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重力場やクーロン場が保存力場になるということは一般的には知られていますが、それを証明してみようとおもったのですが、どのように証明できるのかということがわかりません。

一般的にどのようにすればこれを証明することができるでしょうか?

回答お待ちしています。よろしくお願いします。

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科学 保存」に関するQ&A: 保存科学 DNA分析

A 回答 (3件)

ええと、それらが距離の2乗に反比例する中心に向かう力の場F=-kr^(-2)(の重ね合わせ)の形であることを認めれば証明できます。

No、1のとおりです。保存力場であることをいくつか言い換えます。

保存力場である
=スカラーポテンシャルfを持つ(前者のスカラーポテンシャルは通常の高さに酔うる位置エネルギー、後者のスカラーポテンシャルは電位です。)
=rot演算を行うと0になる。参考;rot(grad)fは任意のスカラー場fに対してゼロだからです。fをスカラーポテンシャルとしてみましょう。

結論
その証明は、
第1の方法
それらの場はスカラーポテンシャルを持つ。実際、位置エネルギーや電位が確かにそれらのスカラーポテンシャルとなっている。
第2の方法
rotを計算すると0になる。ゆえに保存力場である。
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この回答へのお礼

なるほど、よくわかりました。

思ったより簡単にできそうなんですねw。

簡単な状況を作って、式を立てて計算をしてみようと思います。

もちろん万事がそれに当てはまるというわけではありませんが。

ありがとうございました。

お礼日時:2007/11/08 23:31

科学は演繹を道具とする学問です。

すべての法則は現在の観測装置を使ったデータをその法則に当てはめて観測誤差の範囲に入っているなら、それを正しいとしているのです。厳密に証明する方法はないと言っていいでしょう。
たとえば観測技術が進歩したためにニュートンの力学では説明できないデータが沢山出て来たことで、相対性原理が生れましたよね? これとて果たして真なのかどうかは厳密には疑問です。これは演繹という手法があらゆるデータを要求しているのに、それに応えられないことによる欠陥から来ています。
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 場の力のローテーションを取って0になれば、保存力であるといえます。



参考URL:http://www14.plala.or.jp/phys/mechanics/19.html
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この回答へのお礼

参考URLが大変役に立ちました!
ありがとうございました。

お礼日時:2007/11/08 23:33

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Q共役or非共役の見分け方

有機化学や高分子化学の勉強をしているのですが、どういうものが共役で、どういうものが非共役のものなのか、いまいち確信をもって見分けることができません。
なんとなく電子がぐるぐる動いていて、二重結合の位置が常に変わっている(共鳴している?)もののことを共役系と言っている気はするのですが、具体的にどんな形をしたものとか、どんな構造が含まれていたら共鳴していると言うのかがよくわからないでいます。
非常に基礎的なところでつまずいてしまい、なかなか先に進めなくて困っていますので、ぜひご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

共役しているものの代表は、1,3-ブタジエン
H2C=CH-CH=CH2
(単結合と二重結合が交互に存在)です。
二重結合をしている炭素では、隣り合う炭素の上下に伸びているp軌道同士がくっついています(sp2混成軌道はご存じですか?参考URLの図のC1とC2、C3とC4の青い軌道はくっついて1つになっています)。
通常、単結合をしている炭素(sp3混成軌道)には上下に伸びているp軌道はありません。
ところが、共役をしていると、左から2番目のp軌道と3番目のp軌道が近接しているために、単結合であるにも関わらずp軌道同士がくっついてしまって、あたかも二重結合を形成しているかのようになってるんです。
このようにして、炭素4つのp軌道が全部くっついているので、電子は自由に行き来できるのです(非局在化と言います)。共役物質が安定なのはこのためです。

少し踏み込んだ説明をしましたが、わかって頂けましたでしょうか…?

参考URL:http://www.ci.noda.sut.ac.jp:1804/classroom/1998_6_18/Q&A6_18_4.html

共役しているものの代表は、1,3-ブタジエン
H2C=CH-CH=CH2
(単結合と二重結合が交互に存在)です。
二重結合をしている炭素では、隣り合う炭素の上下に伸びているp軌道同士がくっついています(sp2混成軌道はご存じですか?参考URLの図のC1とC2、C3とC4の青い軌道はくっついて1つになっています)。
通常、単結合をしている炭素(sp3混成軌道)には上下に伸びているp軌道はありません。
ところが、共役をしていると、左から2番目のp軌道と3番目のp軌道が近接しているために、単結合であるにも関わらずp軌道同...続きを読む

Q重力場が保存力場であることの証明について

(通常のベクトルはF↑のように矢印をつけて書き、∇はそのまま書いています)

ある力場F↑が保存力場であるための条件としてよく
 ∇×F↑=0↑
が用いられていますが、この証明にストークスの定理を用いていることから、厳密には
 F↑の定義域が単連結である かつ ∇×F↑=0↑
であることを知りました。
(実際に∇×F↑=0↑の判定だけでは不十分な例も確認しています)

そこでこの立場からもう一度重力場が保存力場であることを考えようと思ったのですが、
重力場は保存力とされているのにも関わらず、定義域が単連結ではありません。
では、重力場が保存力場であることを説明するにはどのようにしたら良いでしょうか?

Aベストアンサー

>まさにその質点を囲むような面が単連結でないと考えていました

単連結とはその領域内の任意の閉曲線で囲まれる
曲面が存在すること。つまり、領域内の任意の閉曲線に対し
ストークスの定理の積分が、適当な面を選べば
実行可能であるということです。

不連続な点があるだけでは、単連結は破れません。

Qカフェインをヨウ化カリウム水溶液に溶かして、硝酸ビスマス滴下したら何で橙の沈殿できるのでしょうか

カフェインをヨウ化カリウム水溶液に溶かして、硝酸ビスマス滴下したら何で橙の沈殿できるのでしょうか。
大学の課題で、手元に資料もなくネットで検索しても出てきません。
検索がへたなだけかもしれません。
自力でどうにか探すのが普通なのだと思いますが、こんな不束者に詳しい解説よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ちょっと調べたらこんな楽しいサイトが、↓^o^
http://www.colawp.com/seasonal/199707/special.html
なになに、「分析化学においてはビスマス・アンチモンの検出試薬として用いられるらしい」などと書いてある。もっと探そう。
2chに「最近大学の実験でカフェインの存在確認の実験で、カフェイン粉末に10%KI溶液と硝酸ビスマス溶液を滴下して橙色沈殿の 有無の確認をするってのをしたんだが、…」てのがあるが、答えて貰ってないみたい。
結局こんな処が、↓
http://pubs.acs.org/cgi-bin/abstract.cgi/iecac0/1942/14/i01/f-pdf/f_i560101a016.pdf?sessid=6006l3
ビスマスのテトライオドビスマス(III) カフェインとしての定量。

Qポテンシャルエネルギーから力を求めるのになぜ偏微分

こんにちは、力学を勉強しております。重力やばねの力が保存力である、ということを学ぶ際に、ポテンシャルエネルギーUを習いました。そして、このポテンシャルエネルギーを位置で微分して力を求める、という次の式が登場しました (~はベクトル表示のための矢印とお考え下さい)。

~F = -(∂U / ∂x) ~i - (∂U / ∂y) ~j - (∂U / ∂z) ~k .... (1)

ここで、なぜ偏微分なのでしょうか。

~F = -(dU / dx) ~i - (dU / dy) ~j - (dU / dz) ~k .... (2)

というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

たとえばバネの ポテンシャルエネルギーはU = (1/2)k x^2なので
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ただ、(2)式を使っても、ばねの力も重力も求まってしまいます。

偏微分を使っているからには、その理由があると思うのですが、私の持っているどの教科書にもその説明がなく、突如として偏微分が示されているだけでして悩んでおります。

どうぞ宜しくお願いします。

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Aベストアンサー

まず、微小変位について仕事がどう書かれるかはわかっていますか?
仕事は一次元運動では力×移動距離ですが、三次元運動では力のベクトルと変位ベクトルの内積になります

ΔW = F・Δr (F, Δrはベクトル)

次に、位置エネルギーの定義ですが、位置エネルギーは仕事の符号を変えたものですから、
この微小変位による位置エネルギーの変化分は

ΔU = - ΔW = - F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz ) (*)

ここまでよろしいでしょうか?

次は純粋に数学の問題で、U(x+Δx,y+Δy,z+Δz)をテーラー展開して1次までとると

U(x+Δx,y+Δy,z+Δz) = U(x,y,z) + (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz

ここで

ΔU = U(x+Δx,y+Δy,z+Δz) - U(x,y,z)

と定義すれば

ΔU = (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz

が成り立ちます。つまり、1次までの微小変化であれば、

y,zを止めてxだけ変えたときの変化分、
x,zを止めてyだけ変えたときの変化分、
x,yを止めてzだけ変えたときの変化分、

の合計が全体の変化分に等しいという関係が成り立ちます。
これが全微分ではなく編微分を使う理由です。


この式は

grad U = (∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z )
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というベクトルを導入すれば内積を使って

ΔU = grad U ・ Δr

と書くことができます。

この関数U(x,y,z)を位置エネルギーだとすると、ΔUは微小変位Δr = (Δx, Δy, Δz)に対する位置エネルギーの変化分となりますから、上の(*)の式に等しく

ΔU = grad U ・ Δr=ΔU = (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz
   =- F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz )

この二つの式を見比べれば

F = - grad U

成分表記では

Fx = -∂U/∂x
Fy = -∂U/∂y
Fz = -∂U/∂z

となります。

>というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

3次元の調和振動子を考えて見ます。その位置エネルギーは

U(x,y,z) = (1/2)k (x^2 + y^2 + z^2)

これを通常の微分をとるとすると、物体は3次元空間の中をある軌道で運動していますから、xの変化と同時にyもzも変化します。つまり、yとzはxの関数と考えられるので

dU/dx = d/dx [ (1/2)k (x^2 + y(x)^2 + z(x) ^2) ]
= k x + k y(x) dy/dx + k z(x) dz/dx

となり、x方向の力kxを導きません。

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この微小変位による位置エネルギーの変化分は

ΔU = - ΔW = - F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz ) (*)

ここまでよろしいでしょうか?

次は純粋に数学の問題で、U(x+Δx,y+Δy,z+Δz)をテーラー展開して1次までとる...続きを読む

Qドラーゲンドルフ試液と第三アミンの反応について

塩酸ジフェンヒドラミンがドラーゲンドルフ試液と反応し、橙色の沈殿物を生じるというのが、具体的にどういう反応で起こっているのか(化学式で)知りたいのですが、調べても分かりませんでした。

ドラーゲンドルフ試液が第三アミンとだけ反応する所まで位しか分かりませんでした。

どういう反応が起こっているのか、ご存じの方、教えて下さい。
orどこら辺のweb or 書籍を調べれば良いのか是非教えて下さい。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

rei00 です。

 gumi_gumi さんの「ジフェンヒドラミン・ワレリル尿素散」と「ジフェンヒドラミン・フェノール・亜鉛華リニメント」について,「第十一改正 日本薬局方解説書」(廣川書店)で見ました。確かに両者の確認試験として出ていますが,反応式までは無いですね。

 なお,ドラーゲンドルフ試薬はアルカロイドの検出試薬として有名ですが,必ずしもアルカロイドには限りません。含窒素化合物であれば反応するといえます。「ジフェンヒドラミン」も三級アミンを持ちますから呈色します。

 また,色や濃さは異なりますが,窒素を持たない含酸素化合物でも呈色する事があります。こちらはあまり知られていないようで,学生が時々勘違いします。

Q赤外吸収をしめさないもの

赤外吸収でスペクトルを示さないものというのは、どのような分子でしょうか?
アルゴンは示さないようですが、どうしてですか?
※当方、薬学3回生です。

Aベストアンサー

分子を、原子がばねで結合したものだと考えてください。このばねは、結合している原子の種類によって長さや太さが異なっています。今、ある振動を加えると、その振動に共振するばねだけが振動をはじめます。
赤外吸収も同じような原理で、赤外線を照射することにより、その波長に共振する結合だけが吸収を示します。これより、吸収スペクトルがどの波長で現れたかを調べることで、対象分子に含まれる結合が推測できるわけです。
アルゴンのように一原子分子は結合を持ちませんから、赤外吸収を示しません。

Q同心球導体球の接地について

同心球導体球の接地について、過去に質問されていなかったのでおねがいします。
同心球導体球において、外側の球に電荷Qを与え、内側の球を接地した場合、電界はどのようになるのでしょうか?
(内側の球の半径a、外側の球の内径b、外径cです。)
回答は、
a<r<b、c<rの場合についてお願いします。

Aベストアンサー

(1)内球と外球の電荷
  外側の球の表面に電荷 Q を与えたとき、内側の球の表面に-Q'の電荷が誘起されるとします。
  すると、外側の球の裏面(内面)には Q' の電荷が誘起されます。このとき外側の球の表面の電荷を Q'' とすれば、外側の球の電荷の総量は Q なので、 Q' + Q'' = Q → Q'' = Q - Q'

(2)Q' を求める
  外球の外側にある半径 r ( c < r ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内外の球の電荷の総和で、その値は
  -Q'(内側の球の表面電荷) + Q'(外側の球の裏面電荷) + Q - Q'(外側の球の表面電荷) = Q - Q'
  半径 r の球面上の電界を E1(r) とすれば、Gaussの定理より、4*π*r*E1(r) =( Q - Q')/ε → E1(r) = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*r^2 ) ---[1]
  半径 r の球面上の電位を V1(r) とすれば、V1(r) = ∫[r~∞] E1(r) dr = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*r )
  外側の球の表面電位は V1 = V1(c) = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*c )

  内球と外球の間にある半径 r ( a<r<b ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内側の球の表面電荷 -Q' だけだから、
  半径 r の球面上の電界を E2(r) とすれば、Gaussの定理より、4*π*r*E2(r) = - Q'/ε → E2(r) = -Q'/(4*π*ε*r^2) --- [2]
  半径 r の球面上の電位を V2(r) とすれば、V1 - V2(r) =∫[r~b] E2(r) dr = -Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/r ) 。
  式[3]から、V1 =( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) なので、V2(r) = V1 + Q'/(4*π*ε)*( 1/b-1/r ) = ( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) + Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/r )
  内側の球は接地されているので、V2(a) = 0  →  ( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) + Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/a ) = 0
  したがって、Q' = Q/{ c* ( 1/a - 1/b + 1/c ) } = Q/{ 1 + c*( 1/a - 1/b ) } --- [3]

(3)電界分布
  式[3]を式[1],[2] に代入すれば
  E1(r) = ( Q-Q' )/( 4*π*ε*r^2 ) = Q*[ 1 - 1/{ 1 + c*( 1/a - 1/b ) } ]/( 4*π*ε*r^2 ) = Q*c*/[ { a*b/( a - b ) + c }*4*π*ε*r^2 ]
  E2(r) = -Q'/(4*π*ε*r^2) = -Q/[ { 1 + c*( 1/a - 1/b ) }*4*π*ε*r^2 ]

(4)まとめ
  a<r<b のとき、E = Q*c*/[ { a*b/( a - b ) + c }*4*π*ε*r^2 ]
  c<r  のとき、 E = -Q/[ { 1 + c*( 1/a - 1/b ) }*4*π*ε*r^2 ]

(1)内球と外球の電荷
  外側の球の表面に電荷 Q を与えたとき、内側の球の表面に-Q'の電荷が誘起されるとします。
  すると、外側の球の裏面(内面)には Q' の電荷が誘起されます。このとき外側の球の表面の電荷を Q'' とすれば、外側の球の電荷の総量は Q なので、 Q' + Q'' = Q → Q'' = Q - Q'

(2)Q' を求める
  外球の外側にある半径 r ( c < r ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内外の球の電荷の総和で、その値は
  -Q'(内側の球の表面電荷) + Q'(外側の球の裏面電荷...続きを読む

Q結合性軌道と反結合性軌道とは?

結合性軌道と反結合性軌道とはどういうものなのでしょうか?
調べてみたのですが少し専門的で理解できませんでした。
初心者にも分かる程度にご教授お願いいたします。

また、「水素の分子軌道において、基底状態では反結合性軌道に電子が含まれない」ということも合わせて教えていただけるとうれしいです。

Aベストアンサー

分子の化学結合理論で、分子軌道法という理論の中で使われます。
文だけで分かりづらいと思うので画像をご覧ください。

まず、簡単に水素原子2つから水素分子1つができる過程を考えます。
それぞれの水素は1s軌道に電子を1つずつ持っています。
この2つの1s軌道は相互作用し、エネルギーの異なる2つの軌道ができます。
このときエネルギーの低い方の軌道は、2つの軌道の電子波の位相(波動関数の符号)を合わせて重なります。
すると重なった部分(2つの原子間)の電子密度が高くなり、この軌道の電子は2つの原子核を引き寄せ結合を生成しますから、「結合性軌道」と呼ばれます。
しかしエネルギーの高い方の軌道では、2つの軌道の電子波は位相を逆向きにして重なるのです。
すると、重なった部分の電子密度は低くなり、2つの原子間とは反対方向の電子密度が高くなります。
結果、この軌道はそれぞれの原子を結合とは逆向きに引き離し、結合を破壊する性質を持つので「反結合性軌道」と呼ばれます。

水素分子H2では、このように2つの1s軌道から結合性軌道・反結合性軌道ができます。
電子は合わせて2つです。パウリの原理に従い、エネルギーの低い軌道から電子を詰めていくと、2つの原子はどちらも結合性軌道に位置します。
反結合性軌道には電子は入っていません。

結合次数は (結合性軌道中の電子 + 反結合性軌道中の電子)/2 で求められます。水素分子の結合次数は1となります。
水素分子の結合は単結合である、ということに一致していますね。

分子軌道法はこのように考えます。

分子の化学結合理論で、分子軌道法という理論の中で使われます。
文だけで分かりづらいと思うので画像をご覧ください。

まず、簡単に水素原子2つから水素分子1つができる過程を考えます。
それぞれの水素は1s軌道に電子を1つずつ持っています。
この2つの1s軌道は相互作用し、エネルギーの異なる2つの軌道ができます。
このときエネルギーの低い方の軌道は、2つの軌道の電子波の位相(波動関数の符号)を合わせて重なります。
すると重なった部分(2つの原子間)の電子密度が高くなり、この軌道の電子は2...続きを読む

Qテスターによる抵抗値の誤差が大きいわけ

デジタルマルチメーター等に比べてテスターで抵抗値を測定しようとすると1kΩ程度までは
カラーコードの読みとの誤差が大きくとても不便に思えます。
内部抵抗の小ささが関係しているのかとも考えたのですが、測定原理は測定抵抗と内部抵抗+接触抵抗を直列につないだ閉路に電流を流しその電圧から求めるみたいなのでデジタルマルチメーターとの差異がよく分かりません。

Aベストアンサー

いくつかの可能性があります。

1,抵抗を測定する際に指で端子に触れている。
(人間も並列する抵抗に化けるために指示値が変化する。)

2,抵抗自体の温度変化や、元々の誤差による表示違い。

3,テスターの精度による表示違い。

4,使用したテスターの電源電圧(内蔵電池)が低くなっており、表示に誤差が出ている。

5,デジタル回路向けのチップ抵抗にx1レンジで測定している。

6,テスターのメーターに物理的に異常が発生し、あるレベル以上になると、極端な誤差を表示する。

7,テスター内部の抵抗が変質してしまっている。

8,テスター使用の際、平坦に置くはずのテスターを立てて使っている。(指示誤差の原因)


他の方も言っているとおり、その2種類のテスターのメーカー名、型番と、抵抗の写真が欲しいところですね。

Q万有引力は保存力?

1.万有引力が保存則であることを示せ。
テストで出そうと山をはったのですが、これがわかりません。
誰か証明してくれませんか?

Aベストアンサー

万有引力は距離依存性が 1/r^2 で,
これは 1/r の距離依存性のポテンシャルから導けます.
したがって,「ポテンシャルがあるから保存力」

あるいは,rot(1/r^2) = 0 を示す手もありますね.

acacia7 さん流に力の線積分が経路によらず端の点だけで決まることを
示してもよいわけですが,
「どんな経路をとっても」を言ためには結局 rot(1/r^2) = 0
を示すことになります.


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