
間違えていることに気づきはしました。
5C2の10通りについては,白1~白5と考えて,
(左,右)=(白1,白2~5)4通り
(白2,白3~5)3通り
(白3,白4,5)2通り
(白4,白5) 1通り
と10通りとしました。左,右の入れ替えを考えないのは同じ色
なので5P2ではないという考えでした。
さて,こうではなく、白はすでに2個両端において終了。
残りの白3個,赤2個,黒1個を並べると終わりと言う考え方についてどうしてこのように考えるとよいのかを教えてください。
また上記の考え方では何が知識の欠如なのか、
さらにもし確率の問題とすると,区別をつけるのでPなのかCなのか
わかりませんが、必要になるのであればそのことも含めて教えてくだ
さい。
よろしくお願いします。
No.4
- 回答日時:
(1)ができているので、同じものを含む順列は、理解できていると思います。
(2)ですが、区別のつかない白球を2個両端に並べるので、その並べ方は1通りしかありません(球を変えても見た目が変わりませんね?)。
したがって、その二個を並べ終わった時点で、1通りの並べ方があるのですが、掛け算すると、1はないのと同じですので、残りの白3個,赤2個,黒1個を並べる並べ方が解答となります。
確率の場合との違いですが、別のことでたとえます。
1の目が5つ、2の目が1つという、変わったサイコロがあるとします。このサイコロを2回振ったときの、目の出方の組み合わせは、
(1,1)、(1,2)、(2,1)の3つですね?(順列なら、ここに(2,1)を加えますが)
では、2回投げて2回とも2の目が出る確率を問われたら、1/3(あるいは1/4)でしょうか?
どう考えても、(1,1)が出やすく、(2,2)は出にくいですよね?
これは、五つある「1」の目を区別して計算しなければなりません。
順列-組み合わせでは、見た目が同じなら、「同じ順列」「同じ組み合わせ」と見るのに対し、確率計算のときは、見た目が同じでも「同じことの起こりやすさ」が問題になるので、区別して計算します。
No.3
- 回答日時:
5C2×6!/3!・2!の計算だと
白1→白→白→白→赤→赤→黒→白2
白1→白→白→白→赤→赤→黒→白3
白1→白→白→白→赤→赤→黒→白4
白1→白→白→白→赤→赤→黒→白5
白2→白→白→白→赤→赤→黒→白3
白2→白→白→白→赤→赤→黒→白4
白2→白→白→白→赤→赤→黒→白5
白3→白→白→白→赤→赤→黒→白4
白3→白→白→白→赤→赤→黒→白5
白4→白→白→白→赤→赤→黒→白5
は、すべて違うものとして計算されてしまいますよね。
でも、実際はこれらすべてが1通りです。
両サイドにどの白を選んだとしても間に並ぶ順列の数は
6!/3!・2! となり等しくなります。
しかもある1つの並び方、例えば 白白白白赤赤黒白 という
並び方は、両サイドにどの白を選んだとしても1通りあり、
そのパターンは全体として1通りと数えるわけだから、例えば
最初に両サイドを白1、白2と決めてしまって、残りの順列を
数えていってもいいことになります。
だから、5C2はいらないということになります。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
解)W WWWRRB W と考えて,白5個から2個選んで残りの
白3個,赤2個,黒1個を並べることで,
5C2×6!/3!・2!
このようにすると、白に区別があることになってしまいます。
したがって、5C2は必要ないんです。
別の考えとしては、あえて白に区別があるとして、最後に区別がないように戻す方法があります。
白を、W1,W2,W3,W4,W5とします。
そうすると、(1)の場合は、8!/2!=20160
ここで、白だけの並びかたに注目します。
5個の並び替えなので5!=120通り
20160÷120=168通り となります。
(2)は5P2×6!/2!=20×360=7200
(1)と同様にして7200÷5!=60通り となります。
そうそうにありがとうございました。なるほど。Cとしても考えてみれば区別して数えていました。
別の考え方までいただき勉強になりました。
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